Devoir surveillé n˚7

Devoir surveillé n˚7
MP Lycée Clemenceau
Jeudi 3 mars 2016
Vous avez 4 heures dans la joie et la bonne humeur mais en silence ! !
Il sera tenu compte de la présentation et de la rigueur des démonstrations. Toute copie non rédigée
ne sera pas corrigée. Il est demandé aux étudiants de mettre leurs nom et prénom sur chaque copie
(double de préférence) et de numéroter ces dites copies.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale
sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à
prendre.
Le texte suivant propose deux problèmes. Vous en choisissez un et un seul.
Vous préciserez en tête de copie le sujet choisi.
1
Non il n’y a rien sur cette page : le sujet CCP commence page suivante ! !
2
Sujet type CCP
Notations et objectifs
Pour tout n entier naturel supérieur ou égal à 1, on note Mn (R) le R-espace vectoriel des matrices
carrées d’ordre n à coefficients dans R et Mn,1 (R) le R-espace vectoriel des matrices colonnes à n
lignes à coefficients dans R.
Sn (R) désigne l’ensemble des matrices symétriques de Mn (R), On (R) l’ensemble des matrices
orthogonales de Mn (R) et In la matrice identité d’ordre n.
Tout vecteur x = (xi )1≤i≤n de Rn est identifié à un élément X de Mn,1 (R) tel que l’élément de la
ème
i
ligne de X soit xi . Dans toute la suite, nous noterons indifféremment X = (xi )1≤i≤n un élément
de Mn,1 (R) aussi bien que le vecteur de Rn qui lui est associé.
Selon le contexte, 0 désigne soit le réel nul, soit la matrice nulle de Mn (R), soit encore la matrice
nulle de Mn,1 (R).
Rn est muni de son produit scalaire canonique noté (·|·)n et de la norme associée k · kn .
Une matrice carrée réelle M sera dite positive si tous ses coefficients sont positifs ou nuls, et on
notera dans ce cas M ≥ 0. De même un vecteur X de Rn sera dit positif si toutes ses composantes xi
sont positives ou nulles et on notera aussi X ≥ 0. L’ensemble des matrices carrées réelles d’ordre n,
positives et symétriques est noté Sn (R+ ).
L’objectif de ce problème est d’étudier des conditions pour lesquelles, étant donnés n nombres
réels distincts ou non λ1 , λ2 , . . . , λn , il existe une matrice carrée réelle d’ordre n positive et symétrique
admettant pour valeurs propres λ1 , λ2 , . . . , λn comptées avec multiplicité, c’est à dire dont le polynôme
n
Q
caractéristique est égal à
(X − λk ).
k=1
Dans la première partie on considérera quelques exemples simples.
Dans la seconde partie, on montrera que si S est une matrice carrée réelle positive et symétrique
de plus grande valeur propre α, alors α est positif, S admet pour la valeur propre α un vecteur propre
positif et toute valeur propre λ de S vérifie |λ| ≤ α.
La troisième partie, assez technique, permettra de connaı̂tre les valeurs propres d’une matrice
carrée réelle positive et symétrique d’ordre n + p construite à partir de deux matrices A et B carrées
réelles positives et symétriques d’ordres respectifs n et p dont on connaı̂t les valeurs propres.
Enfin la dernière partie donnera des conditions suffisantes pour qu’il existe une matrice carrée
