21 Cours - Polynômes.nb

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Polynômes
deg P
polynôme, polynôme nul, coefficients, degré, deg HPL, K@XD, P = S
k=0
ak X k , P HXL, coefficient dominant, polynôme unitaire,
Kn @XD, division euclidienne, fonction polynôme, racine, ordre de multiplicité, racine simple (double), divisible, divise,
polynôme irréductible, polynôme scindé, formules de Taylor
I) Ensemble K[X] des polynômes
II) Division euclidienne
IV) Factorisation des polynômes dans [X] ou [X]
III) Fonction polynôme
V) Relations entre coefficients et racines d’un polynôme
VI) Dérivation. Formules de Taylor
K désigne l'ensemble ou .
I) Ensemble K[X] des polynômes
1) Polynôme, coefficients, degré
a) Définitions
• Un polynôme P à coefficients dans K est une suite P = Iak M de K dont tous les termes sont nuls à partir d’un certain rang.
• Les nombres a0 , a1 , a2 , ... sont les coefficients du polynôme P = Iak M.
• Le polynôme nul P = 0 est la suite nulle.
• Le degré deg HPL d’un polynôme P = Iak M non nul est deg HPL = max 9k œ ë ak ∫ 0=. On pose deg(0) = -¶ .
Deux polynômes P = Iak M et Q = Ibk M sont égaux ñ " k œ , ak = bk ñ leurs coefficients sont deux à deux égaux.
Par exemple, P = H0, 1, 1, 3, 0, -1, 0, 0, ...L est un polynôme à coefficients réels de degré 5.
b) Opérations
Soient P = Iak M, Q = Ibk M deux polynômes et l œ K. On pose:
(1) P + Q = Iak + bk M
(2) l.P = Il ak M
degHPL
k
(3) PäQ =
S ai bk-i
i=0
(4) Pë Q =
S
k=0
ak Qk
Avec P = H1, 1, 1, 0, 0, 0, ...L et Q = H3, 2, 1, 0, 0, 0, ...L, calculer P + Q, 3 Q , Pä Q et Pë Q.
c) Changement de notation
On note X le polynôme X = H0, 1, 0, 0, ...L. On vérifie que X n = H0, 0, ..., 0, 1, 0, 0, ...L (avec un 1 en position n + 1) et on pose
X 0 = H1, 0, 0, ...L
deg P
Alors pour P = Iak M polynôme non nul à coefficients dans K , P = S
k=0
ak Xk . Par exemple,
H0, 1, -1, 0, 2, 0, 0, , ...L = X - X 2 + 2 X 4 . Cette notation facilite le calcul sur les polynômes.
On note K@XD l'ensemble des polynômes à coefficients dans K .
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2) Exemples
A quelles conditions sur les réels a, b, c a-t-on X 2 + a X = b X 3 + c X 2 - X ?
Avec P = H1, 1, 1, 0, 0, 0, ...L = 1 + X + X 2 et Q = H3, 2, 1, 0, 0, 0, ...L = 3 + 2 X + X 2 , calculer P + Q, 3 Q , PäQ et PëQ.
3) Notations PHXL, P, Pë X:
On remarque que Pë X = P . On note aussi Pë X = PHXL. On a donc P = P HXL = Pë X pour tout polynôme P.
4) Propriétés
" P, Q, R œ K@XD,
(1) Pä Q = QäP
:
le produit est commutatif
(2) Pä HQ + RL = Pä Q + Pä R
:
le produit est distributif par rapport à l’addition
(3) Pä HQäRL = HP äQLä R
:
le produit est associatif
(4) Pë Q ∫ QëP en général
:
la composition n’est pas commutative.
5) Coefficient dominant, polynôme unitaire, ensemble Kn @XD
• Le coefficient dominant d'un polynôme de degré n r 0 est le coefficient du terme X n .
• Un polynôme non nul est unitaire lorsque son coefficient dominant est égal à 1.
• On note Kn @XD l’ensemble des polynômes de degré b n de K@XD .
Quels sont les degrés et coefficients dominants de : P = 1 - X 2 + 3 X ; Q = X 3 + a X 4 ; R = 3 ; S = 0 ?
