21 Cours - Polynômes.nb

Polynômes
polynôme, polynôme nul, coefficients, degré,
deg
H
P
L
, K
@
X
D
, P= S
k
=
0
deg
P
a
k
X
k
,
P
H
X
L
, coefficient dominant, polynôme unitaire,
K
n
@
X
D
, division euclidienne, fonction polynôme, racine, ordre de multiplicité, racine simple (double), divisible, divise,
polynôme irréductible, polynôme scindé, formules de Taylor
I) Ensemble K[X] des polynômes II) Division euclidienne III) Fonction polynôme
IV) Factorisation des polynômes dans [X] ou [X] V) Relations entre coefficients et racines d’un polynôme
VI) Dérivation. Formules de Taylor
K désigne l'ensemble  ou .
I) Ensemble K[X] des polynômes
1) Polynôme, coefficients, degré
a) Définitions
• Un polynôme
P
à coefficients dans K est une suite P=
I
a
k
M
de K dont tous les termes sont nuls à partir d’un certain rang.
• Les nombres a
0
,a
1
,a
2
, ... sont les coefficients du polynôme P=
I
a
k
M
.
• Le polynôme nul P=0 est la suite nulle.
• Le degré
deg
H
P
L
d’un polynôme P=
I
a
k
M
non nul est deg
H
P
L
=max
9
kœ
ë
a
k
∫0
=
. On pose deg(0) = -¶ .
Deux polynômes P=
I
a
k
M
et Q=
I
b
k
M
sont égaux ñ "kœ,a
k
=b
k
ñ leurs coefficients sont deux à deux égaux.
Par exemple, P=
H
0, 1, 1, 3, 0, -1, 0, 0, ...
L
est un polynôme à coefficients réels de degré 5.
b) Opérations
Soient P=
I
a
k
M
, Q=
I
b
k
M
deux polynômes et
l
œ
K
. On pose:
(1) P+Q=
I
a
k
+b
k
M
(2) l.P=
I
la
k
M
(3) PäQ= S
i=
0
k
a
i
b
k-i
(4) PëQ= S
k
=
0
deg
H
P
L
a
k
Q
k
Avec P=
H
1, 1, 1, 0, 0, 0, ...
L
et Q=
H
3, 2, 1, 0, 0, 0, ...
L
, calculer P+Q, 3 Q,PäQ et PëQ.
c) Changement de notation
On note X le polynôme X=
H
0, 1, 0, 0, ...
L
. On vérifie que X
n
=
H
0, 0, ..., 0, 1, 0, 0, ...
L
(avec un 1 en position n+1) et on pose
X
0
=
H
1, 0, 0, ...
L
Alors pour P=
I
a
k
M
polynôme non nul à coefficients dans K , P= S
k
=
0
deg
P
a
k
X
k
. Par exemple,
H
0, 1, -1, 0, 2, 0, 0, , ...
L
=X-X
2
+2X
4
. Cette notation facilite le calcul sur les polynômes.
On note K
@
X
D
l'ensemble des polynômes à coefficients dans K.
21 Cours - Polynômes.nb 1/7

2) Exemples
A quelles conditions sur les réels a,b,c a-t-on X
2
+a X =b X
3
+c X
2
-X ?
Avec P=
H
1, 1, 1, 0, 0, 0, ...
L
=1+X+X
2
et Q=
H
3, 2, 1, 0, 0, 0, ...
L
=3+2X+X
2
, calculer P+Q, 3 Q,PäQ et PëQ.
3) Notations P
H
X
L
,P,PëX:
On remarque que PëX=P . On note aussi PëX=P
H
X
L
. On a donc P=P
H
X
L
=PëX pour tout polynôme
P
.
4) Propriétés
"P,Q,RœK
@
X
D
,
(1) PäQ=QäP: le produit est commutatif
(2) Pä
H
Q+R
L
=PäQ+PäR: le produit est distributif par rapport à l’addition
(3) Pä
H
QäR
L
=
H
PäQ
L
äR: le produit est associatif
(4) PëQ∫QëP en général : la composition n’est pas commutative.
5) Coefficient dominant, polynôme unitaire, ensemble K
n
@
X
D
• Le coefficient dominant d'un polynôme de degré nr0 est le coefficient du terme X
n
.
• Un polynôme non nul est unitaire lorsque son coefficient dominant est égal à 1.
• On note K
n
@
X
D
l’ensemble des polynômes de degré bn de K
@
X
D
.
Quels sont les degrés et coefficients dominants de : P=1-X
2
+3X ; Q=X
3
+a X
4
; R=3 ; S=0 ?
6) Propriétés du degré
• "P,QœK
@
X
D
,
;
deg
H
P
ä
Q
L
=
deg
P
+
deg
Q
deg
H
P+Q
L
b
max
H
deg
P
,
deg
Q
L
et deg
H
P
L
∫deg
H
Q
L
fldeg
H
P+Q
L
=max
H
deg
H
P
L
, deg
H
Q
L
L
• "P,QœK
@
X
D
î
8
0
<
, deg
H
PëQ
L
=deg
H
P
L
ädeg
H
Q
L
7) Nullité d’un produit de polynômes
Le produit de deux polynômes est nul si et seulement si l’un des deux polynôme au moins est nul.
8) Exercices
a) Trouver tous les polynômes Pœ
@
X
D
tels que PëP=P .
b) Trouver tous les polynômes Pœ
@
X
D
tels que P
I
X
2
M
=
I
X
2
+1
M
P
H
X
L
.
II) Division euclidienne
1) Théorème et définition
Soient
A
,
B
œ
K
@
X
D
, avec B∫0. Alors il existe un unique couple
H
Q,R
L
de polynômes de K
@
X
D
tels que
A
=
B
Q
+
R
deg
H
R
L
<deg
H
B
L
.
L’égalité A=B Q +R (avec deg
H
R
L
<deg
H
B
L
) est l’égalité de la division euclidienne de
A
par
B
.
21 Cours - Polynômes.nb 2/7