réelle positive et symétrique d’ordre n admettant pour valeurs propres comptées avec multiplicité n
réels donnés.
Partie I
1) Montrer que si λ1 , λ2 , . . . , λn sont des réels positifs, distincts ou non, il existe une matrice S
carrée réelle positive et symétrique d’ordre n et de valeurs propres λ1 , λ2 , . . . , λn comptées avec
multiplicité.
2) Trouver une matrice S carrée réelle positive et symétrique d’ordre 2 admettant pour valeurs propres
−1 et 1.
3) Déterminer une matrice S carrée réelle positive et symétrique d’ordre 3 admettant pour valeurs
propres −1, 0, 1.
4) Déterminer une matrice S carrée réelle positive et symétrique d’ordre 4 admettant pour valeurs
propres comptées avec multiplicité : −1, −1, 1, 1.
5) Montrer qu’il n’existe aucune matrice S carrée réelle positive et symétrique d’ordre 3 admettant
pour valeurs propres comptées avec multiplicité : −1, −1, 0.
6) a) Pour a et b réels, on note H la matrice carrée d’ordre n dont les coefficients diagonaux valent
tous a et les autres valent b. Déterminer les valeurs propres de H.
b) Une matrice carrée réelle symétrique d’ordre n dont toutes les valeurs propres sont positives
ou nulles est-elle nécessairement positive ?
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3
Partie II
1) Soit (X, Y ) ∈ (Mn,1 (R))2 , S ∈ S(R+ ) et P ∈ On (R). Etablir les égalités :
a) (X|Y )n = t XY = t Y X.
b) t XSY = (X|SY )n = (SX|Y )n .
c) kP Xkn = kXkn
2) Soit (X, Y ) ∈ (Mn,1 (R))2 ) et (U, V ) ∈ (Mp,1 (R))2 ). On note Z et T les matrices de Mn+p,1 (R)
définies par blocs sous la forme
X
Y
Z=
, T =
U
V
a) Montrer que (Z|T )n+p = (X|Y )n + (U |V )p .
b) Montrer que si X et Y sont orthogonaux dans Rn et U, V orthogonaux dans Rp , Z et T sont
orthogonaux dans Rn+p .
c) La réciproque est-elle vraie ?
Dans la suite de cette partie S désigne une matrice de Sn (R) et D = diag(λ1 , . . . , λn ) une
matrice diagonale semblable à S. On pose α = max1≤i≤n λi .
3) a) Montrer que pour tout Y ∈ Mn,1 (R), (DY |Y )n ≤ αkY k2n .
(SX|X)n
b) En déduire que pour tout X ∈ Mn,1 (R) \ {0},
≤α
kXk2n
c) En utilisant une décomposition du vecteur X sur une base orthonormée de vecteurs propres
de S, montrer que cette dernière inégalité est une égalité si et seulement si X est un vecteur
propre de S associé à la valeur propre α.
4) Soit E = {X ∈ Mn,1 (R) | X ≥ 0}, Σ = {X ∈ Mn,1 (R) kXkn = 1}, et C = E ∩ Σ.
a) Montrer que E est un fermé de Mn,1 (R).
b) Montrer que C est un fermé borné de Mn,1 (R).
c) Soit ϕ : Mn,1 (R) −→ R, X 7−→ (SX|X)n . Donner l’expression de ϕ(X) en fonction des
coefficients de S et de ceux de X ; en déduire que ϕ est continue sur Mn,1 (R).
d) On pose µ = sup ϕ(X). Justifier l’existence de µ et montrer qu’il existe X0 appartenant à C
X∈C
tel que ϕ(X0 ) = µ.
e) Montrer que µ ≤ α.
5) On suppose dans cette question que S ≥ 0.
a) Si X = (xi )1≤i≤n est un vecteur propre unitaire de S associé à la valeur propre α, on pose
W = (|xi |)1≤i≤n .
i) Montrer que W est élément de C.
ii) Montrer que |ϕ(X)| ≤ ϕ(W ).
iii) Montrer que |α| ≤ µ.
b) En déduire α ≥ 0, puis que la matrice S admet un vecteur propre positif associé à la valeur
