Topologie pour la Licence - Laboratoire J.A. Dieudonné

Topologie pour la Licence
Cours et exercices
Clemens Berger1
24 Janvier 2004
1Universit´e de Nice-Sophia Antipolis, Laboratoire J.-A. Dieudonn´e, 06108 Nice Cedex

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Table des mati`eres
Pr´eface 5
1 Espaces m´etriques 7
1.1 Distances ........................................ 7
1.2 Adh´erence........................................ 8
1.3 Continuit´e........................................ 9
2 Espaces topologiques 11
2.1 D´efinitions........................................ 11
2.2 Densit´e, hom´eomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Topologie-produit, topologie induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Espaces complets et espaces compacts 15
3.1 Compl´etude....................................... 15
3.2 Compacit´e........................................ 18
3.3 Parties compactes de Rn................................ 19
4 Espaces connexes 23
4.1 Connexit´e et connexit´e par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Composantes connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5 Espaces fonctionnels 27
5.1 Espaces de Banach et de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2 Projection orthogonale et orthogonalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.3 Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.4 Th´eor`eme de Stone-Weierstrass et s´eries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6 Exercices 37
6.1 Ouverts, ferm´es et adh´erence dans un espace m´etrique. . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.2 Continuit´e, densit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.3 Espaces complets, espaces compacts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.4 Espaces connexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.5 Espaces de Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.6 Partiel du 28 novembre 2000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.7 Examen du 26 janvier 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.8 Examen du 7 septembre 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
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4TABLE DES MATI ` ERES
6.9 Partiel du 28 novembre 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.10 Examen du 25 janvier 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.11 Examen du 10 septembre 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.12 Partiel du 19 novembre 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.13 Examen du 5 f´evrier 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.14 Examen du 3 septembre 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.15 Partiel du 20 novembre 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Pr´eface
Ce texte repr´esente le cours de topologie dispens´e en Licence de Math´ematiques Pures `a
Nice, pendant quatre ann´ees cons´ecutives (de 2000/2001 `a 2003/2004).
La topologie est une th´eorie math´ematique relativement jeune : elle ´emerge (sous le nom
d’analysis situs) au d´ebut du vingti`eme si`ecle dans les travaux de Hausdorff et de Tychonoff. Le
besoin d’une telle th´eorie s’est d´ej`a fait sentir `a la fin du dix-neuvi`eme si`ecle dans les travaux de
Riemann et de Hilbert. Dans la recherche actuelle, la topologie joue un rˆole fondamental aussi
bien en Analyse Fonctionnelle qu’en G´eom´etrie Diff´erentielle ou encore en Topologie Alg´ebrique.
Ce cours (de 13 s´eances d’une heure et demi) n’est cependant qu’une introduction aux
notions de base. Il contient le strict minimum pour celui qui souhaite poursuivre les ´etudes
en math´ematiques. Comme la topologie repose sur relativement peu de connaissances aquises,
elle pr´esente l’occasion id´eale pour l’´etudiant de combler d’´eventuelles lacunes en logique ou
en th´eorie des ensembles. C’est la raison pour laquelle la plupart des ´enonc´es sont suivis d’une
preuve compl`ete. Le dernier chapitre contient une collection d’exercices. Ces exercices servent `a
la fois `a mieux familiariser l’´etudiant avec les notions apprises en cours, et `a compl´eter le cours
l`a o`u le temps n´ecessaire manquait.
En ce moment mˆeme, le programme de Licence subit de profonds remaniements, dans le
cadre de l’harmonisation europ´eenne du syst`eme universitaire. Il est fort probable qu’un cours
sp´ecialis´e de topologie n’aura plus sa place dans la Licence de demain. Ceci est moins regrettable
pour les concepts topologiques eux-mˆemes (car ceux-l`a s’introduiront tout seuls), que pour le
rˆole formateur du raisonnement topologique qui fait appel aussi bien `a la perception spatiale
qu’`a la pr´ecision logique.
C’est Mathieu Thibaud qui a pris le soin de typographier la majeure partie de ce texte, aid´e
en cela par Julie D´eserti, Nathalie et Laurie Canarelli, Nicolas Basbois et Laurence Mannucci.
A tous, un grand merci pour le temps et les efforts consacr´es.
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