Table des matières

Table des matières
1. Alphabet grec 3
2. Quelques notations 4
Chapitre 1. Les sommes finis de réels 5
1. Quelques conseils pour commencer 5
2. Quelques sommes remarquables 6
3. Sommes et coefficients binomiaux 6
4. Sommes et inégalités 9
Chapitre 2. Les produits finis de réels 11
Chapitre 3. Dénombrement 13
1. Dénombrabilité 13
2. Cardinal d’un ensemble fini 13
3. Arrangements ou listes sans répétition 14
4. Listes avec répétition 15
5. Combinaisons sans répétition 15
6. Exemples de tirages usuels 16
Chapitre 4. Espaces probabilisés 17
1. Quelques notions sur les tribus d’événements 17
2. Probabilité 18
3. Suite monotone d’événements 19
4. Probabilité conditionnelle 20
Chapitre 5. Généralités sur les variables aléatoires réelles 23
1. Tribu des boréliens
1
de IR23
2. Définition formelle d’une variable aléatoire 23
3. Loi d’une variable aléatoire 24
4. Fonction de répartition d’une variable aléatoire 25
5. Opérations sur les variables aléatoires 25
6. Indépendance de variables aléatoires 25
7. Les variables aléatoires discrètes 26
8. Les variables aléatoires continues 27
Chapitre 6. Séries doubles 29
1. Séries doubles à termes positifs 29
2. Séries doubles à termes quelconques 32
Chapitre 7. Vecteurs aléatoires discrets de IR
n
33
1
En hommage au mathématicien français Emile Borel (1871 - 1956)
1

2 TABLE DES MATIÈRES
1. Le cas où n= 2 : couples de variables discrètes 33
2. Ajustement linéaire entre deux variables aléatoires 35
3. Le cas où n > 2 : vecteurs discrets 36
Chapitre 8. Moments 39
1. Le cas discret 39
2. Le cas continu 46
Chapitre 9. Indépendance stochastique 49
1. Indépendance d’événements 49
2. Indépendance de variables aléatoires 50
3. Convolution 52
4. Indépendance et moments 52
Chapitre 10. Les lois de probabilités usuelles 55
1. Lois discrètes 55
2. Lois à densité 60
Chapitre 11. Convergences et approximations 69
1. Deux inégalités probabilistes 69
2. Convergence en probabilité 69
3. Convergence en loi et approximations 70
Chapitre 12. Estimations 73
Index 77

1. ALPHABET GREC 3
1. Alphabet grec
Majuscule Minuscule Nom Transcription
Aαalpha a
Bβbêta b
Γγgamma g
∆δdelta d
Eεepsilon e,é
Zζdzéta z
Hηêta ê,é
Θθthêta th
Iιiota i
Kκkappa k ou c
Λλlambda l
Mµmu m
Nνnu n
Ξξksi x
O o omicron o
Ππpi p
Pρrhô r ou rh
Σσsigma s
Tτtau t
Yυupsilon u ou y
Φϕphi ph
Xχkhi kh ou ch
Ψψpsi ps
Ωωoméga o

