Variétés algébriques et morphismes

2016-2017 M512
Université Lille 1 Arithmétique des courbes elliptiques
Variétés algébriques et morphismes
Exercice 1.
Soit V⊂P2la variété projective V= Z(Y2Z−X3)et f:P1→Vl’appli-
cation rationnelle donnée par [S2T, S3, T 3].
1. Montrer que fest un morphisme.
2. Déterminez une application rationnelle g:V→P1telle que f◦g= id
et g◦f= id partout où ces égalités ont un sens.
3. Est-ce que fest un isomorphisme ?
Exercice 2.
1. Soit f= [f1,··· , fn] : Pm→Pnune application rationnelle.
(a) Montrer qu’on peut trouver un représentant de ftel que tous les
fisont des polynômes homogènes de même degré, premiers entre
eux dans leur ensemble.
(b) Montrer qu’alors fest régulier en x∈Pmsi et seulement s’il existe
i∈ {0,··· , n}tel que fi(x)6= 0.
2. Soit f:P2→P2l’application rationnelle donnée par [X2, XY, Z2].
Montrer que fest régulière partout sauf en [0,1,0].
Exercice 3.
Soit kun corps infini. Si P∈k[X0,··· , Xn]est un polynôme, on peut écrire
de manière unique P=P0+P1+··· +Pd, où chaque Piest une somme de
monômes de poids (ou degré) i, pour i∈ {0,··· , d}.
1. Montrer que :
∀λ∈k∀(x0,··· , xn)∈knP(λx0,··· , λxn) = λiP(x0,··· , xn)
équivaut à P=Pi.
2. Soit [x0,··· , xn]∈Pn. Montrer que P(x0,··· , xn) = 0 pour tout
représentant (x0,··· , xn)de [x0,··· , xn]si et seulement si
Pi(x0,··· , xn)=0
pour i∈ {0,··· , d}.
Exercice 4.
Une k-algèbre Rest dite graduée si R=⊕n∈NRnet RpRq⊂Rp+q. Les
éléments de Rnsont dit homogènes de degré n.
1

1. Soit I⊂Run idéal. Montrer l’équivalence entre : Iest engendré par
des éléments homogènes et : si f=Pn∈Nfn, alors pour tout n∈N
fn∈I.
2. Si Iest homogène, et p:R→R/I est l’application quotient, alors
Sn=p(Rn)définit une structure d’algèbre graduée sur S=R/I.
3. Montrer que Ihomogène est premier si et seulement si pour tout f, g
homogènes, on a fg ∈I=⇒f∈Iou g∈I.
4. Montrer que si Iest homogène, alors √Il’est aussi.
Exercice 5.
Soit p:An+1\{0} → Pnla projection canonique. Si Zest un ensemble
projectif, on définit C(Z)=Za(Ip(Z)) comme sous-variété de An+1.
1. Montrer que si Z6=∅, alors C(Z) = p−1(Z)∪ {0}.
2. Montrer que Ip(Z)est premier si et seulement si Zest irréductible.
3. Soit I⊂k[X0,··· , Xn]un idéal homogène et Zp(I)⊂Pnest l’en-
semble projectif associé. On note R+= (X0,··· , Xn)l’idéal superflu
de k[X0,··· , Xn].
(a) Montrer que Zp(I) = ∅ ⇐⇒ R+⊂√I⇐⇒ ∃d>1/(R+)d⊂I.
(b) Montrer que si Zp(I)6=∅alors Ip(Zp(I)) = √I.
(c) Montrer qu’on a une bijection entre sous-ensembles algébriques
projectifs non vides de Pnet idéaux homogènes radicaux Ide
k[X0,··· , Xn]tels que Ine contient pas R+.
Exercice 6.
1. Montrer que la topologie produit des topologies de Zariski sur A1×A1
ne coïncide pas avec la topologie de Zariski sur A2.
2. Montrer qu’un morphisme entre variétés affines est continue pour la
topologie de Zariski, mais que la réciproque est fausse.
3. Montrer que A2\{0}n’est pas une variété affine.
Exercice 7.
Montrer que l’application Pm×Pn→Pmn+m+ndonnée par ((xi),(yj)) 7→
(xiyj)identifie Pm×Pnavec le sous-ensemble projectif Z(Zij Zkl −ZilZkj )
de Pmn+m+n.
Exercice 8.
Montrer qu’une variété V⊂Anvérifie dim V=n−1si et seulement si
V= Z(P), où P∈k[X1,··· , Xn]est un polynôme irréductible.
2