6) Propriétés du degré
• " P, Q œ K@XD, ;
deg H P äQL = deg P + deg Q
et deg HPL ∫ deg HQL fl deg HP + QL = max H deg HPL, deg HQLL
deg HP + QL b max H deg P, deg QL
• " P, Q œ K@XD î 80<, deg HP ëQL = deg HPL ä deg HQL
7) Nullité d’un produit de polynômes
Le produit de deux polynômes est nul si et seulement si l’un des deux polynôme au moins est nul.
8) Exercices
a) Trouver tous les polynômes P œ @XD tels que P ëP = P .
b) Trouver tous les polynômes P œ @XD tels que P IX 2 M = IX 2 + 1M P HXL .
II) Division euclidienne
1) Théorème et définition
Soient A, B œ K@XD, avec B ∫ 0. Alors il existe un unique couple HQ, RL de polynômes de K@XD tels que
L’égalité A = B Q + R (avec deg HRL < deg HBL ) est l’égalité de la division euclidienne de A par B.
A = BQ+R
.
deg HRL < deg HBL
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2) Effectuer les divisions eulcidiennes de
a) P = X 4 - X 3 + 1 par Q = X 2 - 3 X + 2
b) P = X 5 + X + 1 par Q = X 2 + 2 X + 2
3) Exercice
Calculer le reste de la division de P = X 10 par X - 1 puis X 2 - 3 X + 2 puis HX - 1L2 puis X 2 + 1.
4) Divisibilité
Soient A et B deux polynômes non nuls de K@XD. Alors:
A est divisible par B dans K@XD ñ $ Q œ K@XD ê A = B Q
ñ le reste de la division euclidienne de A par B est nul
On dit alors aussi, comme pour les entiers, que A divise B .
Par exemple, X 2 + 1 divise X 6 + 1 car :
III) Fonction polynôme
1) Définition
La fonction polynôme associée au polynôme P de K@XD est la fonction, notée encore par abus P, est la fonction P : K ö K .
xØ PHxL
Par exemple, si P = X 2 - X + 3, la fonction polynôme P associée est P : ö avec P HxL = x2 - x + 3
ATTENTION: un polynôme n’est pas une fonction polynôme.
Dans la suite, on notera des “grands X ” pour les polynômes et des “petits x” pour les fonctions polynômes .
2) Racine d’un polynôme
a œ K est une racine du polynôme P œ K@XD ñ P HaL = 0 .
Par exemple, -1 est une racine de X 5 + 1 (dans ou ) et 1 + i est une racine de X 2 - 2 X + 2 dans .
3) Divisibilité par X-a
Soient a œ K et P œ K@XD. Alors: X - a divise PHXL dans K@XD ñ PHaL = 0
4) Généralisation et conséquences
a) Théorème
Soient a1 , ..., an œ K tous distincts. Alors:
HX - a1 L ... HX - an L divise P HXL dans K@XD ñ PHa1 L = PHa2 L =. .. = PHan L = 0 ñ a1 , a2 , ..., an sont des racines de P HXL
b) Degré et nombre de racines
Un polynôme de degré n œ de K@XD admet au plus n racines distinctes dans K . Seul le polynôme nul a une infinité de racines.
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c) Exercice
Prouver que les seuls polynômes P œ @XD qui vérifient P HX + 1L = P HXL sont les polynômes constants
5) Ordre de multiplicité d’une racine
Soient a œ K et P un polynôme non nul de K@XD. Alors:
• L’ordre de multiplicité de a comme racine de P HXL est le plus grand entier naturel n tel que HX - aLn divise P HXL.
Ou encore:
• a est une racine d’ordre n de P HXL ñ
HX - aLn divise P HXL
HX - aLn+1 ne divise pas P HXL
.
• a est une racine d’ordre 0 de P HXL ñ a n’est pas une racine de P HXL ñ PHaL ∫ 0 .
• Une racine simple d’un polynôme est une racine d’ordre 1, une racine double est une racine d’ordre 2.
Trouver les racines et leur ordre dans puis pour le polynôme PHXL = 3 X 4 HX + 2L2 IX 2 + 1M.
IV) Factorisation des polynômes dans [X] ou [X]
1) Exercice
Factoriser P = X n - 1 dans @XD puis Q = X 4 + 1 et R = X 5 - 1 dans @XD .
2) Polynôme irréductible
C’est la version polynôme d’un nombre premier pour les entiers
a) Remarque
Dans la factorisation d’un polynôme, les constantes peuvent se “promener”.