2) Effectuer les divisions eulcidiennes de
a) P=X
4
-X
3
+1 par Q=X
2
-3X+2
b) P=X
5
+X+1 par Q=X
2
+2X+2
3) Exercice
Calculer le reste de la division de P=X
10
par X-1 puis X
2
-3X+2 puis
H
X-1
L
2
puis X
2
+1.
4) Divisibilité
Soient
A
et
B
deux polynômes non nuls de K
@
X
D
. Alors:
A est divisible par
B
dans K
@
X
D
ñ $QœK
@
X
D
ê
A=B Q ñ le reste de la division euclidienne de
A
par
B
est nul
On dit alors aussi, comme pour les entiers, que
A
divise
B
.
Par exemple, X
2
+1 divise X
6
+1 car :
III) Fonction polynôme
1) Définition
La fonction polynôme associée au polynôme
P
de K
@
X
D
est la fonction, notée encore par abus
P
, est la fonction P:KöK
xØP
H
x
L
.
Par exemple, si P=X
2
-X+3, la fonction polynôme P associée est P:ö avec P
H
x
L
=x
2
-x+3
ATTENTION: un polynôme n’est pas une fonction polynôme.
Dans la suite, on notera des “grands X” pour les polynômes et des “petits x” pour les fonctions polynômes .
2) Racine d’un polynôme
aœK est une racine du polynôme PœK
@
X
D
ñP
H
a
L
=0 .
Par exemple, -1 est une racine de X
5
+1 (dans  ou ) et 1 +i est une racine de
X
2
-2X+2 dans  .
3) Divisibilité par X-a
Soient aœK et PœK
@
X
D
. Alors:
X
-
a
divise P
H
X
L
dans K
@
X
D
ñP
H
a
L
=0
4) Généralisation et conséquences
a) Théorème
Soient a
1
, ..., a
n
œK tous distincts. Alors:
H
X-a
1
L
...
H
X-a
n
L
divise
P
H
X
L
dans K
@
X
D
ñ P
H
a
1
L
=P
H
a
2
L
=. .. =P
H
a
n
L
=0 ñ a
1
,a
2
, ..., a
n
sont des racines de
P
H
X
L
b) Degré et nombre de racines
Un polynôme de degré nœ de K
@
X
D
admet au plus
n
racines distinctes dans K. Seul le polynôme nul a une infinité de racines.
21 Cours - Polynômes.nb 3/7