propre α.
c) Montrer que pour tout i ∈ {1, 2, . . . , n}, |λi | ≤ α.
4
Partie III
Soit n et p deux éléments de N∗ , A, B deux matrices symétriques réelles d’ordres respectifs n et p,
(X1 , X2 , . . . , Xn ) une base orthonormée de Rn formée de vecteurs propres de A, (Y1 , X2 , . . . , Yp ) une
base orthonormée de Rp formée de vecteurs propres de B et
α1 , α2 , . . . , αn , β1 , β2 , . . . , βn les réels tels que :
∀ i ∈ {1, 2, . . . , n}, AXi = αi Xi et ∀ j ∈ {1, 2, . . . , p}, BYj = βj Yj
Pour tout réel s, on note Ms la matrice de Mn+p (R) donnée sous forme de blocs par :
A
sX1 t Y1
(1)
Ms =
B
sY1 t X1
et on considère les vecteurs (Zi )1≤i≤n de
0
n+p
de R
définis par Tj =
.
Yj
Rn+p
définis par Zi =
Xi
, ainsi que les vecteurs (Tj )1≤j≤p
0
1) Montrer que Z2 , Z3 , . . . , Zn et T2 , T3 , . . . , Tp sont vecteurs propres de Ms et préciser les valeurs
propres correspondantes.
(cos θ)X1
2) Pour θ réel, on note V (θ) le vecteur défini par V (θ) =
(sin θ)Y1
a) Montrer que V (θ) est unitaire dans Rn+p .
b) Déterminer le spectre de M0 .
i π πh
c) On suppose dans cette question s 6= 0. On note θ1 l’unique réel de l’intervalle − ,
tel que :
2 2
p
β1 − α1 + (α1 − β1 )2 + 4s2
tan θ1 =
2s
π
.
2
i) Montrer que θ1 est non nul.
et on pose θ2 = θ1 +
ii) Évaluer le produit (tan θ1 )(tan θ2 ).
iii) Montrer que θ1 et θ2 vérifient l’équation :
α1 + s tan θ = β1 +
s
tan θ
(2)
iv) En déduire que V (θ1 ) et V (θ2 ) sont vecteurs propres de Ms et exprimer les valeurs propres
correspondantes µ1 et µ2 en fonction de α1 , β1 et s.
v) Montrer que les vecteurs V (θ1 ), V (θ2 )Z2 , Z3 , . . . , Zn , T2 , T3 , . . . , Tp forment une base orthonormée de Rn+p et donner l’ensemble des valeurs propres de Ms .
vi) Montrer que les formules exprimant µ1 et µ2 en fonction de α1 , β1 et s donnent encore
des valeurs propres de Ms lorsque s = 0.
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5
Partie IV
Dans cette partie on se propose de démontrer par récurrence la propriété (Pn ) suivante : si
(λ1 , λ2 , . . . , λn ) est un élément de Rn tel que :
λ1 ≥ 0 ≥ λ2 ≥ λ2 ≥ λ3 ≥ · · · ≥ λn et λ1 + λ2 + · · · + λn ≥ 0
alors il existe A ∈ Sn (R+ ) tel que λ1 , λ2 , . . . , λn soient les valeurs propres de A comptées avec multiplicité.
1) Vérifier que (P1 ) est vraie.
2) Soit n ∈ B∗ tel que (Pn ) soit vraie et soit (λ1 , λ2 , . . . , λn , λn+1 ) ∈ Rn+1 vérifiant :
λ1 ≥ 0 ≥ λ2 ≥ λ2 ≥ λ3 ≥ · · · ≥ λn ≥ λn+1 et λ1 + λ2 + · · · + λn + λn+1 ≥ 0
On pose a = λ1 + λn+1 .
a) Montrer qu’il existe A ∈ Sn (R+ ) tel que a, λ2 , . . . , λn soient les valeurs propres de A comptées
avec multiplicité. Dans la suite de cette question 2, A désignera une telle matrice.
b) Montrer que A admet un vecteur propre X1 unitaire positif associé à la valeur propre a.
c) Pour s réel, soit Ms la matrice de Mn+1 (R) définie par :
A
sX1
st X1
0
i) Vérifier que Ms est de la forme (1) : préciser p, B et Y1 .
ii) En déduire les valeurs propres de Ms .
p
iii) Montrer que si s = −λ1 λn+1 , les valeurs propres de Ms sont : λ1 , λ2 , . . . , λn , λn+1 et
conclure.
3) Exemple


