Examens corrigés de P3 - Faculté des Sciences de Rabat

Université Mohammed V-Agdal
Département de mathématiques
et Informatique
Faculté des sciences
Rabat
CORRIGES DE PROBLEMES D’EXAMEN
D’ANALYSE DE P3
DISTRIBUTIONS ET TRANSFORMEES
DE FOURIER ET DE LAPLACE
Pr. A . Bourass
1

1(Janvier 99)
¨
Exercice 1
Soit ρune fonction continue sur Rtelle que 0≤ρ(x)≤1,ρ(x)=1
si |x|≤1et ρ(x)=0 si |x|≥2.Onposeρn(x)=ρ(x
n),pourn=1,2, ...
On munit Rde la mesure de Lebesgue. Soit f∈L1(R), (espace des fonctions
Lebesgue intégrables sur R). On pose fn=ρnf.
i) Montrer que le support de ρnest contenu dans [−2n, 2n]
ii) Montrer que fn∈L1(R), pour tout n=1,2, ...
ii) Montrer que RRfn(x)dx −→
nRRf(x)dx .
Exercice 2
On munit I=[−π, π]de la mesure de lebesgue et on considère l’espace
L2(I)des fonctions réelles de carré intégrable sur I, sur lequel on définit le
produit scalaire usuel hf,gi=R+π
−πf(x)g(x)dx . On rappelle que la famille
S=n1
√2π,sin nx √π,cos nx √π,n>1oconstitue une base hilbertienne de l’espace de
Hilbert L2(I)et que kfk2
2=hf,fi=R+π
−πf2(x)dx .
i) Calculer Dx, 1
√2πE,Dx, sin nx √πEet Dx, cos nx √πE
ii) Montrer que kx+
n
P
k=1
(−1)ksin kx
kk2
n0.
ii) Calculer kxk2
2,puis utiliser i) pour montrer que ∞
P
n=1
1
n2=π2 6.
Exercice 3
On considère la fonction fdéfinie pour tout x∈R∗par
f(x)=Y(x)xeλx ,oùY(x)est la fonction d’Heaviside définie sur Rpar
Y(x)=0 si x<0et Y(x)=1 si x>0.
i) Justifier pourquoi fdéfinit-elle une distribution.
ii) Calculer au sens des distributions d2
dx2(df dx −λf).
Exercice 4
Soit la fonction de deux variables réelles u(t, x)= Y(t)
2√πt e−x2
4tavec
u(0,x)=0.
1) Vérifier que uest de classe C1sur R2.
2) Calculer au sens des distributions Du où Dest l’opérateur différentiel
D=∂
∂t −∂2 ∂x2.
3) Soit ϕ∈D(R2),montrerque
R+∞
0dt R+∞ −∞
e−x2
4t
2√πt
∂2ϕ
∂x2(t, x)dx =R+∞
0dt R+∞ −∞
e−x2
4t
2√πt
∂ϕ
∂t (t, x)dx .
2

