Pythagore et les moyennes – 3ème 6 Module

Pythagore et les moyennes – 3ème 6 Module
Parmi les nombreux résultats obtenus par le mathématicien et philosophe grec Pythagore (VIème siècle av. J.-C.) et son école,
urent les formules des moyennes.
La moyenne arithmétique m de deux nombres a et b est tele que : 2
ab
m+ =. Il s’agit de la moyenne étudiée en ème.
Cependant, il existe plusieurs autres sortes de moyennes. Par exemple, a et b étant deux nombres positifs :
La
moyenne géométrique g est tele que : ²
g
ab=.
La
moyenne quadratique q est tele que : ²²
²2
ab
q+ =.
La
moyenne harmonique h est tele que :
11
1
2
ab
h
+
=.
Exercice 1.
) Calculer la moyenne arithmétique, géométrique, quadratique et harmonique des nombres 12a= et 3b=. Arondir
au centième près.
) Démontrer que la moyenne arithmétique des nombres  et L est égal à la lonueur du côté d’un caré ayant le même
périmètre qu’un rectangle de dimensions  et L.
) Démontrer que la moyenne géométrique des nombres  et L est égal à la lonueur du côté d’un caré ayant la même
aire qu’un rectangle de dimensions  et L.
) Démontrer que la moyenne quadratique des nombres  et L est égal à la lonueur du côté d’un caré ayant la même
diagonale qu’un rectangle de dimensions  et L.
Exercice 2.
) Un véhicule eectue le trajet entre deux viles à la vitesse moyenne 1 V à l’aler et 2 V au retour. Démontrer que la
moyenne harmonique de 1
V et 2 V est égale à la vitesse moyenne du véhicule sur l’ensemle du trajet.
) Vérier ce résultat avec deux viles distantes de  km, 1
190 km.hV-
= et 1
2130 km.hV-
=.
L
x
x