HEBERT Damien : 4,5

Université de Rouen – Haute Normandie
Année universitaire 2008 – 2009
L3 MPM - Physique
Physique statistique
17 avril 2009
Examen
Durée : 2 heures – Documents non autorisés – Calculatrice autorisée
PROBLEME
On considère un tube de grande longueur L par rapport à son diamètre D rempli d'azote moléculaire
assimilé à un gaz parfait. Le milieu est à l'équilibre et la température, la pression et la densité de
molécules sont parfaitement homogènes dans tout le tube.
On introduit au temps t=0 de l'hydrogène H2 en x=0 avec un débit constant suffisamment faible pour que
la pression ne soit pas modifiée et que l'azote ne s'écoule pas.
A t=t1, la valeur du débit d'hydrogène en x=L n'est plus nulle et croît jusqu'à atteindre la valeur du débit
d'entrée.
1. S'agit-il d'un état stationnaire ? S'agit-il d'un état d'équilibre thermodynamique local ? S'agit-il
d'un état d'équilibre total ?
On fait l'hypothèse a priori que le gradient de densité est uniforme soit
dn
 A , A étant une constante et
dx
n la densité de particules.
2. Donner l'expression de la densité en une abscisse x en fonction de la densité en x=0 et en x=L.
Le débit d'hydrogène est suffisamment faible pour que la densité d'azote reste constante.
3. Ecrire l'équation de Boltzmann en explicitant chacun des termes.
4. Réécrire l'équation de Boltzmann dans le cadre du modèle de Bhatnagar-Gross-Krook.
5. Quelle est la signification physique du temps de relaxation introduit ?
Dans la suite, le temps de relaxation est supposé constant.
6. Simplifier l'équation de Boltzmann en faisant des hypothèses réalistes.
7. En faisant un bilan de particules sur un petit élément de volume Sdx, où S est la section du tube,
donner l'expression du vecteur densité de flux de particules en un point d'abscisse x.
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8. En couplant l'expression du vecteur densité de flux et l'équation de Boltzmann simplifiée,
exprimer le vecteur densité de flux en fonction du gradient de densité, du temps de relaxation et
de la vitesse moyenne d'agitation thermique (valeur moyenne de la norme des particules).
9. Enoncer la loi de Fick de la diffusion. Par identification avec le résultat de la question 8, donner
une expression du coefficient de diffusion D.
10. Donner des ordres de grandeur pour le temps de relaxation et la vitesse moyenne des particules
pour une température de 300 K. Donner un ordre de grandeur du coefficient de diffusion D et son
unité.
11. Reprendre le bilan local du nombre de particules et intégrer ce bilan sur l'ensemble du tube.
Donner une valeur pour le terme de production, pour le terme de variation et le terme de flux.
12. Montrer que le vecteur densité de flux est indépendant de x. Compte tenu de ce résultat, montrer
que le gradient de densité est effectivement indépendant de x lui aussi.
Données :



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
Constante de Bolztmann : k=1,38.10-23
Nombre d'Avogadro : NA=6,02.1023
Masse molaire de l'hydrogène : 2 g/mol
Masse molaire de l'azote : 28 g/mol
Intégrales eulériennes

I O   exp( ax 2 )dx 
0

a

I 2   x 2 exp( ax 2 )dx 
0
1 
4a a
QUESTIONS DE COURS
1.
Donner votre interprétation du théorème H de Boltzmann.
2. Ecrire l'équation de Vlasov pour un plasma. Expliciter le terme de force. Pourquoi dit-on que le
plasma est "sans collision" ?
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