4 TABLE DES MATIÈRES
2. Quelques notations
∧connecteur logique "et"
∨connecteur logique "ou"
IN
n
0
ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à n
0
[[1, n]] intervalle d’entiers compris entre 1 et n
B(IR) ou B
IR
ou Btribu de Borel
union disjointe d’ensembles
Ωunivers
Atribu (σ−algèbre)des événements sur Ω
Pprobabilité sur un espace probabilisable (Ω,A)
P
A
(B)probabilité conditionnelle de Bsachant que Aest réalisé
(Ω,A,P)espace probabilisé
X(Ω) ensemble des valeurs prises par une variable aléatoire X
[X∈ I]événement constitué des ω∈Ωtels que X(ω)∈ I
X⊞Ysomme de deux variables indépendantes
f
X
densité de probabilité d’une variable X
F
X
fonction de répartition d’une variable X
E(X)espérance d’une variable X
m
r
(X)moment d’ordre r∈INd’une variable X
µ
r
(X)moment centré d’ordre r∈INde la varaible X
ρ
r
(X)moment factoriel d’ordre r∈IN
∗
de la variable X
L
p
d
ensemble des variables discrètes possédant un moment d’ordre p∈IN
L
p
c
ensemble des variables à densité possédant un moment d’ordre p∈IN
V(X)variance de la variable X
σ(X)écart-type de la variable X
Cov (X, Y )covariance du couple aléatoire (X, Y )
ρ
X,Y
ou ρ(X, Y )coefficient de corrélation du couple aléatoire (X, Y )
X
L
=Yles variables Xet Ysuivent la même loi
δ
C
loi de Dirac de paramètre C
U([[1, n]]) loi uniforme sur [[1, n]]
U([a, b]) loi uniforme sur [a, b]
B(p)loi de Bernoulli de paramètre p∈]0,1[
B(n, p)loi binomiale de paramètres n∈INet p∈]0,1[
H(N, n, p)loi hypergéométrique de paramètres N∈INet n∈INet p∈]0,1[ tel
que Np ∈IN
∗
et N(1 −p)∈IN
∗
.
P(λ)loi de Poisson de paramètre λ∈IR
∗
+
G(p)loi géométrique de paramètre p∈]0,1[
E(λ)loi exponentielle de paramètre λ∈IR
∗
+
N(0,1) loi normale centrée réduite
N(m, σ)loi normale de paramètres m∈IRet σ∈IR
∗
+
(X
n
)
n≥n
0
L
→Xla suite de variables (X
n
)
n≥n
0
converge en loi vers la variable X
(X
n
)
n≥n
0
P
→Xla suite de variables (X
n
)
n≥n
0
converge en probabilité vers la variable X
n≥n
0
u
n
<∞la série de terme général u
n
est convergente

CHAPITRE 1
Les sommes finis de réels
1. Quelques conseils pour commencer
L’importance de l’outil de sommation, pour effectuer des calculs de probabilité, est telle qu’il est bon de
rappeler quelques résultats très importants.
Dans tout ce qui va suivre les suites (a
n
)
n
et (b
n
)
n
sont deux suites de réels.
(1) Changement d’indice
L’ordre des éléments dans une somme finie étant sans importance, le rôle de l’indice est de
surveiller que tous les termes de la suite sont effectivement dans la somme et que chacun ne sera
compté qu’une seul fois. Le rôle de l’indice est donc préservé par bijection. Par exemple on posera
fréquemment les changements affines suivants j=k+ 1 ou j=k−1mais jamais j=k
2
.Tout cela
se généralise par l’égalité : 
k∈K
a
k
=
i∈I
a
ϕ
−1
(i)
où l’application ϕ:I−→ Kest une bijection.
(2) Les grosses erreurs à éviter :
— Ne jamais écrire que :
q
k=p
a
k
b
k
=
q
k=p
a
k
q
k=p
b
k
. On rappelle au passage à notre
cher lecteur qu’un produit de deux sommes simples finies donne une somme double
finie, c’est la formule de Fubini pour le cas fini, pour tout (p, q, r, s)∈IN
4
, p ≤q, r ≤s:
q
k=p
a
k
s
l=r
b
l
=
q
k=p
s
l=r
a
k
b
l
=
s
l=r
q
k=p
a
k
b
l
— Ne jamais écrire que :
q
k=p
a
k
b
k
=
q
k=p
a
k
q
k=p
b
k
où pour tout entier kde l’intervalle [[p, q]], b
k
est
non nul.
(3) Inversion de l’ordre de sommation dans une somme double finie dans le cas où les
indices sont liés par des inégalités
Il n’existe pas de règle générale, mais avant toute chose il faut bien avoir en tête qu’effectuer
une inversion n’est pas un acte gratuit, elle doit toujours se justifier par la volonté de diminuer la
difficulté des calculs. Voici trois règles fondamentales que vous devrez toujours suivre dans l’ordre
de leur présentation :
—Règle 1 : écrire les contraintes de valeurs et d’ordre que subissent les indices.
—Règle 2 : reproduire sur la première somme à calculer, c’est-à-dire celle écrite la plus à
droite, la contrainte d’ordre (inégalité) entre les deux indices.
5