TD 9 - Maths en PCSI

M.Bousquet - Lycée Camille Vernet PCSI - 2016-2017
TD 9 : Nombres complexes (suite et fin)
Exercice 1 : Soit uet vdeux éléments de Utels que uv 6=−1. Montrer que Z=u+v
1 + uv est un réel.
Exercice 2 : Calculer (1 + i)n+ (1 −i)npour n∈N.
Exercice 3 : Montrer que : ∀z∈C\{1},1 + z
1−z∈iR⇐⇒ |z|= 1.
Exercice 4 : On note z1= 2√6(1 + i), z2=√2(1 + i√3) :
1. Mettre sous forme trigonométrique z1et z2.
2. Ecrire z=z1
z2
sous forme algébrique.
3. Ecrire zsous forme exponentielle.
4. En déduire les valeurs de cos(π
12 ) et sin(π 12 ).
5. En déduire cos(π
24 ).
Exercice 5 : Soit ω= exp(2iπ
7). On pose u=ω+ω2+ω4et v=ω3+ω5+ω6.
1. Montrer que uet vsont conjugués. Calculer u+v. En déduire la partie réelle de u.
2. Calculer uv
3. En déduire sin(2π
7)+ sin(4π 7)+ sin(8π 7).
Exercice 6 :
1. Déterminer le module et l’argument de 1 + eiθ
2. Plus généralement déterminer le module et l’argument de eiθ +eiα.
Exercice 7 : Résoudre dans C. Placer les solutions dans le plan complexe.
1. z8−z= 0
2. z5+z= 0
3. e2z= 1 + i
4. ez−e−z+ 1 = 0
Exercice 8 : Résoudre dans Cl’équation (z+ 1)n= (z−1)npour n≥1
Exercice 9 : On cherche trouver les complexes ztels que A(1),B(z)C(z2)soient les sommets d’un triangle
rectangle.
1. Déterminer les points zpour lesquels 1, z, z2soient deux à deux distincts.
Pour toute la suite, on suppose que z6= 0 et z6=±1.
2. Déterminer les zpour lesquels ABC soient un triangle rectangle en A.
3. Déterminer les zpour lesquels ABC soient un triangle rectangle en B.
4. Montrer que les zpour lesquels ABC soient un triangle rectangle en Cforme un cercle dont on précisera le
centre et le rayon.
Exercice 10 :
1. (a) Linéariser cos3(x).
(b) En déduire les primitives de cos3(x).
2. Mêmes questions avec sin4(x).
Exercice 11 : Soit θ∈Ret n∈N. Calculer les sommes :
1.
n
X
k=0
sin(2kx).
1

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2.
n
X
k=0
cosk(θ)(−1)ksin(kθ)
3.
n
X
k=1 n
kcos(kθ)
4.
n
X
k=0
cos2(kx).
5. X
z∈Un
|z−1|
Exercice 12 : Soit xun réel qui ne soit pas un multiple de 2π
1. Montrer que, pour tout n∈N∗:
n
X
k=0
cos(kx)
≤1
|sin( x
2)|.
2. Montrer que pour toutn∈N∗:
n
X
k=0
cos(2k)
≤2.
Exercice 13 : Pour tous complexes z1, .., zndans Cavec n≥2, montrer que 
n
X
k=1
zk
≤
n
X
k=1 |zk|avec égalité si et
seulement si tous les zksont sur la même demi-droite d’origine O.
Exerice 14 : Identitité du parallélogramme
Montrer que pour tout z, z0∈C, on a : |z−z0|2+|z+z0|2= 2(|z|2+|z0|2).
Expliquez géométriquement cette relation.
Exercice 15 : Calculer les intégrales suivantes :
1. Zπ
2
0
sin(t)2cos(t)3dt
2. Zπ
2
0
cos(t)2sin(t)2dt
2