1 2 3
a) Déterminer le spectre de la matrice A = 2 1 3
3 3 0
b) Déterminer une matrice B carrée réelle positive et symétrique d’ordre 4, admettant pour valeurs
propres λ1 = 9, λ2 = −1, λ3 = λ4 = −3
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Sujet type Centrale
Définitions et notations (à bien lire).
Dans tout le texte, n est un entier strictement positif et E est un espace euclidien de dimension n ; on
note (x|y) le produit scalaire de deux éléments x et y de E ; La norme utilisée est la norme euclidienne
associée.
• L (E) désigne l’espace vectoriel des endomorphismes de E. Si f et g sont dans L (E), f g désigne
la composée f ◦ g des applications
•
Si f ∈ L (E) on note f ∗ désigne l’endomorphisme
adjoint
de f , c’est à dire c’est l’unique
endomorphisme g tel que ∀(x, y) ∈ E, f (x) y = x g(y) .(On admettra son existence qui
découle de la proposition sur les formes linéaires vue en cours mardi.)
Un endomorphisme symétrique est donc un endomorphisme vérifiant f ∗ = f .
• Le symbole 0 désigne indifféremment l’élément nul de IR, de E ou de L (E).
• GL(E) est l’ensemble des automorphismes de E. C’est un groupe pour la composition des applications. L’application identité est notée IdE .
• On appelle endomorphisme antisymétrique de E tout endomorphisme de E tel que f ∗ = −f .
L’ensemble des endomorphismes antisymétriques de E est un sous-espace vectoriel de L (E).
On pourra utiliser cette propriété sans démonstration.
• On appelle similitude de E tout endomorphisme f de E du type λg avec λ ∈ IR et g ∈ O(E),
où O(E) est l’ensemble des automorphismes orthogonaux de E. On rappelle que O(E) est un
groupe pour la composition des applications. On désigne par Sim(E) l’ensemble des similitudes
de E.
Objectif du problème.
Le but du problème est de calculer l’entier dn défini de la manière suivante :
E étant un espace euclidien de dimension n, dn est la dimension maximale d’un sous-espace vectoriel
de L (E) inclus dans Sim(E) c’est-à-dire d’un sous-espace vectoriel de L (E) formé de similitudes.
Note : on peut démontrer - et nous l’admettrons - que la notation dn est licite, car cet entier ne
dépend effectivement que de la dimension de E.
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7
I Premières propriétés.
I.A Etude de Sim(E).
I.A.1) Montrer que l’ensemble des similitudes non nulles est un sous-groupe de GL(E) pour la
composition des applications.
I.A.2) Soit h ∈ L (E) un endomorphisme de E. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
i) h est élément de Sim(E) ;
ii) h∗ h est colinéaire à IdE ;
iii) la matrice de h dans une base orthonormale de E est colinéaire à une matrice orthogonale.
On appelle donc matrice de similitude toute matrice colinéaire à une matrice orthogonale : c’est
donc la matrice d’une similitude dans une base orthormale.
I.B Propriétés des endomorphismes antisymétriques.
Soit f un endomorphisme antisymétrique de E.
I.B.1) Montrer que : ∀x ∈ E, (x|f (x)) = 0.
I.B.2) Montrer que, si S est un sous-espace vectoriel de E stable par f , alors S ⊥ est stable par f .
Montrer que les endomorphismes induits par f sur S et sur S ⊥ sont antisymétriques.
I.B.3) Soit g un endomorphisme antisymétrique de E, tel que f g = −gf . Montrer que :
∀x ∈ E, (f (x)|g(x)) = 0
