Ch VIII RACINES CARREES 1. Définition. Symbole. Nombre irrationnel A) Carré et racine carrée ( )2 1 2 3 4 5 6 1 4 9 16 25 36 Soit a un nombre POSITIF. Le nombre noté Le symbole est le nombre positif dont le carré redonne a. a s’appelle le radical. L'opération "carré" et l'opération "racine carrée" sont des opérations contraires. B) 0 =0 ; 1,44 = 1,2 ; 1 =1 4 9 = ; 2 3 ; 9 =3 4 9 = ; 2 (−8) n’existe pas ; 9 2 7 3 La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas. C) A retenir 2 2 ⎛ 2⎞ = 2 ⎝ ⎠ 32 = 3 2 2 ⎛ 7⎞ = 7 ⎝ ⎠ ⎛ 1, 8 ⎞ = 1,8 ⎝ ⎠ ⎛ a⎞ = a ⎝ ⎠ 102 = 10 4, 62 = 4,6 a2 = a D) L'escargot de Pythagore A3 Théorème de Pythagore dans chacun des triangles : • OA1 = 1 • • • 1 A5 1 A6 1 A1 3 1 1 A7 O (OA4)2 = 12 + ( 3 )2 = 1 + 3 = 4 donc : OA4 = • 1 2 (OA3)2 = 12 + ( 2 )2 = 1 + 2 = 3 donc : OA3 = A4 A2 (OA2)2 = 12 + 12 = 1 + 1 = 2 donc : OA2 = 1 (a étant positif) 4 1 ( ou 2 ) A8 (OA5)2 = 12 + ( 4 )2 = 1 + 4 = 5 donc : OA5 = 5 En mesurant , on trouve : 2 ≈ 1,4 / 3 ≈ 1,7 / 4 =2/ 5 ≈ 2,2 1 A9 2. Equation x2 = a x2 = −14 pas de solution x2 = 0 x=0 x2 = 9 x = 3 ou x = - 3 S= 0 S = −3 ; 3 {} { x2 = 7 7 ou x = - 7 ⎧ ⎫ S = ⎨− 7 ; 7 ⎬ ⎩ ⎭ x= } Je retiens: {} S ={ 0 } si a < 0 alors S = x2 = a si a = 0 alors ⎧ ⎫ si a > 0 alors S = ⎨− a ; a ⎬ ⎩ ⎭ 2. Multiplier des racines carrées A) Activité 2× 3 = 1 6 donc 6 × 10 =1 60 donc B) Démontrons que — Soit N = 2× 3 = 6 6 × 10 = 2× 3 = 60 6 – 2 =1 3 donc 6 = 3 2 44 – 11 = 1 4 donc 44 = 4 11 6 2 × 3 . N est le produit de 2 nbres positifs donc N est positif 2 — Calculons N N2 = ⎛ 2 × 3 ⎞ ⎝ 2 ⎠ N2 = ⎛ 2 × 3 ⎞ × ⎛ 2 × 3 ⎞ ⎝ ⎠ N2 = 2× 2 N2 = 2 N2 = 6 donc N = Finalement ⎝ x ⎠ 3× 3 x 3 ( avec N positif ) 6 2× 3 = 2x3 B) Formule si a et b sont positifs alors a× b = ab C) Exemples • 2 × 18 = • 5× 2 = • 3 2 ×5 7 = 3 x 5 x 10 = 6 = 15 x = 15 = – 12 x 2 = – 24 =3x3x =9x6 = 54 ⎛ ⎞2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ • −4 6 ⎟ = ⎜−4 6 ⎟ × ⎜−4 6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) = −4 × −4 × 6 × 6 = 16 x 6 = 96 5. Diviser deux racines carrées — Soit N = 6 = 2 3 6 . ( N est le quotient de 2 nbres positifs donc N est positif ) 2 2 — Calculons N : 2 N ⎛ 6⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ 2 ⎛ 6⎞ ⎛ 6⎞ N2 = ⎜ ⎟ ×⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ! N2 = ! N2 = 6× 6 2× 2 6 2 N2 = 3 donc B) Formule : N = 3! 14 14 ⎛ ⎞2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ • ⎜3 6 ⎟ = ⎜3 6 ⎟ × ⎜3 6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ • −4 2 × 3 2 = −4 × 3 × 2 × 2 A) Démontrons que 2x soit 6 = 2 si a et b sont positifs et b≠0 3 alors a b = a b 6 x 6 7 18 C) Exemples 2 ! 