1) Développer : (2x2 – 1 - Lycée Hilaire de Chardonnet

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TS3 DS du jeudi 12 mai 2011.
MATHEMATIQUES
Exercice 1 Questions indépendantes de dénombrement :
1) Développer : (2x2 – 1)6 . Quel est le coefficient de a4 b3 dans le développement de (a + b)7 ?
Calculer :
20
20
0
20 1 3
2 2
k k
kk
−
=
∑
2) Combien y a–t–il de manières différentes de composer 3 costumes quand on dispose de 5 vestes et de 7
pantalons ?
3) Une boîte de craies contient 6 bâtons blancs et 5 rouges. On prend 3 bâtons au hasard dans cette boîte.
Quelle est la probabilité qu'ils soient tous les 3 de la même couleur ?
4) On colorie chaque carreau d'un quadrillage rectangulaire de 50 carreaux soit en vert, soit en jaune, soit en
rouge. Combien y a–t–il de coloriages possibles ?
5) Combien peut–on former d’anagrammes du mot : DENOMBREMENT ?
_________________________________________________________________________________________
Exercice 2
Un libraire propose 30 titres différents d'un même auteur : 5 sont couverts de cuir et coûtent 27 €; 12 ont une
couverture toilée et coûtent 18 € ; les autres sont cartonnés et coûtent 9 €. Un client vient acheter 3 livres de cet
auteur sans préciser de titre particulier. Le libraire prend au hasard 3 livres de sa collection. (Les résultats des
probabilités seront donnés sous la forme de fractions irréductibles)
1) Combien y a–t–il de choix possibles ?
2) Quelle est la probabilité d'avoir choisi 3 livres couverts de cuir ?
3) Quelle est la probabilité d'avoir choisi 3 livres ayant même couverture ?
4) Quelle est la probabilité d'avoir choisi 3 livres pour un montant exact de 45 € ?
5) Le client s'est donné pour objectif de ne pas dépenser plus de 45 €. Quelle est la probabilité pour que les
trois livres présentés par le libraire puissent convenir au client?
_________________________________________________________________________________________
Exercice 3
Toutes les probabilités seront données à
3
10
−
près.
Sur son trajet SNCF habituel, Nathalie estime la probabilité d’être contrôlée à 0,2.
1) Elle effectue 10 trajets indépendants. On note X le nombre de contrôles sur ces 10 trajets.
a) Quelle est la loi de X ? Exprimer
(
)
P X k
=
(on ne demande pas chaque valeur).
b) Quelle est la probabilité d’être contrôlée :
i) Une seule fois ?
ii) Au moins une fois ?
iii) Jamais ?
2) Le billet coute 10 € et l’amende en cas de fraude 50 €. Nathalie décide de frauder sur les 10 trajets. Quelle
est la probabilité pour qu’elle soit strictement gagnante avec cette décision ?
3) Combien doit-elle faire de trajets pour être sûre à 99% d’être contrôlée au moins une fois ?
_________________________________________________________________________________________
Exercice 4
Une urne contient n + 8 boules : 8 blanches et n noires. (où n ≥ 2). Tous les tirages effectués sont
équiprobables. On fait tirer par un joueur des boules de l'urne. Pour chaque boule blanche tirée il gagne 1 €,
mais pour chaque noire il perd 2 €. (les deux questions sont indépendantes).
1) Dans cette question, le joueur effectue deux tirages : il tire une première boule de l'urne, il la remet dans
l'urne, puis il effectue un deuxième tirage. On note X le gain algébrique du joueur.
a) Montrer qu'il peut, soit gagner 2 €, soit perdre 1 €, soit perdre 4 €.
b) Donner, en fonction de n, la loi de X.
c) Calculez en fonction de n, l'espérance mathématique E(X) du gain du joueur.
d) Y a–t–il une valeur de l'entier n pour laquelle cette espérance est nulle ?
2) Dans cette question, n = 6. Le joueur tire 3 boules simultanément. On note Y le gain algébrique du joueur.
a) Montrez qu'il peut, soit gagner 3 €, soit perdre 6 €, soit perdre 3 €, soit ne rien gagner ni ne rien perdre.
b) Déterminer la loi de Y.

