Cohomologie de BSpin(n). - Irma

Université de Strasbourg
UFR de Mathématiques et d'Informatiques
Stage de master
2.
Directeur de stage : Pierre Guillot
Cohomologie de
BSpin(n).
Simon Deruelle
Juin 2013
Table des matières
Table des matières
1
1 Remerciements
2
2 Introduction
3
3 Généralités sur les brés vectoriels et grassmaniennes
4
3.1
Fibrés vectoriels : dénitions, exemples . . . . . . . . . . . . . . .
4
3.2
Opérations sur les brés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.3
Grassmaniennes, et variétés de Stiefel . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.4
Classication des brés vectoriels de rang
n
. . . . . . . . . . . .
4 Cohomologie d'un groupe topologique G
G-bré
11
4.1
Notion de
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Classication des
4.3
Quelques exemples et propriétés de certains
G-brés
9
principaux, construction de
BG
BG
11
. . . .
17
. . . . . . . . . .
20
5 Opérations de Steenrod : Sqk
22
6 Les classes de Stiefel-Whitney
24
6.1
Quelques lemmes techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
6.2
Existence des classes de Stiefel-Whitney
27
. . . . . . . . . . . . . .
7 Calcul de H ∗ (BOn , Z2 ), H ∗ (BSOn , Z2 )
7.1
Calcul de
7.2
Calcul de
∗
H (BOn , Z2 ) .
H ∗ (BSOn , Z2 )
30
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
8 Les groupes spinoriels : Spinn (R)
34
9 Un théorème dû à Quillen
39
Références
40
1
1 Remerciements
Je tiens à remercier mon directeur de stage, Monsieur Pierre Guillot, Maître
de conférence à l'université de Strasbourg, pour sa disponibilité, pour le temps
qu'il a bien voulu me consacrer, ainsi que pour ses explications et conseils.
2
2 Introduction
Le but de ce mémoire est d'énoncer un théorème dû à Quillen sur la cohomologie de
BSpin(n) (BSpin(n)
est un groupe de Lie). L'énoncé ainsi que la
démonstration se trouvent dans l'article [6]. Pour pouvoir comprendre tous les
termes présents dans cet énoncé nous avons besoin de connaître la notion d'espace classiant. Cette notion apparaît naturellement lorsque l'on souhaite établir
une classication de certains brés au dessus d'un certain espace (nous n'avons
pas encore déni ce qu'était un bré, mais on peut penser à la donnée d'une
application continue
p : E → B et d'un groupe G agissant sur E tel que p induise
E/G et B ). La cohomologie des espaces classiants
un homéomorphisme entre
constitue l'approche topologique de la cohomologie des groupes, qui est un vaste
sujet des mathématiques du
20-ième
siècle. Une approche purement algébrique
existe, mais elle n'apparaîtra pas dans ce mémoire. Le but du premier chapitre est
de dénir la notion de bré vectoriel et de comprendre la grassmanienne. Dans
le chapitre
2
on montrera que pour tout groupe de Lie compact
espace classiant
G
il existe un
BG. La grassmanienne est le premier espace classiant que nous
rencontrerons, et on peut exprimer son anneau de cohomologie en fonction de ce
que l'on appelle les classes de Stiefel-Whitney. Les classes de Stiefel-Whitney sont
ce que l'on appelle des classes caractéristiques, c'est à dire des invariants associés
aux brés vectoriels, on esquisse une construction de ces classes au chapitre
4
en utilisant les opérations de Steenrod dénies de manière axiomatique (on ne
montre pas leur existence, on exhibe juste les propriétés qui nous intéressent) au
∗
∞
chapitre 3. Puis nous calculerons H (Gn (R )) c'est à dire : l'anneau de cohomologie de la grassmanienne. Enn dans un avant dernier chapitre nous construirons
les groupes spinoriels
revêtement universel
Spin(n), et nous montrerons qu'ils sont un modèle pour le
de SO(n). Enn dans un dernier chapitre nous énoncerons
le théorème tant attendu, et nous regarderons quelques exemples simples.
3
3 Généralités sur les brés vectoriels et grassmaniennes
On introduit dans ce chapitre la notion de bré vectoriel, les énoncés et les
preuves des propositions, théorèmes, et dénitions proviennent de [5]. Le langage
des brés vectoriels permet de mettre en place les classes de Stiefel-Whitney de
manière axiomatique comme nous le verrons plus tard.
3.1 Fibrés vectoriels : dénitions, exemples
Dénition 3.1.
Un bré vectoriel réel (respectivement complexe)
d'un espace topologique
B
ξ
au dessus
est la donnée de :
1. un espace topologique
E
(appeler espace total), que l'on notera très souvent
E(ξ).
2. une application continue
3.
∀b ∈ B
π:E→B
une structure de
π −1 (b).
R-espace
souvent appelée projection.
vectoriel (respectivement de
C-espace
vectoriel) sur
b∈B
il existe un voisinage U ⊂ B de b, un entier n ≥ 0, un homéomorphisme h :
U × Rn → π −1 (U ) tel que pour tous b ∈ U , l'application x 7→ h(b, x) soit un
n
−1
−1
isomorphisme entre l'espace vectoriel R et l'espace vectoriel π (b). π (b) est
appelé la bre au dessus de b et est souvent notée Fb (ξ). B est appelé la base, et
est parfois notée B(ξ).
On demande de plus la condition de trivialité locale suivante : pour tous
Remarques 3.2. • Si ξ est un bré vectoriel au dessus d'une base connexe, alors
on a que l'entier
n
est unique, on appellera cet entier le rang de
ξ.
•
Avec cette dénition, si B est un espace topologique on remarque que la projecn
tion canonique π : B × R → B est un bré vectoriel. On appelle ce bré vectoriel
le bré vectoriel trivial de rang
•
n.
Dans la suite de ce chapitre on ne considèrera que des brés vectoriels réels,
mais toutes les propositions de ce chapitre restent vraies pour les brés vectoriels
complexes, ce qui ne sera plus le cas à partir du chapitre suivant.
Dénition 3.3.
Soit
Dénition 3.4.
Un bré vectoriel est dit trivial si il est isomorphe au bré vec-
ξ
η deux brés vectoriels au dessus d'une même base
ayant pour espace total E(ξ) et E(η), on dit qu'ils sont isomorphes si : il existe
un homéomorphisme f : E(ξ) → E(η), où f est un isomorphisme entre les espaces
vectoriels Fb (ξ) et Fb (η).
et
toriel trivial.
n
Soit RP l'espace projectif réel de dimension n (avec n ≥ 1). Chaque élément
n
n+1
de RP
est une droite vectoriel de R
que l'on note [u] si u est un vecteur
4
qui engendre cette droite. Ainsi si l'on regarde le sous-ensemble de
RP n × Rn+1
constitué des paires ([u], v) tel que v est un multiple de u (on notera cet ensemble
E(γn1 )), et en dénissant π : E(γn1 ) → RP n par π([u], v) = [u], alors on remarque
n
1
que l'on obtient un bré vectoriel au dessus de RP
de rang 1 où E(γn ) est
1
l'espace total et π la projection. On notera ce bré vectoriel γn , il est souvent
n
appelé bré tautologique au dessus de RP .
Théorème 3.5.
Le bré vectoriel
γn1
au dessus de
RP n
n'est pas trivial pour
n ≥ 1.
Démonstration. voir [5]
Dénition 3.6.
Soit
continue, on dit que
s
p:E→B
s:B→E
p ◦ s = Id|B .
un bré vectoriel, et
est une section si :
une application
Théorème 3.7. Un bré vectoriel de rang n est trivial si et seulement si il admet
n
sections linéairement indépendantes en tous point de la base.
Démonstration. voir [5]
Dénition 3.8.
Un morphisme de
η
à
ξ (η
et
ξ
sont
2
brés vectoriels qui n'ont
g : E(η) → E(ξ) qui
vectoriels : g|Fb (η) : Fb (η) →
pas forcément la même base) est une fonction continue :
induit (par restriction) un isomorphisme d'espace
Fb0 (ξ) où b0 ∈ B(ξ).
Remarque 3.9. On remarque qu'un morphisme entre bré vectoriel : g : E(η) →
E(ξ)
induit une application continue
g : B(η) → B(ξ).
3.2 Opérations sur les brés vectoriels
On construit des nouveaux brés vectoriels en partant d'un (ou plusieurs)
bré vectoriel. On peut résumer ce paragraphe de la manière suivante : toutes les
opérations que l'on peut eectuer sur un ou plusieurs espaces vectoriels peuvent
être eectués sur des brés vectoriels.
1.
Restriction d'un bré à un sous ensemble de la base. Soit π : E → B
un bré vectoriel, et
0
0
et en posant : π : E
B 0 un sous-ensemble de B . En posant E 0 = π −1 (B 0 ),
→ B 0 la restriction de π à E 0 , on obtient un nouveau
bré vectoriel.
2.
Fibré induit. Soit ξ
π : E → B , et B1 un
continue f : B1 → B , on
un bré vectoriel de la forme
espace topologique. On se donne une application
∗
construit le bré induit f ξ au dessus de B1 de la manière suivante : l'espace
∗
total E1 de f ξ est le sous-espace E1 ⊂ B1 × E constitué des paires (b, e)
vériant
f (b) = π(e).
L'application π1 : E1 → B1 dénie par π1 (b, e) = b
f ∗ ξ (il faudrait vérier que π1−1 (b) est un
est la projection du bré vectoriel
espace vectoriel pour tous
b ∈ B1 , puis la
très dicile).
5
trivialité locale, mais ce n'est pas
3.
Produit cartésien. On se donne deux brés vectoriels ξ1
projections
πi : Ei → Bi
pour
et ξ2 , avec des
i = 1, 2, on dénit le produit cartésien ξ1 × ξ2
de la manière suivante :
π1 × π2 : E1 × E2 → B1 × B2
Il faut vérier la trivialité locale, mais une fois de plus la vérication est
formelle.
4.
Somme de Whitney. On considère deux brés vectoriels ξ1 , ξ2 au dessus
d : B → B × B l'application diagonale.
B est appelé la somme de Whitney de ξ1
avec ξ2 , et est noté ξ1 ⊕ ξ2 . On remarque que chaque bre Fb (ξ1 ⊕ ξ2 ) est
canoniquement isomorphe à la somme direct Fb (ξ1 ) ⊕ Fb (ξ2 ).
de la même base B . On appelle
∗
Le bré d (ξ1 × ξ2 ) au dessus de
Lemme 3.10.
si g :
g∗ξ .
Si g : E(η) → E(ξ) est un morphisme entre brés vectoriels, et
B(η) → B(ξ) est l'application induite, alors η est isomorphe au bré induit
Démonstration. voir [5]
3.3 Grassmaniennes, et variétés de Stiefel
On introduit dans ce paragraphe les grassmaniennes, et les variétés de Stiefel,
ce sont des variétés diérentiables compactes qui ont une structure de
CW -
complexe assez pratiques. On fera un usage courant de ces espaces par la suite.
Dénition 3.11. Un n-repère de Rn+k est un n-uplet de vecteurs linéairement in-
