1 Formule de Burnside Théorème 1. Soit G X où G est un groupe de cardinal fini et X un ensemble de cardinal fini. Notant Fix(g) = {x ∈ X | g.x = x} le fixateur de g, et Ω = {ω1 , . . . , ωr } l’ensemble des orbites de l’action de G sur X, on a : card(Ω) = r = P 1 card(Fix(g)). card(G) g∈G Pour montrer ce résultat, on va utiliser la théorie des représentations, avec la représentation de permutations associée à l’action de G sur X. On aura alors besoin du lemme suivant : Lemme 1. Etude de l’opérateur de Reynolds. Soit V un C-espace vectoriel de dimension finie n. On note (ρ, V ) une représentation du groupe V . Alors, l’application RG définie par : RG : V −→ V v 7−→ P 1 ρ(g)(v) card(G) g∈G est un projecteur, d’image V G = {v ∈ V | ρ(g)(v) = v, ∀g ∈ G} et donc dim(V G ) = Tr(RG ). Démonstration. : Etape 1 : montrons que RG est un projecteur. Pour tout g ∈ G, ρ(g) ∈ GL(V ), ce qui implique que RG ∈ L(V ) est linéaire comme somme d’applications linéaires. Il reste alors à prouver que RG ◦ RG = RG . Soit g 0 ∈ G, on a : ! P P P 1 1 1 RG ◦ ρ(g 0 ) = ρ(g) ◦ ρ(g 0 ) = ρ(gg 0 ) = ρ(g) = RG card(G) g∈G card(G) g∈G card(G) g∈G ceci, car ρ est un morphisme de groupe et que γg0 : G −→ g 7−→ G est une bijection. On a gg 0 alors, RG ◦ RG = RG ◦ ( P P P 1 1 1 ρ(g)) = RG ◦ ρ(g) = RG = RG card(G) g∈G card(G) g∈G card(G) g∈G ce qui prouve que RG est un projecteur. Etape 2 : montrons désormais que Im(RG ) = V G . Supposons y ∈ Im(RG ), alors il existe un P 1 ρ(g)(v). Alors, pour g 0 ∈ G, on a : vecteur v ∈ V tel que y = RG (v) = card(G) g∈G ρ(g 0 )(y) = ρ(g 0 )( P P 1 1 ρ(g)(v)) = ρ(g 0 g)(v)) = RG (v) = y card(G) g∈G card(G) g∈G ce qui nous donne bien y ∈ V G et Im(RG ) ⊂ V G . Inversement, si y ∈ V G , on a : ∀g ∈ G, ρ(g)(y) = y =⇒ P P 1 1 ρ(g)(y) = y=y card(G) g∈G card(G) g∈G et donc y = RG (y) ∈ Im(RG ). On a alors bien Im(RG ) = V G et comme RG est un projecteur rg(RG ) = dim(Im(RG )) = dim(V G ). Passons désormais à la démonstration du théorème. L Démonstration. On définit VX = Kex , l’espace vectoriel de dimension card(X) associée à la x∈X base indéxée par X, (ex )x∈X . Considérons alors la représentation de G associée à VX , par : ρ: G −→ g 7−→ GL(V ) ρ(g) : ex −→ eg.x où . dans l’expression g.x traduit l’action G X. On définit aussi le projecteur RG associé à la représentation de permutation ρ comme précédemment. Montrons que : Tr(RG (g)) = card(Fix(g)) et que rg(RG ) = dim(VXG ) = card(Ω). 2 Pour g ∈ G, la matrice de ρ(g) dans la base (ex )x∈X est une matrice de permutation composée de 0 et de 1 avec exactement un seul 1 par ligne et par colonne. La trace de cette matrice est donc le nombre de 1 sur la diagonale, c’est-à-dire le nombre de x ∈ X tel que ρ(g)(ex ) = eg.x = ex . C’est donc exactement le nombre de points fixes sous l’action de g, soit card(Fix(g)). Ainsi, Tr(ρ(g)) = card(Fix(g)), ce qui implique que : Tr(RG ) = Tr( P P P 1 1 1 ρ(g)) = Tr(ρ(g)) = card(Fix(g)) card(G) g∈G card(G) g∈G card(G) g∈G par linéarité de la trace et le fait que RG soit un projecteur. Montrons alors pour conclure que dim(Im(RG )) = dim(VXG ) = card(Ω) en exhibant une base de VXG de cardinal, exactement card(Ω). Soit Ω = {ωP 1 , ω2 , . . . , ωr }, les r orbites de l’action de G sur X et définissons pour i ∈ [[1, r]], eωi par eωi = x. Montrons que (eω1 , . . . , eωr ) est une base de VXG . Soit v ∈ VXG ⊂ VX , alors x∈ωi P v s’écrit de manière unique v = λx ex pour λx ∈ C et par unicité d’écriture dans une base et x∈X le fait que ρ(g)(v) = v pour tout g, on a : ρ(g)(v) = P λx eg.x = x∈X P λ x ex x∈X En identifiant les coefficients devant ex , on a donc que λg−1 .x = λx et ce pour tout g ∈ G et pour tout x ∈ X. Cela montre que v ∈ VXG si et seulement si dans son écriture dans la base (ex )x∈X , les coefficients λx devant les ex sont les mêmes pour des x appartenant à une même ortbite de G X. Ainsi, un élement v ∈ VXG s’écrit : P P v = λ1 ex + . . . + λr ex = λ1 eω1 + . . . + λr eωr x∈ω1 x∈ωr La famille (eω1 , . . . , eωr ) est donc génératrice de VXG . Montrons qu’elle est naturellement libre. r P P Soit (λi )1≤i≤r ∈ Kr , telle que λi eωi = 0. En écrivant eωi sous la forme ex , on a alors une i=1 x∈ωi combinaison linéaire nulle de la famille (ex )x∈X qui est une base de VX et donc naturellement λi = 0 pour tout i. On a donc bien une base de VXG de cardinal r = card(Ω) ce qui prouve que : dim(VXG ) = Tr(RG ) = card(Ω) = P 1 card(Fix(g)). card(G) g∈G