Par exemple, P = X 2 - 1 = HX - 1L HX + 1L, mais aussi P = @2 HX - 1LDB HX + 1LF = H2 X - 2L J X + N .
1
2
1
2
1
2
C’est pour cela que certaines des définitions suivantes sont “à une constante multiplicative non nulle près”.
b) Polynôme irréductible
Soit PHXL un polynôme de K@XD de degré r 1. Alors:
• PHXL est un polynôme irréductible de K@XD ñ les seuls diviseurs de P HXL dans K@XD sont les l et les l PHXL avec l œ K .
Ou encore:
• P est un polynôme irréductible de K@XD ñ les seuls diviseurs de P sont 1 et P à une constante multiplicative non nulle près
Un polynôme de @XD irréductible dans @XD peut ne pas être irréductible dans @XD.
P = X 2 + 1 est irréductible dans @XD mais pas dans @XD (P = HX - iL HX + iL )
c) Polynôme non irréductible
Soit P œ K@XD, avec deg HPL r 1. Alors:
P n’est pas irréductible dans K@XD ñ $ Q œ K@XD avec 1 b deg HQL < deg HPL tel que Q divise P
P n’est pas irréductible dans K@XD ñ $ Q, R œ K@XD de degrés r 1 tels que P = Q äR
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d) Cas des polynômes de degré 1 et 2
Les polynômes de degré 1 de K@XD sont irréductibles.
Les polynômes de degré 2 irréductibles de K@XD sont les polynômes de degré 2 n’ayant pas de racine dans K .
e) Exercice
Soit P HXL un polynôme de degré r 2 de K@XD. Alors:
Prouver que P HXL a une racine dans K fl P HXL n’est pas irréductible dans K@XD mais que la réciproque est fausse.
3) Factorisation en produit de polynômes irréductibles
Tout polynôme P de degré r 1 de K@XD s’écrit de manière unique, à des constantes multiplicatives non nulles près:
(1) : P HXL = P1 HXLn1 P2 HXLn2 ... Pk HXLnk avec Pi HXL des polynômes irréductibles de K@XD tous distincts et ni œ * .
L’égalité (1) s’appelle la factorisation de P HXL en produit de polynômes irréductibles.
4) Comparaison avec la factorisation des nombres entiers
Le théorème précédent est, pour les polynômes, le théorème analogue à celui de la factorisation (unique) d’un entier n r 2 en
produit de nombre premiers. Mais, en pratique, il y a une différence importante:
• dans on sait trouver (algorithme) la factorisation de n’importe quel nombre entier (pas trop grand quand même...) , alors
qu’on ne connait pas tous les nombres premiers
• dans K@XD, on ne sait factoriser qu’une petite partie des polynômes, alors qu’on connait tous les polynômes irréductibles.
5) Factorisation dans [X]
a) Théorème de d’Alembert - Gauss
Jean Le Rond d’Alembert (1717 - 1783) est un mathématicien, philosophe et encyclopédiste français.
Tout polynôme de degré r 1 de @XD admet au moins une racine dans .
b) Polynômes irréductibles de [X]
Les polynômes irréductibles de @XD sont les polynômes de degré 1 .
c) Factorisation dans [X]
Tout polynôme P HXL de @XD de degré r 1 se factorise de façon unique sous la forme:
ai œ et distincts
.
PHXL = lHX - a1 Ln1. .. IX - ak Mnk avec
ni œ * et l œ *
Les racines de P HXL sont alors les ai avec les ordres (de multiplicité ) ni .
6) Factorisation dans [X]
a) Polynômes irréductibles de [X]
Les polynômes irréductibles de @XD sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 à D < 0
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b) Factorisation dans [X]
Tout polynôme P HXL de @XD de degré r 1 se factorise de façon unique sous la forme:
ai et Hbi , ci L des réels et couples distincts
P(X) = l HX - a1 Ln1. .. IX - ak Mnk IX 2 + b1 X + c1 Mm1 ... IX 2 + bq X + cq Mmq avec
Les racines de P HXL sont alors les ai avec les ordres (de multiplicité) ni .