n+k
dépendant de R
. L'ensemble des n-repères forme un ouvert du produit cartésien :
n+k
n+k
n+k
R
× ... × R
(n fois), que l'on appelle variété de Stiefel : Vn (R
).
Remarque 3.12.
On remarque que
GLn+k (R)
agit naturellement sur
de plus cette action est transitive, et le stabilisateur d'un
ment isomorphe à
n+k
à Vn (R
).
GLk (R).
On a donc
GLn+k (R)/GLk (R)
Dénition 3.13.
La variété grassmanienne
vectoriels de
de dimensions
R
n+k
n.
Gn (Rn+k )
n-repère
Vn (Rn+k ),
est claire-
qui est homéomorphe
est l'ensemble des espaces
Mais la dénomination variété grassmanien-
ne suggère qu'il existe une topologie sur cet ensemble (et aussi une structure de
variété), on a une application évidente :
q : Vn (Rn+k ) → Gn (Rn+k )
n-repère associe le sous-espace vectoriel de dimension n que ces vecteurs
n+k
engendrent. On déclare qu'un sous-ensemble U ⊂ Gn (R
) est ouvert si et seule−1
n+k
ment si q (U ) est ouvert. Alors cela fait de Gn (R
) un espace topologique et
qui à un
même plus d'après la proposition suivante :
6
Proposition 3.14. Gn (Rn+k ) est une variété topologique compact de dimension
nk . De plus on a une application X 7→ X ⊥
Gn (Rn+k ) et Gk (Rn+k ).
qui dénie un homéomorphisme entre
Démonstration. voir [5].
Remarques 3.15. •
On remarque que
G1 (Rn+1 ) = RP n
(ils sont homéomor-
phes).
•
On+k (R)
Gn (Rn+k ) de
On a une action évidente de
une action de
On+k (R)
sur
sur
Vn (Rn+k ),
ce qui permet de dénir
la manière suivante :
On+k (R) × Gn (Rn+k ) → Gn (Rn+k )
(g, q(m))
7→ q(g.m)
Cette action est transitive, car tous les sous-espaces vectoriels de
Rn+k
possèdent
une base orthonormée. De plus on remarque que le stabilisateur de l'espace vectoriel engendré par les vecteurs (ei )i∈[1,n] (où (ei )i∈[1,n+k] est la base canonique de
Rn+k ) est l'ensemble des matrices diagonales par blocs de la forme On × Ok , d'où
n+k
un homéomorphisme Gn (R
) = On+k /On × Ok .
•
On remarque que l'on a les inclusions canoniques suivantes :
Gn (Rn ) ⊂ Gn (Rn+1 ) ⊂ Gn (Rn+2 ) ⊂ ...
Dénition 3.16. La variété grassmanienne innie Gn (R∞ ) est l'espace topologique :
lim (Gn (Rn+k )).
k→∞
Autrement dit un sous-ensemble de
seulement si son intersection avec
Gn (Rn+k )).
Gn (Rn+k )
Gn (R∞ )
est ouvert si et
est ouverte pour tout
k∈N
(dans
Dénition 3.17.
n
On construit comme précédemment un bré vectoriel γ . Cette
n
∞
fois γ est un bré vectoriel au dessus de Gn (R ). On considère le sous-espace
∞
∞
∞
de Gn (R ) × R
constitué des couples (X, x) où x ∈ X ∈ Gn (R ), on note ce
n
n
∞
sous-espace E(γ ). Ainsi l'application π : E(γ ) → Gn (R ) qui est dénie par :
π(X, x) = X
dénie un bré vectoriel de rang
Remarque 3.18.
que
γ
n
n.
Dans la dénition précédente on a pas expliqué pourquoi est-ce
vérie la condition de trivialité locale parce que cette fois-ci ce n'est pas
évident, la topologie limite entre en jeu. On pourra voir pour plus de précision
[5].
Dénition 3.19.
Soit
fn (Rn+k )
G
l'ensemble des espaces vectoriels munies d'une
orientation. Comme précédemment on a une application évidente q
e : Vn (Rn+k ) →
fn (Rn+k ). Ainsi un sous-ensemble U de Gr
gn (Rn+k ) est ouvert si et seulement
G
−1
si : q
e (U ) est ouvert. De plus cela donne naissance a une application continue
fn (Rn+k ) → Gn (Rn+k ), p est l'application qui à un espace vectoriel
évidente : p : G
orienté associe ce même espace vectoriel mais sans orientation.
7
Remarques 3.20. •
Cette fois ci on a :
fn (Rn+k ) = SOn+k (R)/SOn (R) ×
G
SOk (R)
f1 (R1+k ) = Sk
•G
Proposition 3.21.
à
2
L'application
fn (Rn+k ) → Gn (Rn+k )
p:G
est un revêtement
feuillets, de plus ce revêtement n'est pas triviale.
fn (Rn+k ) de la manière suivante :
G
fn (Rn+k ), si on note q̃((u2 , u1 , ..., un+k )) =
soit (u1 , u2 , ..., un ) une base orientée de X ∈ G
fn (Rn+k ) → G
fn (Rn+k ) qui est dénie par
−X , alors on a une application : G
X 7→ −X . Il faut encore vérier que cette application est bien dénie et est confn (Rn+k ), et clairement on a p
tinue, mais si c'est le cas on a une involution sur G
fn (Rn+k )/(Z2 ) → Gn (Rn+k ) qui est injecqui se factorise par une application p̃ : G
Démonstration. On remarque que
Z2
agit sur
tive (dû au faite qu'il n'existe que deux orientations sur un espace vectoriel réel).
fn (Rn+k ), on en déduit que p̃ est un homéomorphisme.
Puis par compacité de G
Donc
sinon
p est bien un revêtement à deux feuillets. Ce revêtement
fn (Rn+k ) ne serait pas connexe, ce qui est absurde.
G
Dénition 3.22.
On note
n'est pas trivial,
fn (R∞ ) = lim G
fn (Rk+n ),
G
et comme précédemment
k→∞
n
on a un bré vectoriel de rang n qui est déni de manière similaire à γ par une
n+k
n
n
fn (R ), on notera ce bré vectoriel γf.
f) → G
application π : E(γ
Nous aurons besoin lors du paragraphe 3 de comprendre la structure de
CW -complexe qui existe sur Gn (R∞ ). Pour cela nous exhibons une structure de
CW -complexe sur Gn (Rn+m ), puis on remarque que Gn (Rn+m ) est un sous-CW n+m+1
complexe de Gn (R
), ce qui permet d'avoir une structure de CW -complexe
∞
sur Gn (R ). Donnons alors une idée de la structure de CW -complexe qui existe
n+m
sur Gn (R
):
On a les inclusions suivantes :
R0 ⊂ R1 ⊂ R2 ⊂ ... ⊂ Rm
Rk
est constitué de tous les vecteurs qui ont leur m − k dernières coordonnées
m
nulles. Pour chaque espace-vectoriel X ⊂ R
de dimension n on a une suite
où
d'entiers :
0 ≤ dim(X ∩ R1 ) ≤ dim(X ∩ R2 ) ≤ ... ≤ dim(X ∩ Rm ) = n
Dénition 3.23.
On appelle symbole de Schubert
σ = (σ1 , ..., σn )
une suite de
n
entiers satisfaisant :
1 ≤ σ1 < σ2 < ... < σn ≤ m
Notation 3.24.
σ = (σ1 , ..., σn ), on note e(σ)
n de Rm qui vérient :
Pour chaque symbole de Schubert
l'ensemble des espaces vectoriels
X
de dimension
dim(X ∩ Rσi ) = i, dim(X ∩ Rσi −1 ) = i − 1, pour i = 1, ..., n
8
X ∈ Gn (Rm ) appartient à exactement un des ensembles e(σ)
P.nOn peut
montrer que chaque e(σ) est une cellule ouverte de dimension : d(σ) =
i=1 (σi −i)
n+k
(c'est à dire que e(σ) est un sous-ensemble de Gn (R
) qui est homéomorphe
à une boule ouverte de dimension d(σ)). On remarque de plus que le nombre de
m
cellules e(σ) est égale à Cn .
Chaque
Théorème 3.25.
Cnm
forment les cellules d'un CW -complexe
m
ayant pour espace topologique sous-jacent Gn (R ). De manière similaire en prenant
∞
la limite directe on obtient comme CW -complexe innie : Gn (R ).
Les
cellules
e(σ)
Démonstration. On pourra consulter [5]. Nous n'aurons pas besoin de comprendre
quelles sont les applications d'attachements.
Exemple 3.26.
RP n = G1 (Rn+1 ) est donc un CW -complexe
ayant une cellule de dimension r : e(r + 1) pour tous les 0 ≤ r ≤ n. De plus
RP ∞ = G1 (R∞ ) a une cellule de dimension r pour tous 0 ≤ r que l'on note
e(r + 1) et on remarque que e(r + 1) = RP r .
L'espace projectif
Dénition 3.27.
Une partition d'un entier
Ps
k=1 ik = r .
r ≥ 0
est une suite
(i1 , i2 , ..., is )
d'entiers positifs tel que
(σ1 , ..., σn ) avec d(σ) = r et σn ≤ m correspond
i1 , ..., is est une suite obtenue à partir de σ1 −
A chaque symbole de Schubert
une partition
1, ..., σn − n
(i1 , ..., is )
de
r,
où
en enlevant les zéros qui peuvent apparaître dans cette suite. Alors
on a que :
1 ≤ i1 ≤ i2 ≤ ... ≤ is ≤ m − n
et
s ≥ n.
D'où :
Corollaire 3.28.
partitions de
r
en au plus
Remarque 3.29.
admet
Gn (Rm )
Le nombre de
n
r-cellule
de
Gn (Rm )
est égale au nombre de
entiers positifs inférieurs ou égaux à
Le corollaire précédent est vrai pour
m − n.
m = ∞,
car
Gn (R∞ )
comme sous-CW -complexe.
3.4 Classication des brés vectoriels de rang n
Théorème 3.30.
pact
B
Un bré vectoriel
ξ
de rang
n
au dessus d'un espace paracom-
détermine une unique classe d'homotopie :
f : B → Gn (R∞ )
Une autre formulation (plus précise) de ce résultat est la suivante :
Théorème 3.31.
Tout bré vectoriel ξ de rang n au dessus d'une base paracomn
n
pact admet un morphisme ξ → γ . De plus deux morphismes f, g : ξ → γ sont
n
homotopes (c'est à dire qu'il existe une famille de morphismes ht : ξ → γ , t ∈
[0, 1]
avec
h0 = f
et
h1 = g
tel que la fonction
continue).
9
h : E(ξ) × [0, 1] → E(γ)
soit
Ce dernier résultat est très important, il justie en réalité toute cette section
sur les brés vectoriels et les variétés grassmaniennes, nous mettrons ce résultat en parallèle avec le théorème 4.36 qui permet de dénir l'espace classiant
d'un groupe topologique G. On vient de mettre en évidence le rôle qu'a l'espace
Gn (R∞ ) comme espace classiant du groupe On (R). On a pas déni ce qu'était un "espace classiant" mais on peut par exemple imaginer (ou se faire une
idée) que c'est un espace qui permet d'établir une correspondance (ce qui était
∞
le cas avec Gn (R ) qui permet d'établir une correspondance entre les brés vectoriels de rangs
[X, Gn (R∞ )]).
n
au dessus d'un certains espace
10
X
et les classes d'homotopie
4 Cohomologie d'un groupe topologique G
G
Dans ce chapitre on dénit l'anneau de cohomologie d'un groupe topologique
∗
à coecient dans un anneau k : H (G, k). On introduit pour cela la notion
de
G-bré
principale, c'est la notion centrale de cette section. On verra en quoi
cette notion de
G-bré
permet de "généraliser" la notion de bré vectoriel. Puis
à la n nous énoncerons un théorème semblable à 3.31 (on établit une certaine
correspondance), qui permet entre autre de mieux comprendre le théorème 3.31
∞
et l'espace Gn (R ). On établira l'existence et l'unicité à homotopie près d'un
certain espace
BG
(l'espace classiant du groupe topologique G), ce qui nous
H ∗ (BG, k). A la n nous verrons à quoi corre-
permettra de dénir l'anneau
spond la cohomologie de
BG lorsque G est discret. Les énoncés et les preuves des
