TD 9 - Maths en PCSI

M.Bousquet - Lycée Camille Vernet
PCSI - 2016-2017
TD 9 : Nombres complexes (suite et fin)
Exercice 1 : Soit u et v deux éléments de U tels que uv 6= −1. Montrer que Z =
u+v
est un réel.
1 + uv
Exercice 2 : Calculer (1 + i)n + (1 − i)n pour n ∈ N.
1+z
∈ iR ⇐⇒ |z| = 1.
1−z
√
√
√
Exercice 4 : On note z1 = 2 6(1 + i), z2 = 2(1 + i 3) :
Exercice 3 : Montrer que : ∀z ∈ C\{1},
1. Mettre sous forme trigonométrique z1 et z2 .
z1
2. Ecrire z =
sous forme algébrique.
z2
3. Ecrire z sous forme exponentielle.
π
π
4. En déduire les valeurs de cos( 12
) et sin( 12
).
π
5. En déduire cos( 24
).
2
4
3
5
6
Exercice 5 : Soit ω = exp( 2iπ
7 ). On pose u = ω + ω + ω et v = ω + ω + ω .
1. Montrer que u et v sont conjugués. Calculer u + v. En déduire la partie réelle de u.
2. Calculer uv
3. En déduire sin(
2π
4π
8π
)+ sin( )+ sin( ).
7
7
7
Exercice 6 :
1. Déterminer le module et l’argument de 1 + eiθ
2. Plus généralement déterminer le module et l’argument de eiθ + eiα .
Exercice 7 : Résoudre dans C. Placer les solutions dans le plan complexe.
1. z 8 − z = 0
2. z 5 + z = 0
3. e2z = 1 + i
4. ez − e−z + 1 = 0
Exercice 8 : Résoudre dans C l’équation (z + 1)n = (z − 1)n pour n ≥ 1
Exercice 9 : On cherche trouver les complexes z tels que A(1), B(z) C(z 2 ) soient les sommets d’un triangle
rectangle.
1. Déterminer les points z pour lesquels 1, z, z 2 soient deux à deux distincts.
Pour toute la suite, on suppose que z 6= 0 et z 6= ±1.
2. Déterminer les z pour lesquels ABC soient un triangle rectangle en A.
3. Déterminer les z pour lesquels ABC soient un triangle rectangle en B.
4. Montrer que les z pour lesquels ABC soient un triangle rectangle en C forme un cercle dont on précisera le
centre et le rayon.
Exercice 10 :
1. (a) Linéariser cos3 (x).
(b) En déduire les primitives de cos3 (x).
2. Mêmes questions avec sin4 (x).
Exercice 11 : Soit θ ∈ R et n ∈ N. Calculer les sommes :
n
X
1.
sin(2kx).
k=0
1
M.Bousquet - Lycée Camille Vernet
n
X
2.
cosk (θ)(−1)k sin(kθ)
3.
4.
k=0
n X
k=1
n
X
PCSI - 2016-2017
n
cos(kθ)
k
cos2 (kx).
k=0
5.
X
|z − 1|
z∈Un
Exercice 12 : Soit x un réel qui ne soit pas un multiple de 2π
n
X
1
∗ .
1. Montrer que, pour tout n ∈ N : cos(kx) ≤
| sin( x2 )|
k=0
n
X
∗ 2. Montrer que pour toutn ∈ N : cos(2k) ≤ 2.
k=0
n
n
X
X
Exercice 13 : Pour tous complexes z1 , .., zn dans C avec n ≥ 2, montrer que zk ≤
|zk | avec égalité si et
k=1
k=1
seulement si tous les zk sont sur la même demi-droite d’origine O.
Exerice 14 : Identitité du parallélogramme
Montrer que pour tout z, z 0 ∈ C, on a : |z − z 0 |2 + |z + z 0 |2 = 2(|z|2 + |z 0 |2 ).
Expliquez géométriquement cette relation.
Exercice 15 : Calculer les intégrales suivantes :
Z π2
1.
sin(t)2 cos(t)3 dt
0
Z
2.
π
2
cos(t)2 sin(t)2 dt
0
2