Variétés algébriques et morphismes
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2016-2017
Université Lille 1
M512
Arithmétique des courbes elliptiques
Variétés algébriques et morphismes
Exercice 1.
Soit V ⊂ P2 la variété projective V = Z(Y 2 Z − X 3 ) et f : P1 → V l’application rationnelle donnée par [S 2 T, S 3 , T 3 ].
1. Montrer que f est un morphisme.
2. Déterminez une application rationnelle g : V → P1 telle que f ◦ g = id
et g ◦ f = id partout où ces égalités ont un sens.
3. Est-ce que f est un isomorphisme ?
Exercice 2.
1. Soit f = [f1 , · · · , fn ] : Pm → Pn une application rationnelle.
(a) Montrer qu’on peut trouver un représentant de f tel que tous les
fi sont des polynômes homogènes de même degré, premiers entre
eux dans leur ensemble.
(b) Montrer qu’alors f est régulier en x ∈ Pm si et seulement s’il existe
i ∈ {0, · · · , n} tel que fi (x) 6= 0.
2. Soit f : P2 → P2 l’application rationnelle donnée par [X 2 , XY, Z 2 ].
Montrer que f est régulière partout sauf en [0, 1, 0].
Exercice 3.
Soit k un corps infini. Si P ∈ k[X0 , · · · , Xn ] est un polynôme, on peut écrire
de manière unique P = P0 + P1 + · · · + Pd , où chaque Pi est une somme de
monômes de poids (ou degré) i, pour i ∈ {0, · · · , d}.
1. Montrer que :
∀λ ∈ k ∀(x0 , · · · , xn ) ∈ k n P (λx0 , · · · , λxn ) = λi P (x0 , · · · , xn )
équivaut à P = Pi .
2. Soit [x0 , · · · , xn ] ∈ Pn . Montrer que P (x0 , · · · , xn ) = 0 pour tout
représentant (x0 , · · · , xn ) de [x0 , · · · , xn ] si et seulement si
Pi (x0 , · · · , xn ) = 0
pour i ∈ {0, · · · , d}.
Exercice 4.
Une k-algèbre R est dite graduée si R = ⊕n∈N Rn et Rp Rq ⊂ Rp+q . Les
éléments de Rn sont dit homogènes de degré n.
1
1. Soit I ⊂ R un idéal. Montrer l’équivalence
entre : I est engendré par
P
des éléments homogènes et : si f = n∈N fn , alors pour tout n ∈ N
fn ∈ I.
2. Si I est homogène, et p : R → R/I est l’application quotient, alors
Sn = p(Rn ) définit une structure d’algèbre graduée sur S = R/I.
3. Montrer que I homogène est premier si et seulement si pour tout f, g
homogènes, on a f g ∈ I =⇒ f ∈ I ou g ∈ I.
√
4. Montrer que si I est homogène, alors I l’est aussi.
Exercice 5.
Soit p : An+1 \{0} → Pn la projection canonique. Si Z est un ensemble
projectif, on définit C(Z) = Za (Ip (Z)) comme sous-variété de An+1 .
1. Montrer que si Z 6= ∅, alors C(Z) = p−1 (Z) ∪ {0}.
2. Montrer que Ip (Z) est premier si et seulement si Z est irréductible.
3. Soit I ⊂ k[X0 , · · · , Xn ] un idéal homogène et Zp (I) ⊂ Pn est l’ensemble projectif associé. On note R+ = (X0 , · · · , Xn ) l’idéal superflu
de k[X0 , · · · , Xn ].
√
(a) Montrer que Zp (I) = ∅ ⇐⇒ R+ ⊂ I ⇐⇒ ∃d > 1/(R+ )d ⊂ I.
√
(b) Montrer que si Zp (I) 6= ∅ alors Ip (Zp (I)) = I.
(c) Montrer qu’on a une bijection entre sous-ensembles algébriques
projectifs non vides de Pn et idéaux homogènes radicaux I de
k[X0 , · · · , Xn ] tels que I ne contient pas R+ .
Exercice 6.
1. Montrer que la topologie produit des topologies de Zariski sur A1 ×A1
ne coïncide pas avec la topologie de Zariski sur A2 .
2. Montrer qu’un morphisme entre variétés affines est continue pour la
topologie de Zariski, mais que la réciproque est fausse.
3. Montrer que A2 \{0} n’est pas une variété affine.
Exercice 7.
Montrer que l’application Pm × Pn → Pmn+m+n donnée par ((xi ), (yj )) 7→
(xi yj ) identifie Pm × Pn avec le sous-ensemble projectif Z(Zij Zkl − Zil Zkj )
de Pmn+m+n .
Exercice 8.
Montrer qu’une variété V ⊂ An vérifie dim V = n − 1 si et seulement si
V = Z(P ), où P ∈ k[X1 , · · · , Xn ] est un polynôme irréductible.
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