Solution
Exercice1
i) Il est demandé de montrer une inclusion, ce qui est toujours plus facile
qu’une égalité, ne serait-ce que parcequ’une égalité est une double inclusion.
Rappelons que le support d’une fonction est le complémentaire du plus grand
ouvert où cette fonction est nulle. Si x/∈[−2n, 2n],ona|x
n|>2;par
conséquent ρn(x)=ρ¡x
n¢=0.Ainsi, ρnest nulle dans l’ouvert
]−∞,2n[∪]2n, +∞[ce qui implique par définition que supp(ρn)⊂
[−2n, 2n].
ii) Nous disposons de deux moyens pour vérifier qu’une fonction hest
intégrable : ou bien on montre que R+∞
−∞ |h|<+∞, oubienonmajore |h|
par une fonction qui est intégrable. Dans notre situation, on a
|fn(x)|=|ρn(x)f(x)|≤|f(x)|, d’où le résultat demandé puisque fest
intégrable .
iii) Dans cette question, il s’agit de montrer qu’une suite d’intégrales
converge vers une intégrale. Dans pratiquement tout les cas, c’est le théorème de
convergence dominée de Lebesgue qui permet de résoudre ce genre de problème.
Vérifions donc les hypothèses du théorème de Lebesgue. D’après ce qui précède
les fnsont intégrables et |fn|≤f,∀n≥1,avecfintégrable , Il reste
àmontrerque fn(x)−→ f(x)pour tout x∈R.Eneffet, soit x∈Ret
p∈Ntel que |x|≤p. Pour tout n≥pon a ρn(x)=1,( car |x|≤n)
et par suite fn(x)=f(x)pour tout n≥p.Autrementdit, xétant
fixé, il existe p∈Ntel que |fn(x)−f(x)|=0 pour tout n≥p.C’està
dire que fn(x)−→ f(x)pour tout x∈R. Le théorème de Lebesgue permet
alors d’affirmer que RRfn(x)dx −→ RRf(x)dx lorsque n−→ ∞ .
Exercice 2
i) Les quantités à calculer sont les coéficients de la fonction f(x)=x
sur la base hilbertienne donnée. les calculs sont élémentaires :
Dx, 1
√2πE=R+π
−π
x
√2πdx =0
Dx, sin nx
√πE=R+π
−π
xsin nx
√πdx =1 √π¡−xcos nx
n¢]+π
−π+1
n√πR+π
−πcos nxdx
=1
n√π¡−xcos nx
n¢]+π
−π=(−1)n+1 2√π
n.
Dx, cos nx
√πE=R+π
−π
xcos nx
√πdx =1 √π¡xsin nx
n¢]+π
−π+1
n√πR+π
−πsin nxdx =0
ii) Comme la fonction f(x)=xest dans L2(I), elle s’ecrit dans la
base hilbertienne S,x=∞
X
n=0
hx, ϕniϕn,avecϕn∈S. D’après i) , tous les
produits hx, ϕnisont nuls sauf ceux en sin .Onobtient
x=∞
X
n=1
(−1)n+1 2√π
n
sin nx
√π=2 ∞
X
n=1
(−1)n+1 sin nx
n. Ces’égalités étant au
sens de L2(I),celasignifiequelasérie 2∞
X
n=1
(−1)n+1 sin nx
nconverge dans
3

l’espace normé L2(I)vers la fonction x. Et cela s’ecrit
kx−2
n
X
k=1
(−1)k+1 sin kx
kk2=kx+2
n
X
k=1
(−1)ksin kx
kk2−→ 0lorsque n−→
∞.
iii) On a kxk2
2=R+π
−πx2dx =2
3π3. D’autre part, d’après la formule
de Bessel-Parceval on a , kxk2
2=∞
X
n=1
|Dx, sin nx
√πE|2=∞
X
n=1
4π
n2,(lesautres
termes sont nuls d’après i) ). On a donc 2
3π3=∞
X
n=1
4π
n2.Onendéduitl’égalité
demandée ∞
X
n=1
1
n2=π2 6.
Exercice 3
i) La fonction fétant définiecontinuepartoutsur R,saufpeut
être en 0, est localement intégrable sur R(intégrable sur tout intervalle fermé
borné de R). Elle définit donc une distribution sur R.
ii) On a d2
dx2³df dx −λf´=d3f dx3−λd2f dx2.Lafonctionxeλx etant de
classe C∞sur R,ona
df
dx =Y0xeλx +Y¡eλx +λxeλx¢=Y¡eλx +λxeλx¢,
car Y0xeλx =δxeλx =0.
En dérivant une seconde fois, on obtient
d2f
dx2=Y0¡eλx +λxeλx¢+Y¡2λeλx +λ2xeλx¢
et tenant compte du fait que Y0xeλx =δxeλx =0 et Y0eλx =δ,
on a d2f
dx2=δ+Y¡2λeλx +λ2xeλx¢. Une troisième dérivation donne
d3f
dx3=δ0+2λδ +Y¡3λ2eλx +λ3xeλx¢.D’oùfinalement
d2
dx2³df dx −λf´=δ0+2λδ+Y¡3λ2eλx +λ3xeλx¢−λδ+λY ¡2λeλx +λ2xeλx¢
=δ0+λδ +λ2Ye
λx .
Exercice 4
i) Il est clair que la fonction uest continue sur R2\(0,0) .Aupoint
(0,0) ,ona lim
(t,x)−→(0,o)u(t, x) = lim (t,x)−→(0,0)
Y(t)
2√πt e−x2
4t=0=u(0,0) ,d’oùla
continuité en (0,0) et donc sur R2.Il reste à vérifier que les dérivées partielles
de usont continues. On a ∂u
∂t (t, x)= e−x2
4t
4t√πt ³x2
2t−1´si t>0et ∂u ∂t (t, x)=0
si t<0.Onvoitalorsque lim
t−→0+
∂u
∂t (t, x) = 0 = lim
t−→0−
∂u
∂t (t, x). D’autre part,
le calcul de la dérivée par rapport à xdonne ∂u
∂x (t, x)=−xY (t)e−x2
4t
4t√πt si
t>0et ∂u
∂x (t, x)=0 si t≤0et on a lim
x−→0
∂u
∂x (t, x)=0, d’où la continuité
des dérivées partielles de u.
ii) Puisque uest de classe C1et ∂u
∂x (t, x)de classe C2, les dérivées
au sens des distributions et les dérivées au sens des fonctions coincident . On a
4