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CORRIGE
Exercice 1
Questions indépendantes :
1) • (2x2 – 1)6 = 64x12 – 192x10 + 240x8 – 160x6 + 60x4 – 12x2 + 1.
• Le coefficient de a4b3 dans le développement de (a + b)7 est 7
35
3
=
•
20 20
20
0
20
1 3 1 3
2 2 2 2
k k
kk
−
=
= +
∑ = 220 = 1048576
2) Nombre de façons de composer 3 costumes quand on dispose de 5 vestes et de 7 pantalons :
(
)
(
)
(
)
5 7 4 6 3 5 12600
× × × =
3) Une boîte de craies contient 6 bâtons blancs et 5 rouges. On prend 3 bâtons au hasard dans cette boîte.
La probabilité qu'ils soient tous les 3 de la même couleur est :
6 5
3 3
2
11
11
3
+
=
4) On colorie chaque carreau d'un quadrillage rectangulaire de 50 carreaux soit en vert, soit en jaune, soit en
rouge. Il y 3 coloriages possibles pour chaque carreau. Donc il y a en tout 350 coloriages possibles.
5) Nombre d’anagrammes de DENOMBREMENT. Il y a : 1D, 3E, 2N, 1O, 2M, 1B, 1R, 1T.
Il y a
12
3
façons de placer les E, puis
9
2
façons de placer les N, puis
7
2
façons de placer les M et enfin
5! façons de placer les 5 lettres restantes.
Ce nombre d'anagrammes est donc : 12 9 7
5! 19958 400
3 2 2
× =
    (le mot DENOMBREMENT compris).
_________________________________________________________________________________________
Exercice 2
1) Le nombre de choix possibles est : 30
4060
3
  =
2) La probabilité d'avoir choisi 3 livres couverts de cuir est :
5
3
1
4060 406
  =
3) La probabilité d'avoir choisi 3 livres ayant même couverture est :
5 12 13
3 3 3
129
4060 1015
+ +
      =
4) Choisir 3 livres pour un montant exact de 45 € signifie : 1 à 27 € et 2 à 9 €, ou 2 à 18 € et 1 à 9 €.
D'où la probabilité cherchée :
5 13 12 13
1 2 2 1
312
4060 1015
+
      =
5) Le client s'est donné pour objectif de ne pas dépenser plus de 45 €, cela signifie qu'il faut ajouter aux cas
précédents les deux cas suivants : 1 à 18 € et 2 à 9 € ; 3 à 9 €. Un calcul analogue donne en tout :
406
247

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Exercice 3
1) Elle effectue 10 trajets indépendants. On note X le nombre de contrôles sur ces 10 trajets.
a) Il y a répétition de 10 trajets indépendants, chacun avec une probabilité 0,2 d’être contrôlée.
X suit donc une loi binomiale de paramètres 10 et 0,2.
On a alors :
( )
10
10
0, 2 0,8
k k
P X k k
−
= = ×
b) La probabilité d’être contrôlée :
i) Une seule fois est :
( )
9
10
1 0, 2 0,8 0, 268
1
P X   = = × ≈
ii) Au moins une fois est :
(
)
(
)
10
1 1 0 1 0,8 0,893
P X P X≥ = − = = − ≈
iii) Jamais est :
(
)
10
0 0,8 0,107
P X = = ≈
2) Le billet coute 10 € et l’amende en cas de fraude 50 €. Nathalie décide de frauder sur les 10 trajets. Elle
économise ainsi 100 € et perd 50X €. L’opération n’est rentable que si
100 50 0 soit 2.
X X
− > <
Sa probabilité d’être strictement gagnante en prenant une telle décision est donc :
(
)
(
)
(
)
2 0 1 0,376
P X P X P X< = = + = ≈
3) La probabilité de ne pas être contrôlée sur n trajets est :
0,8
n
.
Et donc celle de l’être au moins une fois (le contraire) est :
1 0,8
n
p= − .
Pour être sûre à 99% d’être contrôlée au moins une fois on doit avoir :
ln 0,01
0,99 1 0,8 0,99 soit 21.
ln 0,8
n
p n n> ⇔ − > ⇔ > ≥
Conclusion : c’est à partir de 21 trajets que la probabilité d’être contrôlée au moins une fois dépasse 99%.

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Exercice 4
On note B: "tirer une boule blanche" et N: "tirer une boule noire". Arbre représentant la situation :
1)
a) • 1er cas : deux boules blanches: gain 2 €
• 2ème cas : une blanche et une noire :
gain 1 €, perte 2 €. Gain algébrique : –1 €
• 3ème cas : 2 noires: perte de 4 €.
Conclusion : il peut, soit gagner 2 €, soit
perdre 1 €, soit perdre 4 €.
b) Loi de
X :
c) E(X) =
128 16 4 ²
(8 )²
n n
n
− −
+
d) Le numérateur a pour racines –8 et 4.
Donc pour n = 4, l'espérance est nulle.
2) Dans cette question, n = 6. Le joueur tire 3 boules simultanément. On note Y le gain algébrique du joueur.
Tableau résumant la situation :
nombre de boules blanches nombre de boules noires gain perte
Y : gain
algébrique probabilités
3 0 3 0 3
8 6
3 0
56
364
14
3
   =
2 1 2 –2 0
8 6
2 1
168
364
14
3
   =
1 2 1 –4 –3
8 6
1 2
120
364
14
3
   =
0 3 0 –6 –6
8 6
0 3
20
364
14
3
   =
a) Il peut donc, soit gagner 3 €, soit perdre 6 €, soit perdre 3 €, soit ne rien gagner ni ne rien perdre.
b) La loi de Y est dans le tableau.
X
2
–
1
–
4
p
64
(8 n)²
+
16n
(8 n)²
+
n²
(8 n)²
+
B
N
B
N
B
N
8
8 n
+
n
8 n
+
n
8 n
+
n
8 n
+
8
8 n
+
8
8 n
+
64
(8 n)²
+
8n
(8 n)²
+
8n
(8 n)²
+
n²
(8 n)²
+
1er tirage 2ème tirage proba gain X
2 €
-1 €
-1 €
-4 €