Arithmetique 1

Universit´e Joseph Fourier, Grenoble.
L2 MAT235.
Probl`emes d’arithm´etique 1
Probl`eme 1 Dans cette question on supposera que nest un entier positif
sup´erieur o`u ´egal `a 2.
a. V´erifier les formules suivantes :
Ck
n=Ck−1
n−1+Ck
n−1k∈ {1,...,n−1}(1)
Ck
n=n
kCk−1
n−1k∈ {1,...,n}.(2)
b. Montrer que, si nest premier, alors n|Ck
npour k∈ {1,...,n−1}.
(Indication : On pourra utiliser la formule (2).)
A pr´esent nous allons consid´erer la r´eciproque de ce qu’on vient de montrer.
c. Supposons que n|Ck
npour k∈ {1,...,n−1}.
- En employant une r´ecurrence sur k, ´etablir la relation
Ck
n−1≡(−1)k(mod n)k∈ {0,...,n−1}
et en d´eduire que Ck
n−1et nsont premiers entre eux.
(Indication : On pourra utiliser la formule (1).)
- Montrer que, si d∈ {1,...,n−1}et d|n, alors n|n
d. En d´eduire que d= 1 et
donc que nest premier.
(Indication : On pourra utiliser la formule (2).)
Probl`eme 2 Le but de cet exercice est de d´eterminer la classe de congruence
modulo qde (q−1)!, pour q≥2.
a. Pour q= 2,3,4 trouver r∈ {0,...,q−1}tel que
(q−1)! ≡r(mod q).
b. Soient q≥5 un nombre premier. Montrer que, pour chaque ´el´ement r∈
{1,...,q −1}, il existe un unique s∈ {1,...,q −1}tel que rs ≡1(mod q).
Trouver les valeurs rpour lesquelles r=set en d´eduire que
(q−1)! ≡ −1(mod q).
c. Soit q≥5 un nombre non premier. Montrer que
(q−1)! ≡0(mod q).
(Indication : q=rs avec 1 < r ≤s < q.)
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d. (Application) Soit qun nombre premier tel que q≡1(mod 4). Montrer que
la congruence
x2≡ −1(mod q)
admet une solution.
(Indication : Si q= 4n+ 1, alors 4n−k≡ −(k+ 1)(mod q), pour k∈
{0,1,...,2n−1}.)
Probl`eme 3 Soit m∈N,m≥2. On dit que l’ensemble E={a1,...,am}est
un ensemble complet de repr´esentants de Zmsi chaque ´el´ement de Eappartient
`a une seule classe de congruence de Zm.
a. D´eterminer si les ensembles suivants sont des ensembles complets de repr´esentants
de Z7:
E1={1,4,9,16,25,36,49}E2={1,3,9,14,27,81,243}.
b. Trouver un nombre b∈Z∗tel que E={0, b, b2,...,b6}est un ensemble
complet de repr´esentants de Z7.
c. Supposons que E={a1,...,am}est un ensemble complet de repr´esentants
de Zmet que b∈Z∗. Posons
E+={a1+b,...,am+b}E×={a1b, . . . , amb}
Montrer que E+est toujours un ensemble complet de repr´esentants de Zm,
mais que E×est un ensemble complet de repr´esentants de Zmsi et seulement
si b∧m= 1.
Probl`eme 4 Nous disons qu’un nombre premier pest sˆur s’il existe un autre
nombre premier qtel que p= 2q+ 1. Le but principal de cet exercice est
d’´etudier une condition n´ecessaire pour qu’un nombre premier soit sˆur.
a. On consid`ere le syst`eme (S)
x≡a(mod 3)
x≡b(mod 4)
x≡c(mod 5).
Trouver des couples (λi, µi), i= 1,2,3, tels que
3λ1+ 20µ1= 1 4λ2+ 15µ2= 1 5λ3+ 12µ3= 1,
puis d´eterminer les solutions du syst`eme (S).
b. D´eterminer les nombres premiers inf´erieurs `a 20 qui sont des premiers sˆurs.
c. D´emontrer que, si pest un nombre premier sˆur et p > 20, alors
p≡2 (mod 3)
p≡3 (mod 4)
p≡2,3 ou 4 (mod 5).
En employant la partie a.trouver tous les nombres premiers sˆurs entre 21 et 119.
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