I.B.4) Que vaut f 2 = f ◦ f si f est un automorphisme orthogonal et antisymétrique de E ?
I.C Encadrement de dn .
I.C.1) Montrer que dn ≥ 1.
I.C.2) Soit V un sous-espace vectoriel de L (E) inclus dans Sim(E).
On fixe x ∈ E \ {0}. En considérant Φ : x 7→ f (x), application linéaire de V dans E, montrer
que dim(V ) ≤ n. Ainsi
1 ≤ dn ≤ n
I.C.3) Dans cette question seulement, on suppose n = 2. Expliciter un espace vectoriel de dimension 2, formé de matrices de similitudes. En déduire, avec soin, que d2 = 2.
I.C.4) Dans cette question seulement, on suppose n impair. Si f, g appartiennent à GL(E), montrer
qu’il existe λ ∈ IR tel que f + λg soit non inversible.
On pourra raisonner en considérant le polynôme caractéristique de f g −1 .
En déduire que dn = 1.
I.C.5) Soit V un sous-espace vectoriel de L (E) inclus dans Sim(E), de dimension d ≥ 1. Montrer
qu’il existe un sous-espace vectoriel W de L (E) inclus dans Sim(E), de même dimension d, et
contenant IdE .
C’est pourquoi, dans toute la suite, on s’intéressera uniquement à des
sous-espaces vectoriels de L (E), inclus dans Sim(E) et contenant IdE .
I.D Systèmes anti-commutatifs d’endomorphismes antisymétriques.
Soit V un sous-espace vectoriel de L (E) contenant IdE , inclus dans Sim(E) et de dimension
d ≥ 2.
Soit (IdE , f1 , . . . , fd−1 ) une base de V .
I.D.1) Montrer que pour tout i ∈ {1, 2, . . . , d − 1}, fi∗ + fi est colinéaire à IdE .
I.D.2) Montrer qu’il existe une base (IdE , g1 , . . . , gd−1 ) de V telle que pour tout i ∈ {1, 2, . . . , d−1},
gi soit antisymétrique (on cherchera gi comme combinaison de fi et IdE ).
I.D.3) On fixe une base (IdE , g1 , . . . , gd−1 ) de V comme définie à la question précédente c’est-à-dire
avec pour tout i, gi antisymétrique.
a) Montrer que pour tout i 6= j, gi gj + gj gi est colinéaire à IdE .
b) Montrer que l’on définit un produit scalaire sur L (E) en posant, pour tout f, g de L (E), (f |g) =
tr(f ∗ g).
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On considère, dans la suite de cette question, une base (h1 , . . . , hd−1 ) de
Vect(g1 , . . . , gd−1 ) orthogonale pour ce produit scalaire.
c) Montrer que les hi sont antisymétriques et vérifient :∀i 6= j, hi hj + hj hi = 0. Que faire pour
que les hi soient aussi des automorphismes orthogonaux ?
I.D.4) Réciproquement, soit (h1 , . . . , hd−1 ) une famille de L (E) telle que les hi soient des automorphismes orthogonaux antisymétriques vérifiant pour tous i 6= j, hi hj + hj hi = 0. Montrer
que Vect(IdE , h1 , . . . , hd−1 ) est un sous-espace vectoriel de L (E), de dimension d, inclus dans
Sim(E).
Ainsi, si dim(E) ≥ 2, sont équivalentes les deux propriétés :
• il existe un sous-espace vectoriel de L (E) de dimension d ≥ 2 inclus dans Sim(E)
• il existe une famille (f1 , . . . , fd−1 ) d’automorphismes orthogonaux antisymétriques de E
vérifiant :
∀i 6= j, fi fj + fj fi = 0
II Etude dans des dimensions paires.
II.A Dans cette section, dim(E) = 2p où p est un entier impair.
II.A.1) Soit p un entier impair tel que dim(E) = n = 2p. On suppose qu’il existe d ≥ 3 et
une famille (f1 , f2 , . . . , fd−1 ) d’éléments de L (E) telle que les fi soient des automorphismes
orthogonaux, antisymétriques vérifiant : ∀i 6= j, fi fj + fj fi = 0.
Soit x ∈ E de norme 1.
a) Montrer que (x, f1 (x), f2 (x), f1 f2 (x)) est une famille orthonormale, et que le sous-espace
