TS3 DS du jeudi 12 mai 2011. MATHEMATIQUES Exercice 1 Questions indépendantes de dénombrement : 1) Développer : (2x2 – 1)6 . Quel est le coefficient de a4 b3 dans le développement de (a + b)7 ? k 20 − k 20 20 1 3 Calculer : ∑ k =0 k 2 2 2) Combien y a–t–il de manières différentes de composer 3 costumes quand on dispose de 5 vestes et de 7 pantalons ? 3) Une boîte de craies contient 6 bâtons blancs et 5 rouges. On prend 3 bâtons au hasard dans cette boîte. Quelle est la probabilité qu'ils soient tous les 3 de la même couleur ? 4) On colorie chaque carreau d'un quadrillage rectangulaire de 50 carreaux soit en vert, soit en jaune, soit en rouge. Combien y a–t–il de coloriages possibles ? 5) Combien peut–on former d’anagrammes du mot : DENOMBREMENT ? _________________________________________________________________________________________ Exercice 2 Un libraire propose 30 titres différents d'un même auteur : 5 sont couverts de cuir et coûtent 27 €; 12 ont une couverture toilée et coûtent 18 € ; les autres sont cartonnés et coûtent 9 €. Un client vient acheter 3 livres de cet auteur sans préciser de titre particulier. Le libraire prend au hasard 3 livres de sa collection. (Les résultats des probabilités seront donnés sous la forme de fractions irréductibles) 1) Combien y a–t–il de choix possibles ? 2) Quelle est la probabilité d'avoir choisi 3 livres couverts de cuir ? 3) Quelle est la probabilité d'avoir choisi 3 livres ayant même couverture ? 4) Quelle est la probabilité d'avoir choisi 3 livres pour un montant exact de 45 € ? 5) Le client s'est donné pour objectif de ne pas dépenser plus de 45 €. Quelle est la probabilité pour que les trois livres présentés par le libraire puissent convenir au client? _________________________________________________________________________________________ Exercice 3 Toutes les probabilités seront données à 10−3 près. Sur son trajet SNCF habituel, Nathalie estime la probabilité d’être contrôlée à 0,2. 1) Elle effectue 10 trajets indépendants. On note X le nombre de contrôles sur ces 10 trajets. a) Quelle est la loi de X ? Exprimer P ( X = k ) (on ne demande pas chaque valeur). b) Quelle est la probabilité d’être contrôlée : i) Une seule fois ? ii) Au moins une fois ? iii) Jamais ? 2) Le billet coute 10 € et l’amende en cas de fraude 50 €. Nathalie décide de frauder sur les 10 trajets. Quelle est la probabilité pour qu’elle soit strictement gagnante avec cette décision ? 3) Combien doit-elle faire de trajets pour être sûre à 99% d’être contrôlée au moins une fois ? _________________________________________________________________________________________ Exercice 4 Une urne contient n + 8 boules : 8 blanches et n noires. (où n ≥ 2). Tous les tirages effectués sont équiprobables. On fait tirer par un joueur des boules de l'urne. Pour chaque boule blanche tirée il gagne 1 €, mais pour chaque noire il perd 2 €. (les deux questions sont indépendantes). 1) Dans cette question, le joueur effectue deux tirages : il tire une première boule de l'urne, il la remet dans l'urne, puis il effectue un deuxième tirage. On note X le gain algébrique du joueur. a) Montrer qu'il peut, soit gagner 2 €, soit perdre 1 €, soit perdre 4 €. b) Donner, en fonction de n, la loi de X. c) Calculez en fonction de n, l'espérance mathématique E(X) du gain du joueur. d) Y a–t–il une valeur de l'entier n pour laquelle cette espérance est nulle ? 2) Dans cette question, n = 6. Le joueur tire 3 boules simultanément. On note Y le gain algébrique du joueur. a) Montrez qu'il peut, soit gagner 3 €, soit perdre 6 €, soit perdre 3 €, soit ne rien gagner ni ne rien perdre. b) Déterminer la loi de Y. 1 CORRIGE Exercice 1 Questions indépendantes : 1) • (2x2 – 1)6 = 64x12 – 192x10 + 240x8 – 160x6 + 60x4 – 12x2 + 1. 7 • Le coefficient de a4b3 dans le développement de (a + b)7 est = 35 3 k 20 1 3 ∑ k k =0 2 2 20 • 20 − k 1 3 = + 2 2 20 = 220 = 1048576 2) Nombre de façons de composer 3 costumes quand on dispose de 5 vestes et de 7 pantalons : ( 5 × 7 )( 4 × 6 )( 3 × 5 ) = 12600 3) Une boîte de craies contient 6 bâtons blancs et 5 rouges. On prend 3 bâtons au hasard dans cette boîte. 