propositions, théorèmes, et dénitions proviennent de [7]
4.1 Notion de G-bré
Dénition 4.1.
Soit
G
un groupe topologique. Un
G-bré
coordonné
B
est la
donnée de :
E
1. un espace topologique
appelé espace total.
2. un autre espace topologique
3. une application continue
Y
Y.
4. un espace topologique
manière eective sur
5. une famille
Vj j∈J
B
appelé la base
p:E→B
appelé bre, tel que
d'ouverts qui recouvrent
G
agisse continûment et de
B.
6. pour chaque j ∈ J un homéomorphisme (appeler fonction coordonnée) φj :
Vj × Y → p−1 (Vj ), tel que p ◦ φj = pr, où pr : Vj × Y → Vj est la projection
canonique.
satisfaisant les conditions suivantes :
1.
∀(i, j) ∈ J × J, ∀x ∈ Vi ∩ Vj , l'homéomorphisme φ−1
j,x ◦ φi,x : Y → Y est un
élément de G (ce dernier est unique puisque G agit de manière eective sur
Y ), ces fonctions sont appelées transformations de coordonnées.
2.
∀(i, j) ∈ J × J
l'appplication
gji : Vi ∩ Vj →
G
x
7→ φ−1
j,x ◦ φi,x
est continue.
Où
φj,x : Y
y
→ p−1 (x)
7
→
φj (x, y)
11
Notation 4.2.
pj : p−1 (Vj ) →
Y
−1
b
7→ φj,p(b) (b)
Dénition 4.3.
G-brés
Deux
coordonnés
B
et
B0
sont équivalents s'ils ont le
même espace totale, la même base, la même projection, la même bre et si leurs
0
vérient : ∀(j, k) ∈ J × K, ∀x ∈ Vj ∩
fonctions coordonnées φj
et φk
k∈K
j∈J
0−1
0
Vk , gkj (x) := φk,x ◦ φj,x est un élément de G et l'application gkj : Vj ∩ Vk0 → G
est continue.
Remarque 4.4. On remarque que la relation être équivalent pour deux G-brés
coordonnés est une relation d'équivalence, ce qui justie la dénition suivante.
Dénition 4.5.
G-bré
Un
est la classe d'équivalence d'un
G-bré
coordonné.
Remarques 4.6. •On considère un G-bré comme un G-bré coordonné maximal, c'est à dire un
tous les
G-bré
G-bré
coordonné ayant toutes les fonctions coordonnées de
G-bré coordonnés de sa classe d'équivalence. Lorsque nous parlerons de
p : E → B , nous ne mentionnerons pas (ou de manière occasionnelle) les
fonctions coordonnées, elles seront claires suivant le contexte.
•G
est souvent appelé groupe structural du bré
Exemples 4.7. •
brés de bre
Les
GLn (R)-brés
de bre
B.
Rn
(respectivement les
GLn (C)-
n
) correspondent aux brés vectoriels réels (respectivement comn
plexes). Pour montrer cela, on remarque que si {E, B, p, R , {φi }i∈I } est un GLn (R)bré alors
C
p:E→B
est un bré vectoriel si
∀i ∈ I, ∀x ∈ Vi φi,x
est un isomor−1
phisme linéaire. Mais il n'y'a pas de structure d'espace vectoriel sur p (x). Soit
−1
x ∈ Vj , a, b ∈ p (x) et u ∈ R. On dénit :
a + ub = φj,x (pj (a) + upj (b))
Supposons que
x ∈ Vi ,
alors :
φi,x (pi (a) + upi (b)) = φj,x ◦ gj,i (x)(pi (a) + upi (b))
= φj,x (gj,i (x) ◦ pi (a) + ugj,i (x) ◦ pi (b))
= φj,x (pj (a) + upj (b))
ne dépend pas du choix de la fonction coordonnée φi,x , et donc
−1
on a une structure d'espace vectoriel sur p (x) tel que φi,x soit un isomorn
phisme linéaire. Ce qui montre que tout GLn (R)-bré de bre R (respectivement
n
GLn (C)-bré de bre C ) peut-être vu comme un bré vectoriel réel (respectiveAinsi
a + ub
ment complexe). Inversement un bré vectoriel réel (respectivement complexe) est
n
clairement un GLn (R)-bré de bre R (respectivement un GLn (C)-bré de bre
Cn ).
• Les G-brés principaux au dessus de X où G est muni de la topologie discrète
X.
sont les revêtement réguliers au dessus de
12
Dénition 4.8.
h:B→B
0
Soit
B
et
B0
deux
G-brés
ayant la même bre. Un morphisme
h : E → E 0 satisfaisant les
entre brés, est une application continue
propriétés suivantes :
1.
h
établit un homéomorphisme entre la bre au dessus de p(x) et la bre au
p0 (h(x)) (en particulier h induit une application h : B → B 0 )
dessus de
2. si
−1
x ∈ Vj ∩ h (Vk0 ),
et
hx : Yx → Yx0
est l'application induite, alors l'appli-
cation :
gk,j (x) = φ0−1
k,x0 ◦ hx ◦ φj,x
coincide avec un élément de
G.
3. L'application :
−1
gk,j : Vj ∩ h (Vk0 ) → G
est continue.
Dénition 4.9.
Deux
G-brés B
et
B0 ,
ayant la même base et la même bre,
0
sont équivalents s'il existe un morphisme entre bré : B → B qui induit l'identité
sur les bases communes.
Remarque 4.10. La plupart du temps on considère les G-bré à équivalence près,
cela est justié par le théorème 4.32 qui est l'aboutissement de cette deuxième
grande partie.
Dénition 4.11.
Soit
G
un groupe topologique et
X
Vi ∩ Vj → G
vériant :
et une
un espace topologique. Un
Vj j∈J
collection d'applications continues : ∀i, j ∈ J × J, gj,i :
∀x ∈ Vi ∩ Vj ∩ Vk , gk,j (x)gj,i (x) = gk,i (x).
système de coordonnées de
d'ouverts de
X
X
à valeurs dans
On remarque que les fonctions
gj,i
G
est un recouvrement
dénies dans 4.1 forment un système de
coordonnées. On peut se poser la question inverse : étant donné un système de
{gi,j } est-ce qu'il existe un G-bré ayant X comme base, et les
{gi,j } comme transformations de coordonnées. La réponse est donnée
coordonnées
fonctions
par le théorème suivant :
Proposition 4.12. Soit
G un groupe topologique agissant de manière continue et
Y , soit Vj }, {gi,j } un système de coordonnées de l'espace B , alors
il existe un G-bré B ayant pour base B , pour bre Y , et comme transformations
de coordonnées les fonctions {gi,j }. Deux tels G-brés ayant les mêmes systèmes
eective sur
coordonnées sont équivalents.
T ⊂ X ×Y ×J l'ensemble des triplets (x, y, j) tel que x ∈ Vj .
0 0
0
0
On dénit comme relation sur T : (x, y, j) ∼ (x , y , k) si x = x , gk,j (x).y = y . On
dénit l'espace topologique B comme étant l'ensemble des classes d'équivalence
de (T, ∼), puis on munie B de la topologie quotient. Soit q : T → B la projection,
alors on a une application : p : B → X qui associe à chaque classe d'équivalence
Démonstration. Soit
13
du triplet
(x, y, j)
l'élément
x.
Il est clair que
p
est bien dénie et continue. On
dénit les fonctions coordonnées de la manière suivante :
ψj (x, y) = q(x, y, j), (x, y) ∈ Vj × Y
Puis on peut vérier avec ces fonctions coordonnées que l'on a bien dénie un
G-bré
où les transformations de coordonnées sont bien les fonctions
admettra l'unicité (à équivalence près) du
G-bré
gi,j .
On
ayant ces transformations de
coordonnées, on pourra consulter [7] pour avoir plus de précisions.
Réduction du groupe structural : à partir d'un
G-bré B
on peut se poser la
{Vi } de B ,
G, si c'est le
cas on dit que l'on réduit le groupe structural et on obtient de la sorte un H -bré.
question de savoir si on ne peut pas trouver un nouveau recouvrement
tel que les fonctions
Remarque 4.13.
gi,j
soient à valeurs dans un sous-groupe
Lorsque l'on arrive à réduire un
est le sous-groupe trivial de
G
l'on peut choisir comme ouvert
{e}-bré
G-bré
Vi l'espace B
alors le
G-bré
F
de
en un
K -bré
K
où
est en fait trivial, c'est à dire que
(la base). Un exemple typique de
trivial est celui donné par la projection canonique :
a pour bre
H
p : B × F → B,
qui
IdB×F .
et pour fonction coordonée :
Inversement quand peut on élargir le groupe structural ? C'est à dire si l'on a
un
H -bré,
où
H
est un sous-groupe de
G,
on aimerait le considérer comme un
G-bré à l'aide du théorème 4.12, mais l'action de H
ne s'étend pas forcément à
Dans la suite de ce paragraphe on construit un nouveau type de
G-bré,
G.
cette
construction est très importante et elle nous servira par la suite :
η : B → B 0 une application continue, et B 0 un G-bré p0 : X 0 → B 0 ayant
pour bre Y et pour système de coordonnées gi,j , on construit à partir de η et de
B 0 un nouveau G-bré que l'on notera η ∗ (B 0 ), voici cette construction :
Soit
Dénition 4.14.
G-bré, B un espace topologique, η : B → B 0
0
0
0
une application continue, p : B × E → B et h : B × E → E les projec0
tions canoniques. On dénit E comme étant le sous-espace de B × E , vériant :
∀(b, e) ∈ E, η(b) = p0 (e). On a ainsi un diagramme commutatif :
Soit
B0
un
E
/
h
E0
p
B
η
/
p0
B0
Vj = η −1 (Vj0 ) et φj (x, y) = (x, φ0j (η(x), y)), on peut vérier que p :
E → B est un G-bré ayant pour fonctions coordonnées φi , et pour bre Y , on
∗ 0
note ce bré : η (p ).
En posant
14
Remarques 4.15. •
La construction que nous venons de décrire est très simi-
laire à celle donnée pour les brés vectoriels (pour construire des brés vectoriels
nous n'avions pas besoin d'expliciter des fonctions
φj ,
mais seulement de vérier
une condition de "trivialité locale").
•Une deuxième construction de η ∗ (B) est de prendre comme ouvert
Vj = η −1 (Vj0 )
0
et comme transformations de coordonnées sur X les applications gi,j (x) = gi,j (η(x)),
puis d'invoquer la proposition 4.12.
Proposition 4.16.
G-brés ayant même bre, soit h : B → B 0
0
un morphisme entre G-bré, et η : X → X l'application induite sur les bases.
∗ 0
Alors le G-bré induit η B est équivalent à B .
Soit
B, B 0
deux
Démonstration. voir [7].
Proposition 4.17.
B 00
un G-bré au
G-bré η ∗ (η 0∗ B 00 ).
et
η : B → B 0 , η 0 : B 0 → B 00 des applications continues
00
0
∗ 00
dessus de B , alors le G-bré (η ◦ η) B est équivalent au
Soit
Démonstration. voir [7]
Dénition 4.18.
sur
Y
Un
G-bré
de bre
Y
est dit principal si :
Y =G
et si
G
agit
par translations à gauche.
Remarque 4.19. Si B0 est un G-bré principal alors η∗ (B0 ) est encore principal.
Dénition 4.20. Soit B un G-bré on appelle G-bré principal associé à B et on
B̃ , le G-bré déni (à équivalence près) par la proposition 4.12, où l'on choisit
G, comme transformations de coordonnées les transformations de
coordonnées de B , l'action de G sur la bre est celle donnée par translations à
0
gauche, et la projection p : E → B est celle de B . Plus généralement soit F un
espace topologique munie d'une action continue et eective à gauche de G alors le
0
bré associé à B de bre F est le bré déni à équivalence près par la proposition
0
0
