exercice 10-11

PSI Janvier 2017
MATHEMATIQUES
Feuille d’Exercices
Variables Aléatoires Discrètes
Exercice 1. On effectue des tirages successifs dans une urne qui contient initialement une boule
noire et une boule blanche. A chaque tirage, on note la couleur de la boule tirée et on la remet dans
l’urne en ajoutant en plus une boule noire.
On définit la variable aléatoire Yégale au rang d’apparition de la première boule noire et la
variable aléatoire Zégale au rang d’apparition de la première boule blanche.
1. Déterminer la loi de Yet celle de Z.
2. Admettent-elles une espérance ? Si oui, la calculer
Exercice 2. On dispose d’une pièce déséquilibrée, amenant pile avec la probabilité 2
3. On note Xle
nombre de lancers nécessaires pour obtenir pour la première fois deux piles consécutifs, et pour tout
n∈N∗, on note an=P(X=n).
1. Calculer a1, a2, a3.
2. Montrer : ∀n≥3, an=1
3an−1+2 9an−2.
3. En déduire la loi de Xet vérifier par la calcul que
+∞
X
n=1
P(X=n) = 1
4. Xadmet-elle une espérance ? Si oui, la calculer.
Exercice 3. On dispose de nboules numérotées de 1ànet d’une boîte formée de trois compartiments
identiques également numérotés de 1 à 3.
On lance simultanément les nboules .
Elles viennent se ranger aléatoirement dans les 3 compartiments.
Chaque compartiment peut éventuellement contenir les nboules.
On note Xla variable aléatoire qui à chaque expérience aléatoire fait correspondre le nombre de
compartiments restés vides.
1. Préciser les valeurs prises par X.
2. (a) Déterminer la probabilité P(X= 2).
(b) Finir de déterminer la loi de probabilité de X.
3. (a) Calculer E(X).
(b) Déterminer lim
n→+∞E(X). Interpréter ce résultat.
Exercice 4. Une variable aléatoire Xsuit une loi de Poisson de paramètre λ > 0. Calculer E1
1+X.
Exercice 5. Xet Ysont deux variables aléatoires indépendantes et à valeurs dans N.
Elles suivent la même loi définie par : ∀k∈N,P(X=k) = P(Y=k) = pqkoù p∈]0,1[ et q= 1−p.
On considère alors les variables Uet Vdéfinies par U= sup(X, Y )et V= inf(X, Y ).
1. Déterminer la loi du couple (U, V ).
2. Expliciter les lois marginales de Uet de V.
3. Uet Vsont-elles indépendantes ?
1

Exercice 6. Soient Xet Ydeux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé (Ω,A, P )
et à valeurs dans Ndont la loi est donnée par :
∀(i, j)∈N2,P((X=i)∩(Y=j)) = 1
e 2i+1j!
1. Déterminer les lois de Xet de Y.
2. (a) Prouver que 1 + Xsuit une loi géométrique et en déduire l’espérance et la variance de X.
(b) Déterminer l’espérance et la variance de Y.
3. Les variables Xet Ysont-elles indépendantes ?
4. Calculer P(X=Y).
Exercice 7. Soit (Ω,A, P )un espace probabilisé.
Soit Xet Ydeux variables aléatoires définies sur (Ω,A, P ).
On suppose que Ysuit une loi de Poisson de paramètre λ.
On suppose que X(Ω) = Net que ∀m∈N, la loi conditionnelle de Xsachant (Y=m)est une loi
binomiale de paramètre (m, p).
Déterminer la loi de X.
Exercice 8. On considère une variable aléatoire Xsuivant la loi uniforme sur {1,2}et une variable
aléatoire Y, indépendante de X, suivant la loi de Poisson de paramètre λ > 0. On définit la variable
aléatoire Z=XY .
1. Déterminer la loi de Z. Calculer son espérance et sa variance.
2. Calculer la probabilité que Zsoit pair.
Exercice 9. Soit p∈]0,1[,q= 1−pet X, Y deux variables aléatoires dont la loi conjointe est donnée
par X(Ω) = Y(Ω) = Net ∀(i, j)∈N2, P (X=i∩Y=j) = p2qi+j.
1. (a) Déterminer les lois marginales du couple (X, Y ).
(b) Xet Ysont-elles indépendantes ?
(c) Déterminer la loi de X+Y, ainsi que son espérance et sa variance sous réserve d’existence.
2. On pose U=max(X, Y )et V=min(X, Y )
(a) Déterminer la loi de Uainsi que son espérance sous réserve d’existence.(on utilisera la
fonction de répartition)
(b) Calculer l’espérance de |X−Y|.
(c) Déterminer la loi de V
2

Exercice 10. (Loi de Pascal) Soit x∈]0,1[.Dans une succession d’épreuves de Bernoulli indépen-
dantes, de même probabilité d’échec x, on définit deux suites de variables aléatoires (Sn)n≥1et (Tn)n≥1
de la façon suivante :
– pour tout n∈N∗,Snest la variable aléatoire égale au nombre d’épreuves nécessaires pour
obtenir le n-ième succès
–T1=S1et pour tout n≥2,Tnest la variable égale au nombre d’épreuves supplémentaires
pour obtenir le n-ième succès après le n−1-ième succès
1. Exprimer, pour tout n∈N∗,Snen fonction des variables Ti, i ∈N∗.
2. Donner pour tout n∈N∗, la loi de Tnainsi que son espérance et variance.
3. Déterminer la loi de S1et celle de S2.
4. Donner pour tout n∈N∗, la loi de Sn.
5. En déduire que, pour tout x∈]0,1[, et pour tout n∈N∗:
+∞
X
k=nk−1
n−1xk=xn
(1 −x)n
Exercice 11. On considère une suite (Xn)n∈N∗de v.a indépendantes suivant toutes la même loi de
Bernoulli de paramètre p∈]0,1[. Pour tout n∈N∗,on pose :
Sn=
n
P
i=1
Xi
n, Yn=Xn+Xn+1 2, Tn=
n
P
i=1
Yi
n
1. Justifier :
∀ε > 0,lim
n→+∞P(|Sn−p| ≥ ε) = 0
2. Soit n∈N∗. Donner la loi et espérance de Yn.
3. Soient (n, m)∈N∗×N∗tels que n<m. Les v.a Ynet Ymsont-elles indépendantes ?
4. Montrer
∀ε > 0,lim
n→+∞P(|Tn−p| ≥ ε) = 0
3