THEORIE DES CORPS Cours de mathématiques pour Licence L3 et

THEORIE DES CORPS
Cours de mathématiques pour Licence L3 et Master M1
Cours et Exercices corrigés 1
Michel Goze, Elisabeth Remm
1. Edité par Ramm Algebra Center

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Introduction
Ce cours s’adresse aux étudiants de troisième année de Licence mathématiques ou de première année de
Master
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ii INTRODUCTION

Table des matières
Introduction i
1 Corps. Généralités 3
1.1 Définitiond’uncorps........................................ 3
1.1.1 Définition .......................................... 3
1.1.2 Exemplesdecorps ..................................... 4
1.1.3 Sous-corps. Sous-corps premier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Caractéristiqued’uncorps..................................... 6
1.2.1 Définition .......................................... 6
1.2.2 L’homomorphisme de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Quelques constructions de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Le corps des fractions d’un anneau intègre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Le quotient d’un anneau par un idéal maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 Les corps de rupture d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Quelques corps particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1 Corpsordonnés....................................... 10
1.4.2 Corps algébriquement clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Lescorpsdenombres........................................ 12
1.5.1 Le corps Qdesnombresrationnels ............................ 12
1.5.2 Le corps Rdesnombresréels ............................... 12
1.5.3 Le corps des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.4 Le corps des quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.5 Le corps des nombres p-adiques.............................. 19
1.6 EXERCICES ............................................ 21
2 Les corps finis 23
2.1 Quelquesgénéralités ........................................ 23
2.1.1 Caractéristique d’un corps fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2 Cardinalité d’un corps fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.3 L’homomorphisme de Froebenius sur un corps fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 LethéorèmedeWedderburn.................................... 24
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