18 = 2 100 ! 5 9! = = 100 5 = 20 =3 = 4× 5 = 2 5 4. Simplifier une racine carrée A) Exemple 18 = 9×2 9× 2 ! = ! = 3 2 On a simplifié 18 ( sous le radical, le nombre est plus petit qu'au départ) B) Procédé 50 = ! =5 25 × 2 ! 2! 50 = 10 × 5 = ?! ! ! Remplacer 50 par 25 x 2 est intéressant à cause de 25 qui est le carré de 5. Il faut connaître la liste des carrés des premiers entiers soit : 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64 ; 81 ; 100 ; 121 ; 144 ; 169 ; 196 ; 225 . . . C) Remarque : on peut aussi faire 50 = 10 × 5 ! = 2× 5× 5 ! = 2 ×5 ! = 5 2 mais c’est plus long ! 6. Additionner ou soustraire des racines carrées A) Exemple ? 9 + 16 = 9 + 16 9 + 16 =? 25 ? 3+4 =5 faux ATTENTION : a + b ≠ a+b de même a − b ≠ a −b B) Comment calculer des sommes où il y a des nombres irrationnels ? A = 3 2 +5 2 −2 2 = 2 x(3+5–2) = 2 x6 B = 7 3 +2 5 C = 7 3 + 2 75 B ne se réduit pas de la même façon que 7x + 2y = 6 2 = 7 3 + 2 × 25 × 3 = 7 3 + 2 ×5 × 3 = 7 3 + 10 3 A se réduit de la même façon que 3x + 5x – 2x = 17 3 7. Quotients avec dénominateur irrationnel Soit A = 3 5 . Le dénominateur de A est irrationnel Les mathématiciens savent depuis fort longtemps, qu’il n’est pas commode de faire des calculs avec des nombres irrationnels aux dénominateurs de quotients. Ils ont trouvé des astuces pour rendre le dénominateur rationnel. A) Exemples A= = = = 3 B= 5 3× 5 5× 5 = 3 5 = 5 3 5 5 = 15 2 3 15 × 3 2 3× 3 15 3 6 5 3 2 niveau 2nde : C= 5 D= 2 +1 ⎛ ⎞ 5 × ⎜ 2 − 1⎟ ⎝ ⎠ = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ 2 + 1⎟ × ⎜ 2 − 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = = niveau 2nde : ⎛ ⎞ 5 × ⎜ 2 − 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞2 2 ⎜ 2⎟ − 1 ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 5 × ⎜ 2 − 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞2 2 ⎜ 2⎟ − 1 ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 5 × ⎜ 2 − 1⎟ ⎝ ⎠ = 2 −1 ⎛ ⎞ = 5 ⎜ 2 − 1⎟ ⎝ ⎠ −2 2 5 −4 ⎛ ⎞ −2 × ⎜2 5 + 4 ⎟ ⎝ ⎠ = ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜2 5 − 4 ⎟ ⎜2 5 + 4 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = ⎛ ⎞ −2 × ⎜2 5 + 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞2 ⎜2 5 ⎟ − 42 ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ −2 × ⎜2 5 + 4 ⎟ ⎝ ⎠ = 20 − 16 ⎛ ⎞ −2 × ⎜2 5 + 4 ⎟ ⎝ ⎠ = 4 ⎞ 1⎛ = − ⎜2 5 + 4 ⎟ ⎠ 2⎝ = − 5 −4 B) Définition ⎛ ⎞ ⎛ ⎜ 2 − 1⎟ et ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ ⎞ ⎜2 5 + 4 ⎟ et ⎝ ⎠ ⎞ 2 + 1⎟ sont appelées des expressions conjuguées. ⎠ ⎛ ⎞ ⎜2 5 − 4 ⎟ sont des expressions conjuguées ⎝ ⎠