donc au sens des distributions Du =∂u
∂t −∂2u ∂x2.Lecalculde ∂2u ∂x2(t, x)donne
∂2u
∂x2(t, x)= e−x2
4t
4t√πt ³x2
2t−1´si t>0et ∂2u ∂x2(t, x)=0 si t<0. On en déduit
que Du =0, en vertu de la question précédente.
iii) On a hDu, ϕi=0 pour toute fonction ϕ∈D(R), puisque Du =0
. C’est à dire ZZR2
Du(t, x)ϕ(t, x)dtdx =0; ce qui implique
ZZR2
∂u
∂t (t, x)ϕ(t, x)dtdx =ZZR2
∂2u
∂x2(t, x)ϕ(t, x)dtdx . Mais par définition
de la dérivée d’une distribution, on a −ZZR2
u(t, x)∂ϕ
∂t (t, x)dtdx =ZZR2
u(t, x)∂2ϕ
∂x2(t, x)dtdx,
égalité équivalente à −R∞
0dt R+∞
−∞
e−x2
4t
2√πt
∂ϕ
∂t (t, x)dx =R∞
0dt R+∞
−∞
e−x2
4t
2√πt
∂2ϕ
∂x2(t, x)
_________________________________________________________
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2(Janvier 2000)
Exercice 1
On considère la suite de fonctions fn(x)=x(1 −x
n)nln xχ[0,n],n≥1
et on admet que la fonction f(x)=xe−xln xest intégrable sur [0,+∞[et
que (1 −x
n)n≤e−x.
1) Vérifier que |fn(x)|≤|f(x)|.
2) Montrer que lim
n−→∞ Rn
0x(1 −x
n)nln xdx =Rx
0xe−xln xdx.
Exercice 2
On munit L2([−1,1]) du produit scalaire hf,gi=R+1
−1f(t)g(t)dt .
1) Vérifier que les polynômes X0=1
√2,X1=√3 √2xet X2=
√5
2√2(3x2−1) sont orthogonaux deux à deux. Calculer la norme kX1k2de
X1dans L2([−1,1]) .
2) Soit Vle sous espace vectoriel de L2([−1,1]) engendré par
{X0,X
1,X 2}et soit Pla projection orthogonale de L2([−1,1]) sur V
.Calculer P(x3)et P(ex).
Expliquer sans faire de calcul, pourquoi on a les égalités
R+1
−1x4dx =R+1 −1xP (x3)dx et R+1 −1x2exdx =R+1 −1x2P(ex)dx.
Exercice 3
Pour tout entier m∈N, on désigne par Dml’ensemble
Dm={ϕ∈C(R),de classe Cmet à support compact}.Unesuite(ϕi)i
d’éléments de Dmconverge vers 0dans Dmsi les ϕiont leurs support
dans un même compact et si pour tout p,0≤p≤mla suite (dpϕi
dxp)i
converge vers 0uniformément. On note Dm0le dual de Dmet on
rappelle que T∈Dm0si et seulement si pour toute suite (ϕi)iqui converge
vers 0 dans Dm0,ona T(ϕi)−→ 0.
1) Soit f∈L1
loc et δla mesure de Dirac. Montrer que Tfet δ
appartiennent à D00.Onfixe m∈Net on définit S:Dm−→ Rpar
S(ϕ)=dmϕ
dxm(0) .Montrerque S∈Dm0.
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