c) Exercice
Prouver que les seuls polynômes
P
œ
@
X
D
qui vérifient P
H
X+1
L
=P
H
X
L
sont les polynômes constants
5) Ordre de multiplicité d’une racine
Soient aœK et
P
un polynôme non nul de K
@
X
D
. Alors:
• L’ordre de multiplicité de
a
comme racine de
P
H
X
L
est le plus grand entier naturel
n
tel que
H
X-a
L
n
divise
P
H
X
L
.
Ou encore:
•
a
est une racine d’ordre
n
de
P
H
X
L
ñ
H
X
-
a
L
n
divise
P
H
X
L
H
X-a
L
n+1
ne divise pas P
H
X
L
.
•
a
est une racine d’ordre 0 de
P
H
X
L
ñ
a
n’est pas une racine de
P
H
X
L
ñ P
H
a
L
∫0 .
• Une racine simple d’un polynôme est une racine d’ordre 1, une racine double est une racine d’ordre 2.
Trouver les racines et leur ordre dans  puis  pour le polynôme P
H
X
L
=3X
4
H
X+2
L
2
I
X
2
+1
M
.
IV) Factorisation des polynômes dans [X] ou [X]
1) Exercice
Factoriser P=X
n
-1 dans 
@
X
D
puis Q=X
4
+1 et R=X
5
-1 dans 
@
X
D
.
2) Polynôme irréductible
C’est la version polynôme d’un nombre premier pour les entiers
a) Remarque
Dans la factorisation d’un polynôme, les constantes peuvent se “promener”.
Par exemple, P=X
2
-1=
H
X-1
L
H
X+1
L
, mais aussi P=
@
2
H
X-1
L
D
B
1
2
H
X+1
L
F
=
H
2X-2
L
J
1
2
X+
1
2
N
.
C’est pour cela que certaines des définitions suivantes sont “à une constante multiplicative non nulle près”.
b) Polynôme irréductible
Soit P
H
X
L
un polynôme de K
@
X
D
de degré r 1. Alors:
• P
H
X
L
est un polynôme irréductible de K
@
X
D
ñ les seuls diviseurs de
P
H
X
L
dans K
@
X
D
sont les l et les lP
H
X
L
avec
l
œ
K
.
Ou encore:
•
P
est un polynôme irréductible de K
@
X
D
ñ les seuls diviseurs de
P
sont 1 et
P
à une constante multiplicative non nulle près
Un polynôme de 
@
X
D
irréductible dans 
@
X
D
peut ne pas être irréductible dans 
@
X
D
.
P=X
2
+1 est irréductible dans 
@
X
D
mais pas dans 
@
X
D
(P=
H
X-i
L
H
X+i
L
)
c) Polynôme non irréductible
Soit PœK
@
X
D
, avec deg
H
P
L
r1. Alors:
P
n’est pas irréductible dans K
@
X
D
ñ $QœK
@
X
D
avec 1 bdeg
H
Q
L
<deg
H
P
L
tel que Q divise
P
P
n’est pas irréductible dans K
@
X
D
ñ $
Q
,
R
œ
K
@
X
D
de degrés r 1 tels que P=QäR
21 Cours - Polynômes.nb 4/7

d) Cas des polynômes de degré 1 et 2
Les polynômes de degré 1 de K
@
X
D
sont irréductibles.
Les polynômes de degré 2 irréductibles de K
@
X
D
sont les polynômes de degré 2 n’ayant pas de racine dans K.
e) Exercice
Soit
P
H
X
L
un polynôme de degré r 2 de K
@
X
D
. Alors:
Prouver que
P
H
X
L
a une racine dans K fl
P
H
X
L
n’est pas irréductible dans K
@
X
D
mais que la réciproque est fausse.
3) Factorisation en produit de polynômes irréductibles
Tout polynôme
P
de degré r 1 de K
@
X
D
s’écrit de manière unique, à des constantes multiplicatives non nulles près:
(1) : P
H
X
L
=P
1
H
X
L
n
1
P
2
H
X
L
n
2
... P
k
H
X
L
n
k
avec P
i
H
X
L
des polynômes irréductibles de K
@
X
D
tous distincts et n
i
œ
*
.
L’égalité (1) s’appelle la factorisation de
P
H
X
L
en produit de polynômes irréductibles.
4) Comparaison avec la factorisation des nombres entiers
Le théorème précédent est, pour les polynômes, le théorème analogue à celui de la factorisation (unique) d’un entier nr2 en
produit de nombre premiers. Mais, en pratique, il y a une différence importante:
• dans  on sait trouver (algorithme) la factorisation de n’importe quel nombre entier (pas trop grand quand même...) , alors
qu’on ne connait pas tous les nombres premiers
• dans K
@
X
D
, on ne sait factoriser qu’une petite partie des polynômes, alors qu’on connait tous les polynômes irréductibles.
5) Factorisation dans [X]
a) Théorème de d’Alembert - Gauss
Jean Le Rond d’Alembert (1717 - 1783) est un mathématicien, philosophe et encyclopédiste français.
Tout polynôme de degré r1 de 
@
X
D
admet au moins une racine dans .
b) Polynômes irréductibles de [X]
Les polynômes irréductibles de 
@
X
D
sont les polynômes de degré 1 .
c) Factorisation dans [X]
Tout polynôme
P
H
X
L
de 
@
X
D
de degré r1 se factorise de façon unique sous la forme:
P
H
X
L
= l
H
X-a
1
L
n
1.
..
I
X-a
k
M
n
k
avec
a
i
œ
et
distincts
n
i
œ
*
et
l œ 
*
.
Les racines de
P
H
X
L
sont alors les a
i
avec les ordres (de multiplicité ) n
i
.
6) Factorisation dans [X]
a) Polynômes irréductibles de [X]
Les polynômes irréductibles de 
@
X
D
sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 à D < 0
21 Cours - Polynômes.nb 5/7