4.12 où l'on choisit comme bre F et pour action l'action de G sur F .
note
comme bre
B̃ son G-bré principal associé. Soit q : Ẽ×Y →
Ẽ la projection canonique, alors q peut-être vu comme un H -bré ou H est le
groupe trivial. Mais q peut aussi être vu comme un G-bré de bre Y que l'on
notera B̃ × Y . On dénit un morphisme de G-brés P : B̃ × Y → B (qui sera
appelé application principal) de la manière suivante : soit (b̃, y) ∈ Ẽ × Y alors
P (b̃, y) = φi (x, p̃i (b̃).y), où x := p̃(b̃) ∈ Vi . Supposons que x ∈ Vi ∩ Vj , alors
Soit
B un G-bré de bre Y
et
φi,x (p̃i (b̃).y) = φj,x (gj,i (x).p̃i (b̃).y) = φj,x (p˜j (b̃).y)
P dénie bien un morphisme entre bré. Regardons le cas
un G-bré principal, alors ∀g ∈ G on a une application :
Donc
est
g: E →
E
b 7→ φi (x, pi (b)g)
15
où x = p(b) ∈ Vi
particulier où
B
On remarque que grâce à ces applications
E,
g
on a une action à droite de
vu la formule cette action est clairement continue. Donc les fonctions
E , en plus on remarque que g
des homéomorphismes de
G sur
g sont
préserve les bres, ce qui
implique la proposition 4.21 :
Proposition 4.21.
p
Soit
p:E→B
induit un homéomorphisme entre
G-bré
E /G et B .
un
principal, alors :
G
agit sur
E
et
La n de cette sous-section est consacrée à quelques lemmes qui nous serons
utiles pour la prochaine sous-section de ce chapitre :
Dénition 4.22.
G
Soit
un sous groupe fermé d'un groupe topologique
B,
et
p : B → B/G l'application canonique qui à un élément associe sa classe à gauche.
Soit x0 l'image d'un élément de G par l'application p. Une section locale de G
dans B est une application continue f : V → B vériant ∀x ∈ V, p ◦ f (x) = x,
où V est un voisinage de x0 ∈ B/G.
Théorème 4.23.
B qui admet une section
G. Soit p : B/H → B/G
l'application qui associe à la classe xH la classe xG dans B/G. On peut trouver
une structure de G/H0 -bré de bre G/H à la projection p, où
\
H0 =
gHg −1
locale
f,
et si
Si
H⊂G
G
est un sous groupe fermé de
est un autre sous-groupe fermé de
g∈G
De plus si l'on choisit une autre section locale
G/H0 -bré
sur
éléments de
B
p
f0
alors les deux structures de
sont équivalentes. Les translations à gauche de
B/H
par des
sont des endomorphismes de ce bré.
Démonstration. voir [7]
Corollaire 4.24.
Lie de
l'application
bre
Soit G et H deux sous-groupes de
p : B/H → B/G est un G/H0 -bré (de
B avec H ⊂ G
G/H ).
alors
Démonstration. Tout groupe de Lie possède une section locale, donc ce corollaire
est immédiat d'après le théorème précédent.
Exemples 4.25.
On a les brés principaux suivants :
•O(k) → O(n)/O(n − k) → Gk (Rn )
fk (Rn )
•SO(k) → SO(n)/SO(n − k) → G
•U (k) → U (n)/U (n − k) → Gk (Cn )
Théorème 4.26.
CW -complexes, B 0 un G-bré au dessus
X 0 et B un G-brés au dessus de X . Soit h0 , h1 deux applications homotopes
X dans X 0 , alors les G-brés h∗0 (B), h∗1 (B) sont équivalents.
Soit
X
et
X0
des
Démonstration. Admis voir [7]
16
de
de
Corollaire 4.27.
brés au dessus de
X
Si
X
G-
a même type d'homotopie qu'un point alors tous les
sont triviaux.
Démonstration. La preuve est immédiate vu le théorème 4.26.
Proposition 4.28.
πn (B, x0 ) est un
x0 , et y0 ∈ Y0 .
p : E → B un G-bré, alors p∗ : πn (E, Y0 , y0 ) →
n ≥ 2, où Y0 est la bre au dessus du point
Soit
isomorphisme pour
Démonstration. voir [7]
4.2 Classication des G-brés principaux, construction de
BG
Dénition 4.29.
B
Soit
B
un
G-bré
principal au dessus d'un espace
X,
on dit
si : pour tous n-complexe K , tous sous-complexe L de K ,
0
0
et tous G-bré principaux B au dessus de K , toutes applications h de B |L dans
0
B s'étend a une application de B à B .
que
est
n-universel
Remarque 4.30.
Dans cette dénition on peut choisir
0
toujours un morphisme entre G-bré B → B .
L = ∅,
ainsi il existe
Dénition 4.31. Soit B = {B, p, X, Y, G, Vj , φj } un G-bré, alors on peut former
G-bré : B × I = {B × I, q, X × I, Y, G, Vj × I, ψj },
ψj (x, t, y) = (φj (x, y), t).
un
Théorème 4.32.
Soit
complexe de dimension
où
q(b, t) = (p(b), t)
et
B un G-bré (n + 1)-universel, B sa base et K un CW n. L'opération qui à toute application f : K → B associe
son bré induit, dénit une bijection entre les classes d'homotopie des applications
de
K
dans
B
et les classes d'équivalence de
G-bré
principaux au desssus de
Démonstration. Par le théorème 4.26 deux applications homotopes de
X
induisent des
G-brés
K
K.
dans
équivalents. Donc à chaque classe d'homotopie on peut
G-bré, ainsi cette correspondance est bien
0
dénie. Comme on l'a observé grâce à la dénition 4.29 tout G-bré principale B
0
au dessus de K admet un morphisme h : B → B . Si f : K → X est l'application
0
induite par ce morphisme, alors B est équivalent au G-bré induit par f de B
associer une classe d'équivalence de
par la proposition 4.16. An de terminer la preuve de ce théorème on doit encore
f0 , f1 : K → X induisent deux G-brés équivalents
B0 , B1 , alors f0 est homotope à f1 . En notant hi : Bi → B l'application induite
pour i = 0, 1 et h : B0 → B1 l'équivalence entre ces 2 G-brés. Alors en formant
0
le G-bré B = B × I (voir la dénition 4.31), on a un morphisme évident entre
G-bré r : B0 ×I → B0 . Soit B00 et B10 les G-brés au dessus de K ×{0} et K ×{1}.
0
0
0
0
Soit ri = r|B0 pour i = 0, 1, on dénit h : B0 ∪ B1 → B par h |B0 = h0 ◦ r0 et
0
i
0 0
0
h |B1 = h1 ◦ h ◦ r1 . h est clairement un morphisme entre G-brés. De plus on
montrer la chose suivante : si
17
peut montrer que K × I est un (n + 1)-complexe. B est (n + 1)-universel, par
0
0
conséquent h s'étend à un morphisme B → B . L'application induite : K ×I → X
est l'homotopie recherchée.
Théorème 4.33.
G-bré principal B est n-universel
πi (E) = 0 pour 1 ≤ i < n.
Un
connexe par arcs et
si et seulement si
B
est
Démonstration. voir [7]
Lemme 4.34. Si 1 ≤ n ≤ m alors Om /On est connexe par arcs, et πi (Om /On ) =
0,
pour
1≤i<n
Démonstration. Si
n ≥ 1 alors On \SOn
est non vide, et donc comme
On
contient
des éléments des deux composantes connexes de Om , alors On /Om est connexe
i
par arcs. Soit f : (I , I˙i , e) → (Ok , On , e) une fonction continue avec n < k ≤ m,
k−1
et p : Ok → Ok /Ok−1 la projection canonique. Comme S
est homéomorphe à
Ok /Ok−1
alors si
i < k −1, p◦f
est homotope à l'application constante et
p◦f (I˙i )
ne bouge pas durant cette homotopie. Ainsi f est homotope à une application
f 0 : (I i , I˙i , e) → (Ok−1 , On , e), en appliquant cet argument successivement pour
k = m, m − 1, ..., n + 1, alors on conclut que πi (Om , On ) = 0 pour 2 ≤ i < n.
Tant que Om est un On -bré au dessus de Om /On alors d'après la proposition
4.28 on a que πi (Om /On ) = 0 pour 2 ≤ i < n. Il reste le cas i = 1, mais si
f : ([0, 1], {0, 1}) → (Om /On , {e}) alors on peut relever ce lacet en un chemin f˜ :
([0, 1], {0, 1}) → (Om , On ), puis en utilisant le même argument que précédemment
(ici π1 (Ok , Ok−1 ) = 0) pour k − 1 ≥ 2) alors f˜ est homotope à une application
k−1
dans Ok−1 pour k − 1 ≥ 2. Ainsi en utilisant le fait que π1 (S
) = 0 si k − 1 ≥ 2
˜
on obtient que le chemin p ◦ f = f se contracte en un point. D'où π1 (Om /On ) = 0
si n > 2.
Théorème 4.35.
il existe un
Soit
G
un groupe de Lie compact, alors pour chaque entier
n
G-bré n-universel.
Démonstration. Par un résultat classique G est isomorphe à un sous groupe du
0
groupe orthogonal Ok pour k susamment grand (voir [2]). On pose m = n + k ,
0
on considère Ok comme un sous groupe de Om qui opère trivialement sur les n
0
premières coordonnées, ainsi les sous groupes On et Ok de Om commutent, et on
0
peut identier leur produit On × Ok avec un sous-groupe de Om . De plus comme
G ⊂ Ok0 alors On × G est aussi un sous groupe de Om . On note B = Om /On et
X = Om /(On × G),
de G/H0 -bré où
alors d'après le proposition 4.24
H0 =
\
gOn g −1 =
g∈On ×G
\
g∈On ×G
18
p:B→X
On = On
a une structure
D'où
G/H0 ' G, de plus la bre est On × G/On ' G, et ce bré est principal car
G sur lui même par la
l'action s'identie à l'action par translations à gauche de
proposition 4.24. De plus on remarque grâce au lemme 4.34 et au théorème 4.33
que ce bré est
n-universel.
On remarque que
Om /On
s'injecte de manière canonique dans
Om+1 /On+1 , en
particulier on peut vérier que cette application induit un morphisme "injectif"
entre
G-bré
principaux.
Théorème 4.36.
tel que pour tout
[X, BG] →
f
7→
Il existe un
G-bré
CW -complexe
principal
BG
(dont on note la base
BG),
X, l'application suivante soit une bijection :
G − f ibré principal au dessus de X à équivalence près
f ∗ (BG)
Démonstration. En notant
Bn
le
G-bré n-universel,
et en considérant
BG =
lim Bn
on remarque que BG a son espace total qui a tous ses groupes d'homotopie
→
nuls. Donc en particulier d'après le théorème 4.33 on en déduit qu'il est n-universel
pour tout entier
n, ainsi il vérie les hypothèses du théorème 4.32 pour tout entier
n.
Théorème 4.37. BG est unique à homotopie près.
Démonstration. Supposons qu'un deuxième
classiant pour le groupe de Lie compact
G,
˜
CW -complexe BG
soit un espace
alors on a les ensembles :
{G-bré
BG à équivalence près } et {G-bré principal au dessus de
˜
˜ , et [g] ∈
BG à équivalence près } qui sont non vides, ainsi il existe [f ] ∈ [BG, BG]
˜
[BG, BG] qui représentent deux classes d'homotopie de f et g respectivement, tel
que si l'on applique le théorème 4.36 avec X = BG pour f on obtienne comme
˜ → BG
˜ , et si l'on applique ce même théorème avec X = BG
˜ pour g
G-bré EG
on obtienne EG → BG. On a ainsi que la classe d'homotopie [g ◦ f ] ∈ [BG, BG]
représentée par g ◦f a pour image d'après la correspondance du théorème 4.36 un
G-bré équivalent à EG → BG car (g ◦ f )∗ (BG) = f ∗ ◦ g ∗ (BG) (ces 2 brés sont