6 5 + 3 3 2 La probabilité qu'ils soient tous les 3 de la même couleur est : = 11 11 3 4) On colorie chaque carreau d'un quadrillage rectangulaire de 50 carreaux soit en vert, soit en jaune, soit en rouge. Il y 3 coloriages possibles pour chaque carreau. Donc il y a en tout 350 coloriages possibles. 5) Nombre d’anagrammes de DENOMBREMENT. Il y a : 1D, 3E, 2N, 1O, 2M, 1B, 1R, 1T. 12 9 7 Il y a façons de placer les E, puis façons de placer les N, puis façons de placer les M et enfin 3 2 2 5! façons de placer les 5 lettres restantes. 12 9 7 Ce nombre d'anagrammes est donc : × 5! = 19958 400 (le mot DENOMBREMENT compris). 3 2 2 _________________________________________________________________________________________ Exercice 2 30 1) Le nombre de choix possibles est : = 4060 3 5 3 1 2) La probabilité d'avoir choisi 3 livres couverts de cuir est : = 4060 406 5 12 13 3 + 3 + 3 129 3) La probabilité d'avoir choisi 3 livres ayant même couverture est : = 4060 1015 4) Choisir 3 livres pour un montant exact de 45 € signifie : 1 à 27 € et 2 à 9 €, ou 2 à 18 € et 1 à 9 €. 5 13 12 13 + 1 2 2 1 312 D'où la probabilité cherchée : = 4060 1015 5) Le client s'est donné pour objectif de ne pas dépenser plus de 45 €, cela signifie qu'il faut ajouter aux cas 247 précédents les deux cas suivants : 1 à 18 € et 2 à 9 € ; 3 à 9 €. Un calcul analogue donne en tout : 406 2 Exercice 3 1) Elle effectue 10 trajets indépendants. On note X le nombre de contrôles sur ces 10 trajets. a) Il y a répétition de 10 trajets indépendants, chacun avec une probabilité 0,2 d’être contrôlée. X suit donc une loi binomiale de paramètres 10 et 0,2. 10 On a alors : P ( X = k ) = 0, 2 k × 0,810 − k k b) La probabilité d’être contrôlée : 10 i) Une seule fois est : P ( X = 1) = 0, 2 × 0,89 ≈ 0, 268 1 ii) Au moins une fois est : P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0 ) = 1 − 0,810 ≈ 0,893 iii) Jamais est : P ( X = 0 ) = 0,810 ≈ 0,107 2) Le billet coute 10 € et l’amende en cas de fraude 50 €. Nathalie décide de frauder sur les 10 trajets. Elle économise ainsi 100 € et perd 50X €. L’opération n’est rentable que si 100 − 50 X > 0 soit X < 2. Sa probabilité d’être strictement gagnante en prenant une telle décision est donc : P ( X < 2 ) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1) ≈ 0,376 3) La probabilité de ne pas être contrôlée sur n trajets est : 0,8n . Et donc celle de l’être au moins une fois (le contraire) est : p = 1 − 0,8n . Pour être sûre à 99% d’être contrôlée au moins une fois on doit avoir : ln 0, 01 p > 0,99 ⇔ 1 − 0,8n > 0,99 ⇔ n > soit n ≥ 21. ln 0,8 Conclusion : c’est à partir de 21 trajets que la probabilité d’être contrôlée au moins une fois dépasse 99%. 3 Exercice 4 On note B: "tirer une boule blanche" et N: "tirer une boule noire". Arbre représentant la situation : 1er tirage 1) a) • 1er cas : deux boules blanches: gain 2 € • 2ème cas : une blanche et une noire : gain 1 €, perte 2 €. Gain algébrique : –1 € • 3ème cas : 2 noires: perte de 4 €. Conclusion : il peut, soit gagner 2 €, soit perdre 1 €, soit perdre 4 €. b) Loi de X: 2 64 p (8 + n)² X –1 16n (8 + n)² –4 n² (8 + n)² 2ème tirage 8 8+n proba gain X B 64 (8 + n)² 2€ N 8n (8 + n)² -1 € B 8n (8 + n)² -1 € N n² (8 + n)² -4 € B 8 8+ n n 8+n 8 8+n n 8+ n N 128 − 16n − 4n ² (8 + n)² d) Le numérateur a pour racines –8 et 4. Donc pour n = 4, l'espérance est nulle. n 8+n c) E(X) = 2) Dans cette question, n = 6. Le joueur tire 3 boules simultanément. On note Y le gain algébrique du joueur. Tableau résumant la situation : nombre de boules blanches nombre de boules noires gain perte 3 2 1 0 0 3 1 2 2 1 3 0 0 –2 –4 –6 Y : gain algébrique probabilités 3 8 6 3 0 = 56 364 14 3 0 8 6 2 1 = 168 364 14 3 –3 8 6 1 2 = 120 364 14 3 –6 8 6 0 3 = 20 364 14 3 a) Il peut donc, soit gagner 3 €, soit perdre 6 €, soit perdre 3 €, soit ne rien gagner ni ne rien perdre. b) La loi de Y est dans le tableau. 4