Enoncé

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Ecole Normale Sup´erieure Topologie, analyse et calcul diff´erentiel
27 septembre 2016
Feuille d’exercices no1
Exercice 1 : distance de Hausdorff sur l’ensemble des compacts de Rn
Soit nun entier ≥1. On note dla distance euclidienne usuelle sur Rn. On note Kl’ensemble des
parties compactes non vides de Rn.´ Etant donn´e un compact K∈ K, on note φK:Rn→[0,+∞[
la fonction distance `a Kd´efinie par :
φK(y) = inf
x∈Kd(x, y).
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Etant donn´es deux ´el´ements K1, K2de K, on note :
δ(K1, K2) = kφK1−φK2k∞.
1. Montrer que δd´efinit une distance sur K. C’est la distance de Hausdorff.
Est-il vrai que δd´efinit ´egalement une distance sur l’ensemble des parties born´ees non-vides de
Rn?
2. Pour tout compact K∈ K et tout r´eel  > 0, on note
V(K) = [
x∈K
B(x, ).
Montrer que, ´etant donn´es deux compacts K1, K2∈ K, on a δ(K1, K2)≤si et seulement si
K1⊂V(K2) et K2⊂V(K1).
3. Soit K0le sous-ensemble de Kconstitu´e des parties finies de Rn. Montrer que K0est dense
dans (K, δ).
Exercice 2 : topologie cofinie
Soit Xun ensemble infini. On note C0l’ensemble des parties de Xde compl´ementaire fini :
C∈ C0si et seulement si X−Cest fini. Soit Cla r´eunion de C0et de l’ensemble vide.
1. a) Montrer que Cest une topologie sur X.
b) Cette topologie est-elle s´epar´ee ?
2. Soit (xn)n∈Nune suite d’´el´ements de Xtelle que, pour tout y∈X,{ntq xn=y}est fini.
Montrer que, pour tout z∈X,xn→z.
3. Soit Yun espace m´etrique. D´ecrire l’ensemble des fonctions continues f:X→Y.
Exercice 3 : topologie de Zariski
Soit kun corps et nun entier ≥1. Si Iest un ensemble d’indices et si (Pi)i∈Iest une famille
de polynˆomes dans k[x1, . . . , xn], on note
V((Pi)i∈I) := {x∈kn| ∀i∈I, Pi(x) = 0}.
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1. Montrer que les ensembles V((Pi)i∈I) sont les ferm´es d’une topologie (appel´ee topologie de
Zariski) sur kn.
2. Identifier cette topologie pour n= 1.
3. Comparer la topologie de Zariski et la topologie produit sur k2=k×k,k´etant muni de la
topologie de Zariski.
4. On suppose kinfini. Montrer que tout ouvert non vide de knest dense.
Exercice 4 : th´eor`eme de plongement d’Arens-Fells
Soit (X, d) un espace m´etrique.
On va montrer qu’il existe (V, N) un R-espace vectoriel norm´e et F⊂Vun ferm´e de Vtel que
(X, d) et (F, N) sont isom´etriques.
1. On note Fl’ensemble des parties finies non vides de Xet B(F) l’espace vectoriel des fonctions
born´ees de Fdans R, muni de la norme uniforme. On fixe un point a∈X, et, pour chaque
x∈X, on d´efinit :
fx:A∈ F 7→ d(x, A)−d(a, A).
a) Montrer que, pour tout x,fx∈ B(F).
b) Montrer que l’application x→fxest une isom´etrie.
c) En d´eduire le r´esultat voulu.
2. Montrer qu’en revanche, il existe des espaces m´etriques qui ne sont isom´etriques `a aucun
sous-ensemble d’un espace pr´ehilbertien (c’est-`a-dire un espace vectoriel norm´e dont la norme
provient d’un produit scalaire).
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Exercice 5 : ** Questions diverses
1. Soient Xun ensemble fini et Tune topologie s´epar´ee sur X. Que peut-on dire de T?
2. Soient Aet Bdeux parties d’un espace topologique X. D´eterminez si les affirmations suivantes
sont vraies ou fausses en g´en´eral. Lorsqu’elles d´ecrivent une ´egalit´e fausse, indiquez si au moins
l’une des inclusions est vraie.
a) ˚
˚
A∪B=˚ A∪˚ Bb) A∪B=A∪Bc) ∂(A∪B) = ∂A ∪∂B.
3. Soient Xet Ydeux espaces topologiques. Montrer qu’une fonction f:X→Yest continue
si et seulement si, pour tout ensemble A⊂X,f(A)⊂f(A).
4. Soient Xun ensemble, Aet Bdeux parties disjointes de X. On munit Aet Bde distances
dAet dB. Construire une distance sur A∪Bqui prolonge les distances dAet dB.
Exercice 6 : ** topologie de la convergence simple
Soit E= [0; 1][0;1] (c’est-`a-dire l’ensemble des fonctions f: [0; 1] →[0; 1]). On munit cet espace
de la topologie produit.
1. Montrer qu’une suite (fn)n∈Nd’´el´ements de Econverge pour la topologie produit si et
seulement si elle converge simplement (au sens de la convergence simple usuelle des fonctions).
2. On note Fle sous-ensemble de Econstitu´e des fonctions continues par morceaux et muni de
la topologie induite par celle de E.
Soit I:F→Rl’application suivante :
I(f) = Z1
0
f(t)dt
a) Montrer que, si (fn)n∈Nconverge dans Fvers une fonction f∞, alors I(fn)→I(f∞).
b) Montrer que In’est pas continue en la fonction nulle.
3. Montrer que En’est pas m´etrisable.
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