équivalents), donc g ◦ f est homotope à l'identité et en appliquant le même type
˜ ont même
de raisonnement f ◦ g est homotope à l'identité et donc BG et BG
principal au dessus de
type d'homotopie.
Remarque 4.38. • On aurait pu montrer l'existence d'un espace BG pour G un
groupe topologique quelconque, c'est ce que fait Milnor dans l'article [4]. L'avan-
BG c'est
BG = Gk (R∞ ).
tage que nous avons avec la construction que nous avons faite de
l'on reconnaît immédiatement que lorsque
G = Ok
alors
que
• Le désavantage que nous avons avec la construction que nous venons d'eectuer,
c'est que la fonctorialité de B n'est pas si claire : à partir d'un morphisme de
groupes topologiques ψ : G → H comment construire une application continue :
ψ∗ : BG → BH ? Nous répondrons à cette question dans le prochain paragraphe.
19
4.3 Quelques exemples et propriétés de certains BG
On calcule immédiatement certains espaces
BG,
il y a pleins de groupes de
Lie (même non compact) pour lesquels il est facile connaître le type d'homotopie
de
BG,
voici une liste (non exhaustive) :
BG = RP ∞ , EG = S∞
1.
G = Z2
2.
G = Zn
3.
G = Z alors BG = S1 , EG = R car on a le revêtement bien connu : R → S1
avec R qui est contractile.
4.
G = S1
car on a un bré de la
→
1
2n+1
forme S → S
→ CP n pour tous les n ∈ N. De plus les inclusions
2n+1
2n+3
n
n+1
S
→S
induisent les inclusions CP → CP
. D'où un bré prin1
∞
∞
∞
cipal : S → S
→ CP , avec S qui est contractile.
5.
G = Ok (R), ou GLk (R) alors BG = Gk (R∞ ), EG = Vk (R∞ ), pour voir cela
il sut de reprendre la preuve du théorème 4.35 et de remplacer G par
Ok (R).
6.
G = SOn (R)
7.
G = Un (C)
alors
BG = (lim S2n+1 )/(Zn ) = S∞ /(Zn ), EG = lim S2n+1 = S∞ ,
alors
→
→
les racines n-ième de l'unité agissent naturellement sur les sphères de di∞
mensions impaires, d'où un revêtement régulier : S
→ (S∞ )/(Zn ), avec
S∞ contractile.
alors
alors
alors
Proposition 4.39.
versels alors
BG = CP ∞ , EG = lim S2n+1
fn (R∞ ), EG = Vn (R∞ )
BG = G
BG = Gn (C∞ ), EG = Vn (C∞ )
Soit
B(G × H)
pG : EG → BG
a même type
pH : EH → BH deux
d'homotopie que BG × BH .
et
Démonstration. On peut monter que l'on a un
EG × EH → BG × BH
comme
EG × EH
G × H -bré
principal
brés uni-
pG × pH :
est contractile (car le produit de deux
espaces contractiles est contractile), alors on a le résultat voulu.
On peut se poser la question suivante : A partir d'un morphisme entre groupes
topologiques ψ : G → H comment construire une application continue ψ∗ : BG →
BH ? On donne ici une construction de ψ∗ : On remarque que G agit sur EG×EH
de la manière suivante :
G × EG × EH → EG × EH
(g, u, v)
7→ (g.u, ψ(g).v)
20
π : EG × EH → (EG × EH)/G
EG × EH est contractile car EG et EH
sont contractiles. Donc BG = (EG × EH)/G. On a de plus une application
proj : (EG × EH)/G → EH/G, où G agit sur EH de la manière suivante :
On peut aussi montrer que l'application
est en faites un
G-bré
principal, or
G × EH → EH
(g, u)
7→ ψ(g).u
EH → EH/H se factorise par s : EH/G →
s ◦ proj : BG → BH ne dépend que de ψ , ainsi
De plus l'application canonique
EH/H (EH/H = BH ).
ψ∗ = s ◦ proj .
Ainsi
Pour nir, on calcule les groupes d'homotopie de
BG
dans certains cas partic-
uliers, à l'aide du théorème suivant :
Théorème 4.40. Suite exacte longue en homotopie d'un bré : Soit B = {B, p, X, Y, G}
un
G-bré, y0 ∈ Y0 = p−1 (b0 )
alors on a une suite exacte de la forme :
...
/ πn (Y0 , y0 )
i∗
/ πn (X, y0 )
p∗
/ πn (B, b0 )
4
/ πn−1 (Y0 , y0 )
...
/ π2 (B, b0 )
4
/ π1 (Y0 , y0 )
i∗
/ π1 (X, x0 )
p∗
/ π1 (B, b0 )
/ ...
Démonstration. On pourra consulter [7].
En particulier ce dernier théorème implique que si la bre
contractile) alors
∀n ≥ 2, πn (B) ' πn (X).
Théorème 4.41.
Soit
G
Y
est discrète (ou
D'où le théorème suivant :
un groupe topologique discret alors
∀n 6= 1, πn (BG)
est
trivial.
On suppose
G
discret, si
p : EG → BG
est un
G-bré
(donc aussi un revêtement), tel qu'il existe une structure de
EG
où
G
agisse librement et transitivement sur les
Alors une résolution projective de
...
/
Ck (EG, A)
/
Z
k -cellules
principal universel
CW -complexe sur
k entier.
pour tous
est :
Ck−1 (EG, A)
/
...
/ C0 (EG, A)
/
Z
/
0
Ainsi en appliquant le foncteur HomZ[G] (, A) (où G agit trivialement sur A et Z)
i
en obtient que HomZ[G] (Ci (EG), A) = HomZ (Ci (BG), A) = C (BG, A). Donc :
ExtiZ[G] (Z, A) = H i (BG, A), ce qui permet d'expliquer pourquoi on peut dire que
la cohomologie de G est la cohomologie singulière de BG. Cependant le problème
de cette construction c'est qu'il n'y a pas de structure d'anneaux évidente sur
ExtiZ[G] (Z, A) (en plus de cela elle n'est dénie que pour les groupes discrets).
21
5 Opérations de Steenrod : Sq k
On explique dans ce chapitre les opérations de Steenrod, qui seront utilisées
ultèrieurement. Ici la cohomologie sera à coecient dans le corps
Z2 .
On ne
prouvera pas l'existence ni l'unicité de ces opérations, cela en partie dû au faite
que l'on ne se sert jamais de cette construction, mais uniquement des propriétés
qui sont données dans cette première dénition-proposition :
Dénition 5.1.
Pour toute paire d'espaces topologiques
(i, j) il existe un homomorphisme
Sq : H (X, Y ) → H n+i (X, Y )
d'entier naturel
i
n
Y ⊂X
et tout couple
de groupes :
vériant les axiomes suivants :
1. Naturalité : si
f : (X, Y ) → (X 0 , Y 0 )
a ∈ H n (X, Y ),
i > n.
2. Si
alors
alors
Sq i ◦ f ∗ = f ∗ ◦ Sq i
Sq 0 (a) = a, Sq n (a) = a ∪ a,
et
Sq i (a) = 0
pour
3. On a l'identité (appelée formule de Cartan) :
Sq k (a ∪ b) =
X
Sq i (a) ∪ Sq j (b)
i+j=k
Lorsque
a∪b
est bien dénie.
On admettra l'existence de tels homomorphismes, on pourra trouver une construction dans [3].
On remarque que pour toute application continue
le diagramme commutatif suivant (grâce à l'axiome
H i (X 0 , Y 0 )
Sq j
Sq j
2)
on a
:
/ H i+j (X 0 , Y 0 )
f∗
H i (X, Y )
f : (X, Y ) → (X 0 , Y 0 )
/
f∗
H i+j (X, Y )
ainsi on peut voir ces opérations comme des transformations naturelles entre les
∗
∗+j
foncteurs H et H
. Il est intéressant de considérer l'opération de Steenrod
totale :
Sq(a) = a + Sq 1 (a) + Sq 2 (a) + ... + Sq n (a)
Ainsi on peut montrer grâce à la formule de Cartan la formule suivante :
Sq(a ∪ b) = Sq(a) ∪ Sq(b)
On énonce un lemme :
22
Lemme 5.2.
Si
A
et
B
sont deux sous-ensembles ouverts de
A∪B
alors on peut
dénir un produit :
H m (X, A) ⊗ H n (X, B) → H m+n (X, A ∪ B)
C i (X, A, B) ⊂ C i (X) l'intersection des sous-modules C i (X, A)
0
m
n
et C (X, B) de C (X). Soit c et c deux cochaines de C (X, A) et C (X, B), le
0
m+n
produit cc appartient à C
(X, A, B). On a la suite exacte courte suivante :
Démonstration. Soit
i
i
0→
− C ∗ (X, A ∪ B) →
− C ∗ (X, A, B) →
− C ∗ (A ∪ B, A, B) →
− 0
On peut montrer que le complexe
∗
implique que l'inclusion C (X, A
C ∗ (A ∪ B, A, B) est acyclique , voir [5]. Ce qui
∪ B) →
− C ∗ (X, A, B) est un isomorphisme en
cohomologie. Donc on obtient bien l'application bilinéaire voulu.
p1 : (X × Y, A × Y ) → (X, A) et p2 : (X × Y, X × B) → (Y, B)
les projections canoniques avec A ⊂ X et B ⊂ Y des ouverts. Soit (a, b) ∈
H k (X, A) × H l (Y, B) alors on dénit a × b = p∗1 (a) ∪ p∗2 (b) qui est une classe de
H l+k (X × Y, A × Y ∪ X × B) d'après le lemme 5.2. On peut montrer que l'on a
Soit
la formule :
Sq(a × b) = Sq(a) × Sq(b)
.
23
6 Les classes de Stiefel-Whitney
On introduit dans ce chapitre ce que l'on appelle les classes de Stiefel-Whitney,
dans tout ce chapitre les brés vectoriels seront réels. L'importance de ces classes
sera justiée au chapitre suivant, lorsque nous calculerons la cohomologie de
BSO(n)
et de
BO(n).
Les dénitions, propositions, et preuves proviennent du
livre [5]. L'unicité de ces classes sera prouvé au chapitre suivant, dans ce chapitre
nous ne montrerons que l'existence de ces classes.
Dénition 6.1. Soit ξ un bré vectoriel réel, il existe des classes wi (ξ) ∈ H i (B(ξ)), i =
0, 1, 2, ... appelées classes de Stiefel-Whitney de ξ vériant les axiomes suivants
1. w0 (ξ) = 1, et wi (ξ) = 0 pour i > n. (où ξ est de rang n)
2. Naturalité : Si f : ξ → η est un morphisme de bré vectoriel alors :
:
∗
wi (ξ) = f wi (η), pour tous les i
3. Si
ξ
et
η
sont des brés vectoriels au dessus de la même base, alors
wk (ξ ⊕ η) =
k
X
wi (ξ) ∪ wk−i (η)
i=0
4. La première classe de Stiefel-Whitney du bré en droites
RP 1 est non nulle. (w1 (γ11 ) 6= 0)
Dénition 6.2.
réel
ξ
de rang
n,
γ11
au dessus de
On appelle classe totale de Stiefel-Whitney d'un bré vectoriel
la classe
w(ξ) = 1 + w1 (ξ) + w2 (ξ) + ... + wn (ξ).
On a :
w(ξ ⊕ η) = w(ξ)w(η)
Remarques 6.3. •L'importance des classes de Stiefel-Whitney est résumée dans
4 axiomes.
• Si ξ est un bré vectoriel trivial alors w(ξ) = 1 (conséquence de l'axiome 2).
• Si ξ est isomorphe à η alors w(ξ) = w(η) (où ξ et η ont la même base).
ces
On énonce quelques propositions techniques avant de commencer à montrer
que les classes
wi
vérient les
4
axiomes :
6.1 Quelques lemmes techniques
Théorème 6.4.
s
Soit
E
l'espace total d'un bré vectoriel
ξ,
et
E0 = E \ s(B)
où
est la section nulle. Alors on a l'isomorphisme :
∪u : H k (E) → H k+n (E, E0 )
x
7→
x∪u
u est l'unique classe de cohomologie en degré n de H ∗ (E, E0 )
n
−1
tel que u|(F,F0 ) ∈ H (F, F0 ) soit non nulle pour toute bre F = π (b) (avec
∗
F0 = F ∩ E0 ). De plus on peut montrer que u|E = π (wn (ξ)).
pour chaque
k,
où
24
Démonstration. voir [5]
Remarque 6.5.
La multiplication (ou encore le cup-produit) est dénie directe-
ment à partir des cochaines par la formule :
< cc0 , σ >= (−1)mn < c, σ◦αm > . < c0 , σ◦βn >, (c, c0 , σ) ∈ C n (X)×C m (X)×Cn+m (X)
αm (t0 , ..., tm ) = (t0 , ..., tm , 0, ..., 0) et βn (tm , ..., tm+n ) = (0, ..., 0, tm , ..., tm+n ).
