Arithmetique 1

Université Joseph Fourier, Grenoble.
L2 MAT235.
Problèmes d’arithmétique 1
Problème 1 Dans cette question on supposera que n est un entier positif
supérieur où égal à 2.
a. Vérifier les formules suivantes :
Cnk
=
Cnk
=
k−1
k
Cn−1
+ Cn−1
n k−1
C
k n−1
k ∈ {1, . . . , n − 1}
(1)
k ∈ {1, . . . , n}.
(2)
b. Montrer que, si n est premier, alors n|Cnk pour k ∈ {1, . . . , n − 1}.
(Indication : On pourra utiliser la formule (2).)
A présent nous allons considérer la réciproque de ce qu’on vient de montrer.
c. Supposons que n|Cnk pour k ∈ {1, . . . , n − 1}.
- En employant une récurrence sur k, établir la relation
k
Cn−1
≡ (−1)k (mod n)
k ∈ {0, . . . , n − 1}
k
et en déduire que Cn−1
et n sont premiers entre eux.
(Indication : On pourra utiliser la formule (1).)
- Montrer que, si d ∈ {1, . . . , n − 1} et d|n, alors n| nd . En déduire que d = 1 et
donc que n est premier.
(Indication : On pourra utiliser la formule (2).)
Problème 2 Le but de cet exercice est de déterminer la classe de congruence
modulo q de (q − 1)!, pour q ≥ 2.
a. Pour q = 2, 3, 4 trouver r ∈ {0, . . . , q − 1} tel que
(q − 1)! ≡ r(mod q).
b. Soient q ≥ 5 un nombre premier. Montrer que, pour chaque élément r ∈
{1, . . . , q − 1}, il existe un unique s ∈ {1, . . . , q − 1} tel que rs ≡ 1(mod q).
Trouver les valeurs r pour lesquelles r = s et en déduire que
(q − 1)! ≡ −1(mod q).
c. Soit q ≥ 5 un nombre non premier. Montrer que
(q − 1)! ≡ 0(mod q).
(Indication : q = rs avec 1 < r ≤ s < q.)
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d. (Application) Soit q un nombre premier tel que q ≡ 1(mod 4). Montrer que
la congruence
x2 ≡ −1(mod q)
admet une solution.
(Indication : Si q = 4n + 1, alors 4n − k ≡ −(k + 1)(mod q), pour k ∈
{0, 1, . . . , 2n − 1}.)
Problème 3 Soit m ∈ N, m ≥ 2. On dit que l’ensemble E = {a1 , . . . , am } est
un ensemble complet de représentants de Zm si chaque élément de E appartient
à une seule classe de congruence de Zm .
a. Déterminer si les ensembles suivants sont des ensembles complets de représentants
de Z7 :
E1 = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49}
E2 = {1, 3, 9, 14, 27, 81, 243}.
b. Trouver un nombre b ∈ Z tel que E = {0, b, b2, . . . , b6 } est un ensemble
complet de représentants de Z7 .
c. Supposons que E = {a1 , . . . , am } est un ensemble complet de représentants
de Zm et que b ∈ Z∗ . Posons
∗
E+ = {a1 + b, . . . , am + b}
E× = {a1 b, . . . , am b}
Montrer que E+ est toujours un ensemble complet de représentants de Zm ,
mais que E× est un ensemble complet de représentants de Zm si et seulement
si b ∧ m = 1.
Problème 4 Nous disons qu’un nombre premier p est sûr s’il existe un autre
nombre premier q tel que p = 2q + 1. Le but principal de cet exercice est
d’étudier une condition nécessaire pour qu’un nombre premier soit sûr.
a. On considère le système (S)
x ≡
a (mod 3)
x ≡
x ≡
b (mod 4)
c (mod 5).
Trouver des couples (λi , µi ), i = 1, 2, 3, tels que
3λ1 + 20µ1 = 1
4λ2 + 15µ2 = 1
5λ3 + 12µ3 = 1,
puis déterminer les solutions du système (S).
b. Déterminer les nombres premiers inférieurs à 20 qui sont des premiers sûrs.
c. Démontrer que, si p est un nombre premier sûr et p > 20, alors
p
p
≡ 2 (mod 3)
≡ 3 (mod 4)
p
≡ 2, 3 ou 4 (mod 5).
En employant la partie a. trouver tous les nombres premiers sûrs entre 21 et 119.
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