X 2 + bi X + ci irréductible HD < 0L
ni , mi œ * et l œ *
7) Exercices
a) En utilisant les égalités remarquables, factoriser dans @XD les polynômes X n - 1 et X n + 1 pour n œ 82, 3, 4, 6, 8< .
b) Factoriser dans @XD le polynôme P = X 5 + 1 .
V) Relations entre coefficients et racines d'un polynôme
1) Polynôme scindé
Un polynôme de degré r 1 de K@XD est scindé sur K lorsqu’il peut s’écrire comme produit de polynômes de degré 1.
PHXL œ K@XD est scindé sur K ñ P HXL peut s’écrire P HXL = l HX - a1 L ... HX - an L avec n œ * , l œ K * , ai œ K
Les ai (pas forcément distincts) sont alors les racines de P HXL .
Par exemple, P HXL = X 2 H2 X + 1L3 est scindé et P HXL = 8 HX - 0L2 JX - J- NN avec l’écriture ci-dessus.
1 3
2
Tout polynôme de @XD ou de @XD est scindé sur .
2) Relations entre coefficients et racines pour un polynôme de degré 2
Soient a, b, a, b, c œ K (avec a ∫ 0). Alors:
a et b sont les racines du polynôme P HXL = a X 2 + b X + c ñ
Soient a, b, S, P œ K . Alors ;
-b
a
c .
ab =
a
a+ b =
a+b = S
ñ a et b sont les solutions de l’équation x2 - S x + P = 0.
a äb = P
Par exemple, calculer a et b sachant que ;
a+b = 1
.
a äb = -1
3) Somme et produit des racines d’un polynôme scindé quelconque
n
n
Soient a1 , ... an les racines du polynôme scindé P HXL = S ak X k de degré n Han ∫ 0L. Alors
k=0
a
S = S ak = - n-1
k=1
n
a
P = P ak = H-1Ln 0
k=1
2ikp
n-1
n-1
n-1
k=0
k=0
k=1
Soit n œ * . On pose zk = e n . Calculer S = S zk , P = P zk et Q = P I1 - zk M
an
an
.
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VII) Dérivation. Formules de Taylor
1) Polynôme dérivé
Soit P = a0 + a1 X + ... + an X n œ K@XD . On pose P' HXL = a1 + 2 a2 X + ... + n an X n-1 . P ' est le polynôme dérivé de P .
2) Dérivée d’ordre n
Pour P œ K@XD et n œ * , on pose, comme en analyse:
PH0L = P , PH1L = P' , PH2L = P '' = HP 'L' , ..., PHnL = IPHn-1L M'. On dit que PHnL est le polynôme dérivé d'ordre n de P .
Pour k, n œ , Calculer HX n LHkL .
3) Propriétés
" n œ * , " a, b œ K, " P, Q œ K@XD,
(1) Ha P + b QLHnL = a PHnL + b QHnL .
(2) " P, Q œ K@XD, HPä QL' = P' Q + PQ ' et HQë PL' = Q' ëPä P' .
4) Formules de Taylor
Brook Taylor (1685 - 1731) mathématicien anglais .
P HX + aL =
Soient P œ K@XD et a œ K . Alors
deg P PHkL HaL
S
X k : H1L
k!
k=0
deg P PHkL HaL
PHXL = S
HX - aLk : H2L
k!
k=0
. Ces deux formules sont les formules de Taylor.
5) Théorème de caractérisation de l’ordre de multiplicité d’une racine d’un polynôme
Soient a œ K, n œ * , P œ K@XD. Alors montrer que:
a est une racine d’ordre n de P fl a est une racine d’ordre n - 1 de P' .
Soient a œ K, n œ , P œ K@XD. Alors:
a est une racine d’ordre n de P ñ P HaL = P ' HaL =. .. = PHn-1L HaL = 0 et PHnL HaL ∫ 0
Par exemple:
• a est une racine simple de P HXL ñ PHaL = 0 et P' HaL ∫ 0
• a est une racine d’ordre r 2 de P HXL ñ PHaL = P ' HaL = 0
6) Exercices
a) Soit n œ . Prouver que HX - 1L3 divise le polynôme P HXL = n X n+2 - Hn + 2L X n+1 + Hn + 2L X - n .
b) Soit P =
1
I-3 X 5 + 10 X 3 - 15 XM + 1. Prouver que HX - 1L3 divise P HXL + 3 et que HX + 1L3 divise P HXL - 5 .
2