0
n
m
0
n+m
Ainsi il est clair que si (c, c ) ∈ C (X, A) × C (X) alors cc ∈ C
(X, A)
k
k
k
(avec C (X, A) = C (X)/C (A) pour chaque entier naturel k ). Ce qui explique
Où
en particulier pourquoi l'application ∪u du théorème 6.4 est bien dénie. On a
n
n
n
aussi que (F, F0 ) ' (R , R \ {0}), ainsi on en déduit que H (F, F0 ) a une unique
classe non nulle, où
Notation 6.6.
Par conséquent
n
est le rang du bré vectoriel considéré.
On remarque que
φ = ψ ◦ π∗
π :E →B
est une équivalence d'homotopie.
H k (B) et H k+n (E, E0 ), cet
est un isomorphisme entre
isomorphisme est appelé l'isomorphisme de Thom.
0
1
D'après la suite exacte 6.8 on a un isomorphisme δ : H (R0 , R− ) → H (R, R− )
0
1
(car H (R, R− ) = 0 et H (R, R− ) = 0) par excision on a un autre isomorphisme
0
+
0
H (R ) → H (R0 , R− ), notons e la classe de H 1 (R, R0 ) qui correspond via ces
0
n
n
n
n
isomorphismes à 1 ∈ H (R+ ). Notons e ∈ H (R , R0 ) la classe e × e × ... × e (n
fois). On démontre le théorème suivant :
Théorème 6.7.
phisme :
Pour toute paire (X, A) avec A ouvert
H m (X, A) → H m+n (X × Rn , A × Rn0 )
a
7→
a × en
dans
X,
on a un isomor-
Démonstration. On remarque qu'il sut de considérer le cas n =
n
n−1
eectuant une récurrence et en remarquant que
a × e = (a × e
1, puis
) × e alors
en
on
n = 1 et A = ∅. Fixons les notations suivantes :
i : (X × R+ , ∅) → (X × R0 , X × R− ), ĩ : (X × R+ , ∅) → (X × R0 , ∅) et
˜ĩ : (R , ∅) → (R , R ) les inclusions canoniques, p : (X × R , X × R ) →
+
0
−
0
−
(R0 , R− ), p̃ : (X × R+ , ∅) → (R+ , ∅), et π : (X × R0 , ∅) → (X, ∅) les projections
˜
∗
∗
∗ ˜∗
canoniques, alors on a clairement : p ◦ i = ĩ ◦ p̃ d'où i ◦ p = p̃ ◦ ĩ ainsi :
en déduit le théorème. 1er cas :
ĩ∗ (π̃ ∗ (a)) ∪ p̃(˜ĩ∗ (u)) = ĩ∗ (π̃ ∗ (a)) ∪ (p ◦ i)∗ (u)
⇒ ĩ∗ (π̃ ∗ (a)) ∪ p̃(˜ĩ∗ (u)) = ĩ∗ (π̃ ∗ (a)) ∪ i∗ (p∗ (u))
⇒ ĩ∗ (π̃ ∗ (a)) ∪ p̃(˜ĩ∗ (u)) = i∗ (π ∗ (a)) ∪ i∗ (p∗ (u)) (ici π ∗ (a) ∈ H m (X × R0 , X × R− ))
⇒ ĩ∗ (π̃ ∗ (a)) ∪ p̃(˜ĩ∗ (u)) = i∗ (π ∗ (a) ∪ p∗ (u))
⇒ ĩ∗ (π̃ ∗ (a)) ∪ p̃(˜ĩ∗ (u)) = i∗ (p∗ (u) ∪ π ∗ (a)) (la cohomolgie est à coef f icient dans Z2 )
25
ce qui prouve que le diagramme suivant est commutatif :
H 0 (R+ ) o
H 0 (R0 , R− )
˜ĩ∗
a×
H m (X × R+ ) o
a×
i∗
H m (X × R0 , X × R− )
Appliquons la suite exacte de 6.8 avec A
δ : H 0 (R0 , R− )
= R− , B = R0 , C = R on récupère
→ H 1 (R, R0 ), puis appliquons une
deuxième fois cette suite exacte avec A = X × R− , B = X × R0 , C = X × R
0
m
on récupère un deuxième morphisme de groupes : δ : H (X × R0 , X × R− ) →
H m+1 (X × R, X × R0 ). δ est un isomorphisme (car H ∗ (R, R− ) = 0), δ 0 est aussi
un isomorphismes (car X × R et X × R− contiennent X × {constante} comme
∗
rétracte par déformation donc H (X × R, X × R− ) = 0). D'où le diagramme
un morphisme de groupes :
suivant :
H 0 (R+ ) o
a×
H m (X × R+ ) o
H 1 (R, R0 )
a×
H m (X × R0 , X × R− )
i∗
/
δ
H 0 (R0 , R− )
ĩ∗
δ0
/ H m+1 (X
a×
× R, X × R0 )
δ 0 ◦ i∗−1 (a) = a × e1 et donc on a bien un isomorphisme comme annoncé.
1
2ème cas : n = 1 et A 6= ∅, alors : choisissons z ∈ Z (R, R0 ) une cochaine qui
représente e, alors on a le diagramme commutatif suivant :
ainsi
/
0
/ C m+1 (X
0
/
C m (X, A)
×z
/
× R, X × R0 , A × R)
/
C m (X)
×z
C m+1 (X × R, X × R0 )
/
/
C m (A)
×z
/
C m+1 (A × R, A × R0 )
Les lignes sont exactes. De plus ces morphismes commutent avec le cobord
0
0
δ.
D'où le diagramme commutatif suivant :
δ
...
...
δ
/ H m+1 (X
/
/
H m (X, A)
×e
/
× R, X × R0 , A × R)
où les lignes sont exactes. D'après le cas
des isomorphismes, ainsi par le lemme des
/ H m (A)
H m (X)
×e
H m+1 (X × R, X × R0 )
/
1 les èches verticales de droites sont
5 on a la èche de gauche qui est un
On rappelle le résultat suivant (qui est fort utile en topologie algébrique) :
...
/
...
×e
H m+1 (A × R, A × R0 )
isomorphisme.
26
/
δ
δ
Théorème 6.8.
et
Soit (C, A, B) avec B ⊂ A ⊂ C , en notant i : (C, B) → (C, A)
j : (A, B) → (C, B) les inclusions canoniques alors il existe une suite exacte
longue en cohomologie de la forme :
/
...
H n (C, A)
i∗
/
H n (C, B)
j∗
/
H n (A, B)
δ
/ H n+1 (C, A)
/ ...
δ 0 ◦ u∗ avec u : (A, ∅) → (A, B) l'inclusion canonique et δ 0 : H n (A) →
(C, A) le cobord de la suite exacte longue en cohomologie de la paire (C, A).
où δ =
n+1
H
Démonstration. Dans [3] par exemple.
6.2 Existence des classes de Stiefel-Whitney
wi (ξ) = φ−1 ◦
bien les 4 axiomes
On montre l'existence des classes de Stiefel-Whitney en posant
i
Sq ◦ φ(1),
on vérie que ces classes de cohomologies vérient
de la dénition 6.1 :
Démonstration.
φ(1) ∈ H n (E, E0 ) or d'après l'axiome 2 des opérations
i
si i > n alors Sq ◦ φ(1) = 0 et donc wi (ξ) = 0 comme annoncé.
d'après l'axiome 2 des opérations de Steenrod w0 (ξ) = 1.
AXIOME 1 :
de Steenrod
Et toujours
f : ξ → ξ 0 une application entre brés vectoriels, alors elle induit
0
0
une application g : (E, E0 ) → (E , E0 ), qui elle même induit un homéomorphisme
0
0
g0 : (F, F0 ) → (F , F0 ). Et on a le diagramme suivant :
AXIOME 2 : Soit
0
(F
, F00 )L
9
LLL 0
ss
LLiL
ss
s
LLL
ss
s
s
%
g
i /
/ (E 0 , E 0 )
(F, F0 )
(E, E0 )
g0
0
qui induit le diagramme suivant :
H n (F 0 , F0O0 )
g O
o
OOO i0∗
g0 ∗ oooo
OOO
o
o
OOO
o
'
o
o
wo
∗
g∗
i
H n (E 0 , E00 )
H n (F, F0 ) o
H n (E, E0 ) o
Soit
u0
la classe non nulle de
H n (E 0 , E00 ), alors i
0 ∗ −1
le diagramme ci-dessus, ainsi on en déduit que
27
◦g0 ∗ −1 ◦i∗ ◦g ∗ (u0 ) = u0 d'après
g ∗ (u0 ) 6= 0, d'où g ∗ (u0 ) = u. Cela
implique aussi que
∗
0
φ ◦ f = g∗ ◦ φ .
∗
0
⇒ Sq i ◦ φ ◦ f (1) = Sq i ◦ g ∗ ◦ φ (1)
⇒ Sq i ◦ φ(1) = g ∗ ◦ Sq i ◦ φ0 (1)
⇒ Sq i ◦ φ(1) = g ∗ ◦ φ0 ◦ φ0−1 Sq i ◦ φ0 (1)
∗
⇒ Sq i ◦ φ(1) = φ ◦ f ◦ φ0−1 ◦ Sq i ◦ φ0 (1)
∗
⇒ φ−1 ◦ Sq i ◦ φ(1) = f ◦ φ0−1 ◦ Sq i ◦ φ0 (1)
∗
⇒ wi (ξ) = f wi (ξ 0 )
D'où l'axiome 2.
ξ 0 deux brés vectoriels de rangs respectifs n et m. On a
0
0
0
0
comme bré vectoriel π × π : E × E → B × B , on note u et u les seules classes
∗
∗
0
0
0
n+m
non nulles de H (E, E0 ) et H (E , E0 ). En notant u × u ∈ H
(E × E 0 , E ×
E00 ∪ E0 × E 0 ) comme étant le produit de p∗1 (u) avec p∗2 (u0 ) où p1 : E × E 0 → E
0
0
0
et p2 : E × E → E sont les projections canoniques. On remarque que u × u
n+m
est la seule classe non nulle de H
(E × E 0 , E × E00 ∪ E0 × E 0 ), pour voir cela
00
00
∗
0
00
00
il sut de voir que i (u × u ) 6= 0 où i : (F , F0 ) → (E , E0 ) est l'injection
00
0
0
00
0
00
canonique d'une bre de ξ × ξ (avec E = E × E , E0 = E \ {0} = E × E0 ∪
E0 × E 0 ). Mais on a i∗ (u0 × u0 ) = i∗ (p∗1 (u))i∗ (p∗2 (u0 )) = (p1 i)∗ (u) ∪ (p2 i)∗ (u0 ) or
(p1 i)∗ (u) = i∗1 (u) et (p2 i)∗ (u0 ) = i∗2 (u0 ) sont non nuls (où i1 : (F, F0 ) → (E, E0 )
0
0
0
0
et i2 : (F , F0 ) → (E , E0 ) sont respectivement les injections canoniques de deux
0
0
bres F et F respectives des deux brés ξ et ξ ), donc d'après le théorème 6.7
∗
∗ 0
0
(p1 i) (u) ∪ (p2 i) (u ) 6= 0. Ainsi u × u est bien la classe non nulle de H n+m (E ×
E 0 , E × E00 ∪ E0 × E 0 ). Ensuite si a = π ∗ (a) ∈ H ∗ (E) et b = π 0∗ (b) ∈ H ∗ (E 0 ) on
AXIOME 3 : Soit
ξ
et
remarque que
p∗1 (a) ∪ p∗2 (b) ∪ (p∗1 (u) ∪ p∗2 (u0 )) = (p∗1 (a) ∪ p∗1 (u)) ∪ (p∗2 (b) ∪ p∗2 (u0 ))
= p∗1 (a ∪ u) ∪ p∗2 (b ∪ u0 )
(car la cohomologie est à coecient dans
Z2 ,
et grâce à la remarque 6.5) d'où
l'égalité :
(a × b) ∪ (u × u0 ) = (a ∪ u) × (b ∪ u0 )
Cette dérnière égalité implique :
φ00 (a × b) = φ(a) × φ0 (b) (∗)
Or
φ00 (w(ξ 00 )) = Sq(u00 ) = Sq(u × u0 ) = Sq(u) × Sq(u0 ) (∗∗)
0
0
On remarque en utilisant l'égalité (∗) que : φ(w(ξ))×φ (w(ξ )) =
00 −1
en appliquant (φ )
(des deux côtés), on obtient grâce à (∗∗) :
w(ξ × ξ 0 ) = w(ξ) × w(ξ 0 )
28
φ00 (w(ξ)×w(ξ 0 ))
w(ξ) × w(ξ 0 ) = proj1∗ (w(ξ)) ∪ proj2∗ (w(ξ 0 )) (où proj1 et proj2 sont les projec0
tions canoniques évidentes : B × B → B ), on suppose maintenant que ξ et ξ ont
pour bases B . Alors en considérant la diagonale i : B → B × B on remarque en
∗
appliquant i des deux côtés de l'égalité précédente que :
Or
w(i∗ (ξ × ξ 0 )) = i∗ (proj1∗ (w(ξ))) ∪ i∗ (proj2∗ (w(ξ 0 )))
i∗ ◦ proj1∗ = i∗ ◦ proj2∗ = (proj1 ◦ i)∗ = (proj2 ◦ i)∗ = IdB , et
i (ξ × ξ 0 ) = ξ ⊕ ξ 0 (où ici i∗ (ξ × ξ 0 ) signie le bré induit par i du
ξ × ξ 0 ).
Or
∗
par dénition
bré vectoriel
≤ 1 dans E(γ11 ) est un ruban de
1
Möbuis, qui a pour bord un cercle C . M est un rétracte par déformation de E(γ1 ),
∗
∗
et C est un rétracte par déformation de E0 , d'où : H (M, C) ' H (E, E0 ). De plus
RP 2 \D2 est homéomorphe à M , où D2 est un disque (une 2-cellule). Par excision
∗
∗
2
2
i
2
2
on a : H (M, C) qui est isomorphe à H (RP , D ). De plus H (RP , D ) est
i
2
2
∗
isomorphe à H (RP ) pour i 6= 0, car D est contractile. Ainsi on a H (E, E0 ) '
i
2
i
2
3
H (RP ) pour chaque i 6= 0. Or H (RP ) ' Z2 [X]/(X ). Ainsi la classe non nulle
u ∈ H 1 (E, E0 ) correspond au générateur a ∈ H 1 (RP 2 ), et donc Sq 1 (u) = u ∪ u
1
correspond à Sq (a) = a ∪ a (par l'axiome 2 des opérations de Steenrod). Comme
a ∪ a 6= 0 alors w1 (γ11 ) = φ−1 Sq 1 (u) est non nulle.
AXIOME 4 : l'ensemble des vecteurs de longueurs
Une des principales applications des classes de Stiefel-Whitney est par exemple
le théorème suivant :
Théorème 6.9.
n
n
R ×R → R
n
trivial, et donc
(Stiefel) Supposons que l'on ait une application bilinéaire p :
n−1
avec aucun diviseur de 0. Alors RP
a son bré tangent qui est
n
est une puissance de
2.
On peut aussi montrer (mais cela dépasse le cadre de ce mémoire) qu'il n'existe
pas de telle loi d'anneau si
n > 8.
29
7 Calcul de H ∗(BOn, Z2), H ∗(BSOn, Z2)
On calcule dans ce chapitre l'anneau de cohomologie des espaces
∞
fn (R∞ ).
on rappelle que BOn = Gn (R ) et BSOn = G
BOn
et
BSOn ,
7.1 Calcul de H ∗(BOn, Z2)
