1 Formule de Burnside Théorème 1. Soit G X où G est un groupe de

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Formule de Burnside
Théorème 1. Soit GXoù Gest un groupe de cardinal fini et Xun ensemble de cardinal
fini. Notant Fix(g) = {x∈X|g.x =x}le fixateur de g, et Ω = {ω1, . . . , ωr}l’ensemble des
orbites de l’action de Gsur X, on a :
card(Ω) = r=1
card(G)P
g∈G
card(Fix(g)).
Pour montrer ce résultat, on va utiliser la théorie des représentations, avec la représentation de
permutations associée à l’action de Gsur X. On aura alors besoin du lemme suivant :
Lemme 1. Etude de l’opérateur de Reynolds.
Soit Vun C-espace vectoriel de dimension finie n. On note (ρ, V )une représentation du groupe
V. Alors, l’application RGdéfinie par :
RG:
V−→ V
v7−→ 1
card(G)P
g∈G
ρ(g)(v)
est un projecteur, d’image VG={v∈V|ρ(g)(v) = v, ∀g∈G}et donc dim(VG) = Tr(RG).
Démonstration. :
Etape 1 : montrons que RGest un projecteur. Pour tout g∈G,ρ(g)∈GL(V), ce qui implique
que RG∈ L(V)est linéaire comme somme d’applications linéaires. Il reste alors à prouver que
RG◦RG=RG. Soit g0∈G, on a :
RG◦ρ(g0) = 1
card(G)P
g∈G
ρ(g)!◦ρ(g0) = 1
card(G)P
g∈G
ρ(gg0) = 1
card(G)P
g∈G
ρ(g) = RG
ceci, car ρest un morphisme de groupe et que γg0:G−→ G
g7−→ gg0est une bijection. On a
alors,
RG◦RG=RG◦(1
card(G)P
g∈G
ρ(g)) = 1
card(G)P
g∈G
RG◦ρ(g) = 1
card(G)P
g∈G
RG=RG
ce qui prouve que RGest un projecteur.
Etape 2 : montrons désormais que Im(RG) = VG. Supposons y∈Im(RG), alors il existe un
vecteur v∈Vtel que y=RG(v) = 1
card(G)P
g∈G
ρ(g)(v). Alors, pour g0∈G, on a :
ρ(g0)(y) = ρ(g0)( 1
card(G)P
g∈G
ρ(g)(v)) = 1
card(G)P
g∈G
ρ(g0g)(v)) = RG(v) = y
ce qui nous donne bien y∈VGet Im(RG)⊂VG. Inversement, si y∈VG, on a :
∀g∈G, ρ(g)(y) = y=⇒1
card(G)P
g∈G
ρ(g)(y) = 1
card(G)P
g∈G
y=y
et donc y=RG(y)∈Im(RG). On a alors bien Im(RG) = VGet comme RGest un projecteur
rg(RG) = dim(Im(RG)) = dim(VG).
Passons désormais à la démonstration du théorème.
Démonstration. On définit VX=L
x∈X
Kex, l’espace vectoriel de dimension card(X)associée à la
base indéxée par X,(ex)x∈X. Considérons alors la représentation de Gassociée à VX, par :
ρ:G−→ GL(V)
g7−→ ρ(g) : ex−→ eg.x
où .dans l’expression g.x traduit l’action GX. On définit aussi le projecteur RGassocié à la
représentation de permutation ρcomme précédemment. Montrons que :
Tr(RG(g)) = card(Fix(g)) et que rg(RG) = dim(VG
X) = card(Ω).

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Pour g∈G, la matrice de ρ(g)dans la base (ex)x∈Xest une matrice de permutation composée de
0et de 1avec exactement un seul 1par ligne et par colonne. La trace de cette matrice est donc
le nombre de 1sur la diagonale, c’est-à-dire le nombre de x∈Xtel que ρ(g)(ex) = eg.x =ex.
C’est donc exactement le nombre de points fixes sous l’action de g, soit card(Fix(g)). Ainsi,
Tr(ρ(g)) = card(Fix(g)), ce qui implique que :
Tr(RG) = Tr(1
card(G)P
g∈G
ρ(g)) = 1
card(G)P
g∈G
Tr(ρ(g)) = 1
card(G)P
g∈G
card(Fix(g))
par linéarité de la trace et le fait que RGsoit un projecteur. Montrons alors pour conclure que
dim(Im(RG)) = dim(VG
X) = card(Ω)
en exhibant une base de VG
Xde cardinal, exactement card(Ω).
Soit Ω = {ω1, ω2, . . . , ωr}, les rorbites de l’action de Gsur Xet définissons pour i∈[[1, r]],
eωipar eωi=P
x∈ωi
x. Montrons que (eω1, . . . , eωr)est une base de VG
X. Soit v∈VG X⊂VX, alors
vs’écrit de manière unique v=P
x∈X
λxexpour λx∈Cet par unicité d’écriture dans une base et
le fait que ρ(g)(v) = vpour tout g, on a :
ρ(g)(v) = P
x∈X
λxeg.x =P
x∈X
λxex
En identifiant les coefficients devant ex, on a donc que λg−1.x =λxet ce pour tout g∈Get pour
tout x∈X. Cela montre que v∈VG
Xsi et seulement si dans son écriture dans la base (ex)x∈X,
les coefficients λxdevant les exsont les mêmes pour des xappartenant à une même ortbite de
GX. Ainsi, un élement v∈VG
Xs’écrit :
v=λ1P
x∈ω1
ex+. . . +λrP
x∈ωr
ex=λ1eω1+. . . +λreωr
La famille (eω1, . . . , eωr)est donc génératrice de VG
X. Montrons qu’elle est naturellement libre.
Soit (λi)1≤i≤r∈Kr, telle que
r
P
i=1
λieωi= 0. En écrivant eωisous la forme P
x∈ωi
ex, on a alors une
combinaison linéaire nulle de la famille (ex)x∈Xqui est une base de VXet donc naturellement
λi= 0 pour tout i. On a donc bien une base de VG
Xde cardinal r=card(Ω) ce qui prouve que :
dim(VG
X) = Tr(RG) = card(Ω) = 1
card(G)P
g∈G
card(Fix(g)).