S = Vect(x, f1 (x), f2 (x), f1 f2 (x)) est stable par f1 et f2 .
b) En déduire que dn−4 ≥ 3.
II.A.2) Dans cette question, n = 2p, avec p entier impair. Montrer que dn = 2.
II.B Dans cette section, la dimension de E est 4.
II.B.1) On suppose qu’il existe un sous-espace vectoriel de L (E) de dimension 4 inclus dans
Sim(E).
On considère alors, conformément à I.D.4 une famille (f1 , f2 , f3 ) d’éléments de L (E)
telle que les fi soient des automorphismes orthogonaux, antisymétriques vérifiant :
∀i 6= j, fi fj + fj fi = 0
Soit un vecteur fixé x ∈ E de norme 1.
a) Justifier que la famille B = (x, f1 (x), f2 (x), f1 f2 (x)) est une base de E puis montrer qu’il
existe des nombres réels α, β, γ, δ tels que :
f3 (x) = αx + βf1 (x) + γf2 (x) + δf1 f2 (x)
Montrer que α = β = γ = 0 et que δ ∈ {−1, 1}.
b) Montrer que f3 = δf1 f2 . Quitte à changer f3 en son opposé, on suppose dans la suite que
f3 = f1 f2 .
c) Si x0 , x1 , x2 , x3 sont des nombres réels, donner la matrice M (x0 , x1 , x2 , x3 ) dans B de
l’endomorphisme x0 IdE + x1 f1 + x2 f2 + x3 f3 .
II.B.2) Vérifier que pour tout (x0 , x1 , x2 , x3 ) ∈ IR4 , M (x0 , x1 , x2 , x3 ) est une matrice de similitude.
Qu’en conclure ?
II.C Dans cette section, la dimension de E est 12.
On suppose qu’il existe dans L (E), une famille (f1 , f2 , f3 , f4 ) d’automorphismes orthogonaux
antisymétriques vérifiant : ∀i 6= j, fi fj + fj fi = 0.
II.C.1) En utilisant f4 , montrer que f3 ne peut être égal à ±f1 f2 .
II.C.2) Montrer que f1 f2 f3 est un automorphisme orthogonal, symétrique et non colinéaire à IdE .
II.C.3) Quel est le spectre de f1 f2 f3 ? Montrer qu’il existe x ∈ E de norme 1 tel que
(f1 f2 f3 (x)|x) = 0.
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9
On fixe un tel x pour la suite.
II.C.4) Montrer que F = (x, f1 (x), f2 (x), f3 (x), f1 f2 (x), f1 f3 (x), f2 f3 (x), f1 f2 f3 (x)) est une famille
orthonormale.
II.C.5) On pose V = Vect(F ). C’est donc un sous-espace vectoriel de E de dimension 8.
a) Montrer que V ⊥ est stable par f1 , f2 , f3 .
b) On note fi0 l’endomorphisme induit par fi sur V ⊥ , i = 1, 2, 3. Justifier qu’il existe δ 0 ∈ {−1, 1}
tel que f30 = δ 0 f10 f20 .
Quitte à remplacer f3 par −f3 , on considère pour la suite que f30 = f10 f20
c) Soit e fixé dans V ⊥ , de norme 1. En procédant comme au II.B.1.a) (mais ce n’est pas à
refaire), on peut montrer que (e, f1 (e), f2 (e), f1 f2 (e)) est une base orthonormale de V ⊥ . En
remarquant que f3 (e) = f1 f2 (e), utiliser cette base pour montrer que : ∀y ∈ V ⊥ , f4 (y) ∈ V .
Ainsi W = f4 (V ⊥ ) est un sous-espace vectoriel de V de dimension 4.
d) Montrer que la somme de W et V ⊥ est directe et queW ⊕ V ⊥ est stable par f1 , f2 , f3 , f4 .
Aboutir alors à une contradiction.
II.C.6) En déduire la valeur de d12 .
II.D. Dans cette question, la dimension de E est 8.
Montrer que, quel que soit (x0 , . . . , x7 ) ∈ IR8 ,

x0
x1

x2

x4

x3

x5

x6
x7
−x1
x0
x4
−x2
x5
−x3
x7
−x6
−x2
−x4
x0
x1
x6
−x7
−x3
x5
−x4
x2
−x1
x0
−x7
−x6
x5
x3
est une matrice de similitude.
Que peut-on en déduire ?
II.E. Conjecture du résultat général.
Conjecturer le valeur de dn dans le cas général.
10
−x3
−x5
−x6
x7
x0
x1
x2
−x4
−x5
x3
x7
x6
−x1
x0
−x4
−x2
−x6
−x7
x3
−x5
−x2
x4
x0
x1

−x7
x6 

−x5 

−x3 

x4 

x2 

−x1 
x0