Lemme 7.1.
Il n'existe pas de relations polynomiales entre les classes
wi (γ n ).
Démonstration. On raisonne par l'absurde, on suppose qu'il existe un polynôme
p à n variables (à coecient dans Z2 ) tel que p(w1 (γ n ), w2 (γ n ), ..., wn (γ n )) = 0.
n
ξ de rang n, il existe g : ξ → γ un morphisme en∗
n
tre brés vectoriels (d'après 3.30). Ainsi : wi (ξ) = g (wi (γ )). Par conséquent
p(w1 (ξ), w2 (ξ), ..., wn (ξ)) = g ∗ (p(w1 (γ n ), w2 (γ n ), ..., wn (γ n ))) = g ∗ (0) = 0. Donc
Pour tout bré vectoriel
il sut de trouver un bré vectoriel
ξ
pour lequel il n'y a pas de relations poly1
1
1
nomiales entre les wk (ξ). Choisissons comme bré vectoriel ξ = γ × γ ... × γ
∗ 1
∗
1
(qui est isomorphe à π1 (γ ) ⊕ ... ⊕ πn (γ )), alors d'aprés le théorème de Kün1
∗
∗
neth on a H (B(ξ)) qui est engendré par les classes ak = πk (w1 (γ )) où πk :
RP ∞ × RP ∞ × ... × RP ∞ → RP ∞ , est la k -ième projection cannonique. Alors
w(π1∗ (γ 1 ) ⊕ ... ⊕ πn∗ (γ 1 )) = w(π1∗ (γ 1 ))...w(πn∗ (γ 1 ))
= π1∗ (w(γ 1 ))...πn∗ (w(γ 1 ))
= (1 + a1 )(1 + a2 )(1 + a3 )...(1 + an )
où
πi∗ (w1 (γ 1 )) = ai
.
Il s'ensuit que :
w1 (ξ) = a1 + a2 + ... + an ,
w2 (ξ) = a1 a2 + a1 a3 + ... + a1 an + ... + an−1 an ,
.
.
wn (ξ) = a1 a2 a3 ...an ,
et on peut armer que
(pour
1 ≤ k ≤ n),
wk (ξ)
est le
k -ième
polynôme symétrique élémentaire
et il est bien connu que ces polynômes sont polynomialement
indépendants. Ce qui est absurde et termine donc la preuve de ce lemme.
Théorème 7.2.
∗
∞
L'anneau de cohomologie H (Gn (R ), Z2 ) est l'algèbre polynon
n
miale engendrée par les classes w1 (γ ),...,wn (γ ).
∗
∞
Démonstration. Nous savons d'après le lemme 7.1 que H (Gn (R )) contient la
n
sous algèbre engendrée par les wi (γ ). On va utiliser la décomposition en CW ∞
complexe de Gn (R ) (voir 3.28). Soit :
P
i : {(r1 , r2 , ...rn ), ni=1 iri = r} →
H r (Gn (R∞ ))
(r1 , ..., rn )
7→ w1 (γ n )r1 ∪ ... ∪ wn (γ n )rn
30
Alors
i
est injective d'aprés 7.1, et
r
∞
libre de H (Gn (R )), donc
#{(r1 , r2 , ...rn ),
n
X
i({(r1 , r2 , ...rn ),
Pn
iri = r})
i=1
est une famille
iri = r} ≤ dim(H r (Gn (R∞ )), Z2 )
i=1
r
∞
De plus l'espace-vectoriel des cochaines C (Gn (R ), Z2 ) a pour dimension le carPn
dinal de {(r1 , r2 , ...rn ),
i=1 iri = r} (car on sait par la décomposition
Pcellulaire
n
∞
que le nombre de cellules de dimensions r de Gn (R ) est {(r1 , r2 , ...rn ),
i=1 iri =
r} par le corollaire 3.28, puis on applique le foncteur Hom(−, Z2 )). De plus il est
clair que :
dim(H r (Gn (R∞ ))) ≤ dim(Z r (Gn (R∞ ), Z2 )) ≤ dim(C r (Gn (R∞ ), Z2 ))
On en déduit que :
#{(r1 , r2 , ...rn ),
n
X
iri = r} = dim(H r (Gn (R∞ )), Z2 )
i=1
Pn
H r (Gn (R∞ )).
i=1 iri = r}) est une base de l'espace vectoriel
Pn
n r1
n rn
Ce qui montre que les monômes w1 (γ ) ∪ ... ∪ wn (γ )
où
i=1 iri = r engenr
∞
drent l'espace vectoriel H (Gn (R )). Ce qui prouve en particulier le théorème.
Donc
i({(r1 , r2 , ...rn ),
7.2 Calcul de H ∗(BSOn, Z2)
On note
π0 : E0 → B
Lemme 7.3.
Soit
ξ
la restriction de l'application
un bré vectoriel de rang
n,
π
à
E0 .
il existe une suite exacte de la
forme :
/ H i (B) ∪wn /
...
H i+n (B)
π0∗
/
/ H i+1 (B)∪wn
H i+n (E0 )
Démonstration. On a la suite exacte en cohomologie de la paire
...
/
/
H j (E, E0 )
/
H j (E)
H j (E0 )
/
δ
/
...
(E, E0 )
H j+1 (E, E0 )
/
:
...
Si l'on croît toujours à l'isomorphisme du théorème 6.4 alors on peut remplacer
j−n
dans cette suite exacte H
(E) par H j (E, E0 ). Et l'on obtient comme suite
exacte :
...
Avec
/
H j−n (E)
g
/
H j (E)
/
H j (E0 )
δ
/
H j−n+1 (E)
/ ...
g(x) = (x∪u)|E = x∪(u|E ). Comme on l'a dêja remarqué la base et l'espace
total d'un bré vectoriel ont même type d'homotopie, donc on peut remplacer
31
∗
∗
dans cette suite exacte H (E) par H (B), de plus wn (ξ) correspond à
∗
∗
∗
l'isomorphisme π : H (B) → H (E). D'où la nouvelle suite exacte :
∪wn (ξ)
/
...
/
H j−n (B)
/
H j (B)
δ
H j (E0 )
/
/
H j−n+1 (B)
On suppose maintenant que l'on ait un revêtement à deux feuillets
On introduit une relation d'équivalence
∼
sur l'espace
B̃ × R
u|E
via
...
p : B̃ → B .
de la manière
suivante :
(x, t) ∼ (x0 , u) ⇔ {p(x) = p(x0 ), x 6= x0 , u = −t} ou {(x, t) = (x0 , u)}
p ◦ proj1 : B̃ × R → B se factorise par topologie
quotient en une application continue : π : E → B . On peut montrer que π est
un bré vectoriel de rang 1. E0 contient B̃ comme rétracte par déformation. On
Notons
E = (B̃ × R)/ ∼.
Alors
déduit de cette remarque et de 7.3 le corollaire suivant :
Corollaire 7.4.
Soit
B̃ → B
un revêtement à
2
feuillets, alors on a une suite
exacte de la forme :
/
...
H j−1 (B)
∪w1
π0∗
/ H j (B)
/
/
H j (B̃)
H j (B)
/
∪e
...
On arrive enn au théorème tant désiré :
Théorème 7.5.
∗ f
∞
L'anneau de cohomologie H (G
n (R ), Z2 ) est l'algèbre polynofn ),...,wn (γfn ).
miale engendrée par les classes w2 (γ
Démonstration. Par le corollaire 7.4 on a la suite exacte suivante :
∪w1
∞
n (R ))
/ H j−1 (G
...
Ici
/
H j (Gn (R∞ ))
π0∗
/
fn (R∞ ))
H j (G
/ H j (G
∞
n (R ))
w1 est la première classe de Stiefel-Whitney du bré vectoriel associé au revêtefn (R∞ ) → Gn (R∞ ). On remarque que w1 ne peut pas être nulle, sinon on
G
ment
aurait la suite exacte suivante :
0
/
H 0 (Gn (R∞ ))
Ce qui impliquerait que
aussi dire qu'il existe
2
/
fn (R∞ )
G
fn (R∞ ))
H 0 (G
ait
/
H 0 (Gn (R∞ ))
/
0
2
composantes connexes, ce qui voudrait
∞
espaces vectoriels orientés de R
ne pouvant pas être
déformés de manière continue de l'un à l'autre, ce qui est absurde. On en conclut
j−1
que w1 6= 0. Par conséquent l'application ∪w1 : H
(Gn (R∞ )) → H j (Gn (R∞ ))
j−1 f
est injective, ainsi H
(Gn (R∞ )) → H j−1 (Gn (R∞ )) est nulle, et donc p∗ :
fn (R∞ )) est surjective. Il reste à calculer le noyau de p∗ ,
H j−1 (Gn (R∞ )) → H j−1 (G
mais par dénition de
∪w1 ,
et à l'aide du théorème 7.4 (que l'on a constamment
32
/
...
∗
utilisé de manière implicite dans toute cette preuve) le noyau de p est l'idéal
∗
n
n
f), alors il devient clair que
engendré par w1 . De plus comme p (wi (γ )) = wi (γ
∗ f
∞
n
H (Gn (R ))) est engendré par les classes w2 (γf), w3 (γfn ), ..., wn (γfn ). Il reste à
montrer que ces classes ne sont pas polynomialement dépendantes, mais comme
p∗ est un morphisme d'anneaux, si ces classes étaient polynomialement dépenn
n
dantes alors il en serait de même pour les classes w2 (γ ), ..., wn (γ ), ce qui serait
absurde par le lemme 7.1.
Remarque 7.6.
On a démontré sans le dire que
Théorème 7.7.
Il existe au plus une correspondance :
fn (R∞ )) = 0.
H 1 (G
ξ 7→ w(ξ)
qui associe à
un bré-vectoriel au dessus d'une base paracompact un suite de classes de son
anneau de cohomologie, tel que ces classes vérient les
4
axiomes des classes de
Stiefel-Whitney.
Démonstration. On suppose qu'il existe deux telles correspondances :
0
ξ 7→ w(ξ)
ξ 7→ w(ξ) . Ce qui implique en particulier que pour le bré tautologique en
γ11 nous avons : w(γ11 ) = w(γ11 )0 = 1+a (on a calculé cela uniquement grâce
1
1 0
1
1
aux axiomes 1 et 4). Donc : w(γ ) = w(γ ) = 1+a (il sut de plonger γ1 dans γ
1
1
et on conclut avec les axiomes 1 et 2). Puis on remarque que ξ = γ × ... × γ '
π1∗ γ 1 ⊕ ... ⊕ πn∗ γ 1 , d'où : w(ξ) = w(ξ)0 par les axiomes 2 et 3. Maintenant en
n
utilisant le fait qu'il existe un morphisme de bré vectoriel entre ξ et γ et le
∗
∗
∞
fait que H (Gn ) s'injecte de manière naturelle dans H (RP
× ... × RP ∞ ), on en
n
n 0
déduit que w(γ ) = w(γ ) . Soit η un bré vectoriel de rang n au dessus d'une
n
base paracompact, et en choisissant un morphisme entre bré f : η → γ , on a
et
droite
immédiatement l'égalité suivante :
∗
∗
w(η) = f w(γ n ) = f w(γ n )0 = w(η)0
.
Remarque 7.8. On peut se poser la question de savoir à quoi ressemble H ∗ (BU (n))
H ∗ (BSU (n)). On peut introduire ce que l'on appelle les classes de Chern
ci ∈ H 2i (B(ξ), Z), c'est l'analogue des classes de Stiefel-Whitney dans le
et
notée
cadre
des brés vectoriels complexes (sauf que l'on peut prendre la cohomologie à coefcient dans
Z
pour les dénir). On a le résultat suivant qui est similaire à celui
maintennat connu dans le cas réel :
H ∗ (BU (n), Z) = Z[c1 , c2 , ..., cn ], H ∗ (BSU (n), Z) = Z[c2 , ..., cn ]
33
8 Les groupes spinoriels : Spinn(R)
On introduit dans ce paragraphe les groupes spinoriels
Spinn (R),
ce sont des
groupes de Lie qui interviennent régulièrement en mathématiques, et particulièrement en physique. Ils font oce de revêtement universel du groupe
SOn (R).
On
explique en particulier dans ce paragraphe que l'on a une suite exacte de groupe
de Lie de la forme :
1 → Z/2 → Spinn (R) → SOn (R) → 1
De manière plus générale si si on munit
Rn
d'une forme quadratique de signature
(p, q) alors on peut construire un groupe noté Spin(p,q) (R), mais alors cette fois-ci
ce groupe Spin(p,q) (R) n'est plus forcément simplement connexe.
Dénition 8.1.
V,
Soit (, ) une forme bilinéaire symétrique sur un espace-vectoriel
⊕k V ⊗k l'algèbre tensoriel de V alors on dénit l'algèbre de Clif-
T (V ) =
ford de V notée Cl(V ) l'algèbre T (V )/J
éléments de la forme u ⊗ u + (u, u).
soit
où
J
est l'idéal bilatère engendré par les
Notations 8.2. •T (V )0 = ⊕ V ⊗n , T (V )1 =
n paire
V ⊗n
⊕
n impaire
• J = J0 ⊕ J1 , où Ji = J ∩ T (V )i
• Cl(V ) = Cl(V )0 ⊕ Cl(V )1 , où Cl(V )i = T (V )i /Ji
−Id : V → V
α|Cl(V )1 = −1.
induit un automorphisme
α
sur
Cl(V ),
avec
α|Cl(V )0 = +1
et
Lemme 8.3. Si (, ) est non-dégénérée et si x ∈ Cl(V ) vérie ∀v ∈ V, xv = v(αx),
alors
x
est un scalaire.
Démonstration. On peut diagonaliser
(, )
et choisir une base
P Q ij
que (er , es ) = δrs λr , λr 6= 0. On peut écrire x =
λI ej , λI
j
I
−1
multi-indice. Si xes = es (αx) alors es xes = αx. Mais :



e1 , ..., en de V
∈ R, où λI est
tel
un

ij

e
si
i
=
0
s

j
Y i
j
j
−1
P Q i
es ( ej )es =
−1+ ij

ejj si is = 1 
 (−1)

j
P
(−1)
ij
Q
j
Dans tous les cas on a :
P Q i
Q i
α( ejj ) = (−1) ij ejj .
Donc
xes = es (αx)
si et
j
λI = 0 si is = 1. Par conséquent xes = es (αx) pour tous les s si et
λI = 0 lorsque is = 1 pour chaque s. C'est à dire, λI 6= 0 seulement
I = (0, ..., 0). On en conclut que x est un scalaire.
seulement si
seulement si
pour
34
Dénition 8.4. Soit β : T (V ) → T (V ) l'application linéaire dénie par β(v1 ⊗
... ⊗ vn ) = vn ⊗ ... ⊗ v1 . Alors ∀(x, y) ∈ T (V )2 , β(xy) = β(y)β(x) (on dit que β
est un anti-automorphisme), ce qui induit une application β : Cl(V ) → Cl(V ),
avec β|V = 1. Et γ = αβ = βα est un anti-automorphisme tel que γ|V = −Id.
Proposition 8.5.
V = V 0 ⊕⊥ V 00
Si
alors :
Cl(V ) ' Cl(V 0 ) ⊗ Cl(V 00 )
Démonstration. voir [1]
Donc d'après la proposition précédente il sut de connaître une base de
pour connaître une base de
quadratique. Mais si
e
Cl(V ) où V
Cl(R)
est un espace-vectoriel muni d'une forme
est un vecteur de
R,
alors
{1, e}
J est le sous espace vectoriel engendré par
e ⊗ e + (e, e), (e ⊗ e + (e, e))e, (e ⊗ e + (e, e))e2 , etc....
car ici :
est une base de
Cl(R),
les éléments de la forme
De cette remarque on en déduit la proposition suivante :
Proposition 8.6.
alors
dim(V ) = n et {ei }i∈[1,n] est une base orthogonal
Q
dim(Cl(V )) = 2 et { eji i } est une base de Cl(V ) où ji ∈ {0, 1}.
Si
de
V,
n
Exemples 8.7. •Cl(R) = C est engendré par 1, i et β(1) = 1, β(i) = 1, γ(1) =
1, et γ(i) = −i (ici i ∈ R)
• Cl(C) = H a comme base 1, i, j, ij = k, et on remarque que γ(i) = −i, γ(j) =
−j, γ(k) = −k, γ(1) = 1, (ici C est un R−espace vectoriel de dimension 2 engendré par i et j)
Remarque 8.8.
Cet exemple montre que
γ
est une généralisation de la conju-
gaison (complexe et quaternionique) bien connue.
Dénition 8.9.
On note
P in(V ) ⊂ Cl(V )
le sous-ensemble des éléments
x
qui
vérient :
1.
x(γx) = (γx)x = 1
2. L'application
πx : V
v
stabilise
→ Cl(V )
7
→
xv(βx)
V
A partir de maintenant on suppose que la forme quadratique sur
V
est dénie
positive.
Proposition 8.10.
Cl(V ),
1.
P in(V )
est un sous-groupe des éléments inversibles de
c'est un groupe de Lie, et l'application
surjective et a pour noyau
2. L'algèbre de Lie de
s} avec comme
et eu er es .
{±1}
P in(V )
π : P in(V ) → O(V )
est
(c'est un homomorphisme de groupe).
{er es , r <
[er es , et eu ] = er es et eu −
est celle engendrée par les éléments
crochet de Lie celui déni par :
35
π −1 (det−1 (1)) et π −1 (det−1 (−1)) de P in(V ) sont
Cl(V )0 et Cl(V )1 , ils sont connexes pour n ≥ 2.
3. Les sous ensembles fermés
respectivement dans
x ∈ P in(V ) est γx, donc P in(V ) est
bien un sous-ensemble des éléments inversibles de Cl(V ). Soit x, y ∈ P in(V )
alors : xyγ(xy) = xyγ(y)γ(x) = xγ(x) = 1, on fait de même pour vérier
que γ(xy)xy = 1. De plus si x, y ∈ P in(V ) et v ∈ V , alors xyvβ(xy) =
xyvβ(y)β(x), or yvβ(y) ∈ V et donc xyvβ(xy) = xyvβ(y)β(x) ∈ V . Ainsi
xy ∈ P in(V ). Montrons maintenant que l'inverse d'un élément x ∈ P in(V )
est dans P in(V ) : l'inverse de x est γx. Alors : γ(x)γ ◦ γ(x) = γ(γ(x)x) =
γ(1) = 1, on montre de la même manière que γ ◦ γ(x)γx = 1. De plus on
remarque que γ(x)vβ(γ(x)) ∈ {±xvβx} ⊂ V . Donc P in(V ) est bien un
∗
groupe. La multiplication à gauche de Cl(V ) sur Cl(V ) donne un mor∗
phisme injectif et continue Cl(V ) → GL(Cl(V )) et on peut montrer que
∗
l'image est fermée (en ayant muni Cl(V ) de la topologie induite). Ainsi
Cl(V )∗ a une structure de groupe de Lie comme sous groupe fermée de
GL(Cl(V )). On peut aussi montrer que P in(V ) est fermé dans Cl(V )∗ ,
et donc par conséquent P in(V ) est un groupe de Lie. On montre que
π(x) ∈ O(V ) :
Démonstration.
1. L'inverse d'un élément
< π(x)(v), π(x)(v) > =
=
=
=
=
−((πx)v)2
−xv(βx)(αx)v(γx)
−xvvγ(x)
< v, v > xγ(x)
< v, v >
π soit un homomorphisme de groupes est une simple vérication.
Montrons que Ker(π) = {±1} : soit x ∈ Ker(π) alors : ∀v ∈ V, v = xvβx.
Donc ∀v ∈ V, vαx = xv(βx)(αx) = xv . Par le lemme 8.3, x est un scalaire.
2
Comme xγx = 1, alors x = 1, et donc x = ±1. Ainsi Ker(π) = {±1}. En
plus de cela π est continue (on peut le montrer), c'est donc un morphisme
Le fait que
de groupes de Lie.
π est surjective : On remarque que ∀t ∈ R, x(t) = cos(t) +
sin(t)er es ∈ P in(V ) ∩ Cl0 (V ), déterminons la matrice de π(x) dans la base
e1 , ...en :
eu
si
(cos(t)+sin(t)er es )eu (cos(t)−sin(t)er es ) =
(cos(2t) + sin(2t)er es )eu si
Montrons que
36
u 6= r, s
u=r
C'est à dire que la matrice associée à cet endomorphisme est :


1








π(x(t)) = 








.

















1
−sin(2t)
cos(2t)
1
.
1
sin(2t)
cos(2t)
1
.
1

⇒
dπ(x(t))
|t=0
dt

0








=








.

















0
−2
0
0
.
0
2
0
0
.
0
Il est bien connu que
Lie(O(V ))
est l'algèbre des matrices antisymétriques
Mn (R) restreint aux matrices antisymétriques). Donc de π : Lie(P in(V )) → Lie(O(V )) est surjective. En particulier comme Ker(π) = {±1}, alors de π est un isomorphisme
d'algèbres de Lie. π envoie un voisinage ouvert de 1 dans P in(V ) ∩ Cl(V )0
dans la composante connexe de l'identité de O(V ) (c'est à dire SO(V )).
De plus le chemin cos(t) + sin(t)e1 e2 où t ∈ [0, π] est un chemin dans la
composante de l'identité de P in(V ) ∩ Cl(V )0 de 1 à −1. De cela on peut en
−1
déduire que P in(V ) ∩ Cl(V )0 = π
(det−1 (1)) est connexe. On remarque
−1
que π(e1 ) = diag(−1, 1, ..., 1). Ainsi e1 .(P in(V ) ∩ Cl(V )0 ) ⊂ π
(O(V )− ),
−
et il y'a égalité car u 7→ π(e1 )u est une bijection entre SO(V ) et O(V ) .
−1
Ainsi e1 .(P in(V ) ∩ Cl(V )0 ) = π
(O(V )− ) est connexe. Il n'est pas trés
dur de voir que e1 .(P in(V ) ∩ Cl(V )0 ) = P in(n) ∩ Cl1 (V ). Ce qui termine
(algèbre où le produit est celui du crochet de Lie de
la preuve.
Remarque 8.11.
On notera
Spin(n) = P in(V ) ∩ Cl(V )0 .
On a ainsi mon-
tré que l'on a la suite exacte annoncé, qui implique en particulier que
37
Spin(n)
est compact. On peut aussi montrer que
SOn ,
π1 (SOn ) = Z2 .
Spin(n)
est le revêtement universel de
π1 (SOn ) = Z2 , il sut
de procéder par récurrence : on initialise la récurrence à n = 3 : le revêtement
3
universel de SO3 est S qui est un revêtement double, d'où π1 (SO3 ) = Z2 . Ensuite, on suppose que π1 (SOn−1 ) = Z2 , puis on utilise la suite exacte longue en
en montrant que
Pour montrer que
homotopie d'un bré à :
SO(n − 1) → SO(n) → S n−1
On a donc comme suite exacte :
π1 (SOn−1 ) → π1 (SOn ) → π1 (S n−1 )
#{π1 (SOn )} ≤ 2. Mais on sait aussi que π1 (SOn ) est
on vient de montrer que π : Spin(n) → SO(n) est un revêtement
n'est pas un homéomorphisme. Donc π1 (SOn ) = Z2 .
On en conclut que
non
trivial, car
non
trivial, qui
38
9 Un théorème dû à Quillen
Dans cette section on cite un théorème dû à Quillen sur la cohomologie de
BSpin(n),
ce théorème provient de l'article [6], avant de le citer on introduit
quelques notations :
Notations 9.1. • 4θ
degré
h
2
est une représentation spinoriel irréductible de
Spin(n)
de
.
•On note J l'idéal engendré
• w2h (4θ ) = (4θ )∗ (w2h )
par
h −1
w2 , Sq 1 (w2 ), ..., Sq 2
h −2
Sq 2
...Sq 1 (w2 ).
Spin(n) obtenue à partir d'un Cl(V )-module. Lorsque n ≡ 0 mod 4, il y'a pour chaque caractère θ sur le
centre de Spin(n) qui agissent comme −1 sur Ker(π), une unique représentation
4θ sur lequel le centre agit comme θ. Sinon il y'a à isomorphisme près qu'une
représentation spinoriel. Voici un tableau qui résume les valeurs de h en fonction
de n, il provient de [6] :
n
h
8l + 1 4l + 0
8l + 2 4l + 1
8l + 3 4l + 2
8l + 4 4l + 2
8l + 5 4l + 3
8l + 6 4l + 3
8l + 7 4l + 3
8l + 8 4l + 3
Une représentation spinoriel est une représentation de
Théorème 9.2.
On a l'isomorphisme d'anneaux suivant :
(H ∗ (BSOn )/J) ⊗ Z2 [w2h (4θ )] → H ∗ (BSpin(n))
a⊗b
7→
π ∗ (a) ∪ b
n = 3, 4 (les isomorphismes exceptionnels) :
Spin(3) = S 3 = SU (2) et donc on sait bien que H ∗ (BSU (2)) = Z2 [c2 ].
1
Dans ce cas n = 3 et h = 2, donc J est engendré par w2 et Sq (w2 ) = w3 .
On peut regarder quelques cas où
1.
Ainsi on obtient que :
H ∗ (BSpin(3)) ' Z2 [w4 (4θ )]
On retrouve bien que la cohomologie de
BSpin(3)
est engendrée par une
4.
Spin(4) = SU (2) × SU (2), on utilise la formule de Künneth pour voir que
H ∗ (BSpin(4)) ' Z2 [c2 ] ⊗ Z2 [c2 ].
Dans ce cas (lorsque n = 4) on a h = 2 donc cet isomorphisme devient :
seule classe de degré
2.
H ∗ (BSpin(4)) ' Z2 [w4 ] ⊗ Z2 [w4 (4θ )]
Ce qui est cohérent avec le résultat obtenu avec la formule de Künneth.
39
Références
[1] J.F. Adams, Lectures on exceptional lie groups, chicago lectures in mathematics ed., Zafer Mahmud and Mamoru Mimura.
[2] C Chevalley, Theory of lie groups, Princeton Univ. Press, 1946.
[3] Glen E.Bredon, Topology and geometry, graduate texts in mathematics ed.,
Springer-Verlag.
[4] John Milnor, Construction of universal bundles, ii, Annals of Mathematics,
Second Series
63 (1956), 430436.
[5] John W. Milnor and James D. Stashe, Characteristic classes, Annals of
mathematics studies - Princeton University Press.
[6] Daniel Quillen, The mod 2 cohomology rings of extra-special 2-groups and the
spinor groups, (1971).
[7] Norman Steenrod, The topology of bre bundles, Princeton university press 1951.
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