08. Racines carrées 3èA

A 1
A 2
A 3
A 4
A 5
A 6
A 7
A 8
A 9
O
1
1
1
1 1
1
1
1
1
Ch VIII RACINES CARREES
1. Définition. Symbole. Nombre irrationnel
A) Carré et racine carrée
Soit a un nombre POSITIF.
Le nombre noté
a
est le nombre positif dont le carré redonne a.
Le symbole s’appelle le radical.
L'opération "carré" et l'opération "racine carrée" sont des opérations contraires.
B)
0=0
;
1=1
;
9=3
;
(−8)
n’existe pas
1,44 =1,2
;
4
9
=
2
3
;
4
9
=
2
9
; 2
7
3
La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas.
C) A retenir
2
⎛
⎝⎞ ⎠
2
= 2
7
⎛
⎝⎞ ⎠
2
= 7
1, 8
⎛
⎝⎞ ⎠
2
= 1,8
a
⎛
⎝⎞ ⎠
2
= a (a étant positif)
32
= 3
102
= 10
4, 62
= 4,6
a2
= a
D) L'escargot de Pythagore
Théorème de Pythagore dans chacun des triangles :
• OA1 = 1
• (OA2)2 = 12 + 12 = 1 + 1 = 2 donc :
OA2 =
2
• (OA3)2 = 12 + (
2
)2 = 1 + 2 = 3 donc :
OA3 =
3
• (OA4)2 = 12 + (
3
)2 = 1 + 3 = 4 donc :
OA4 =
4
( ou 2 )
• (OA5)2 = 12 + (
4
)2 = 1 + 4 = 5 donc :
OA5 =
5
En mesurant , on trouve :
2
≈ 1,4 /
3
≈ 1,7 /
4
= 2 /
5
≈ 2,2
( )2
1
2
3
4
5
6
( )2
1
4
9
16
25
36

2. Equation x2 = a
x2=−14
pas de solution
x2=0
x = 0
S=0
{ }
x2=9
x = 3 ou x = - 3
S=−3 ; 3
{ }
x2=7
x =
7
ou x = -
7
S=−7 ; 7
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
Je retiens:
si a < 0 alors
S=
{ }
x2=a
si a = 0 alors
S=0
{ }
si a > 0 alors
S=−a ; a
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
2. Multiplier des racines carrées
A) Activité
2×3
6
= 1 donc
2×3
=
6
6
3
– 2
= 1 donc
6
3
=
2
6×10
60
= 1 donc
6×10
=
60
44
4
– 11
= 1 donc
44
4
=
11
B) Démontrons que
2×3
=
6
— Soit N =
2×3
. N est le produit de 2 nbres positifs donc N est positif
— Calculons
N2
N2
=
2×3
⎛
⎝⎞ ⎠
2
N2
=
2×3
⎛
⎝⎞ ⎠×2×3
⎛
⎝⎞ ⎠
N2
=
2×2
x
3×3
N2
= 2 x 3
N2
= 6 ( avec N positif )
donc N =
6
Finalement
2×3
=
2 x 3
B) Formule
si a et b sont positifs alors
a×b
=
ab

C) Exemples
•
2×18
= •
5×2
=
10
•
3 2 ×5 7
= 3 x 5 x
2
x
7
= 6 = 15 x
14
= 15
14
•
−4 2 ×3 2
=
−4×3×2×2
•
3 6
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
2
=
3 6
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟ ×3 6
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
= – 12 x 2 = 3 x 3 x
6
x
6
= – 24 = 9 x 6
= 54
•
−4 6
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
2
=
−4 6
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟ × −4 6
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
=
−4× −4
( )
×6×6
= 16 x 6
= 96
5. Diviser deux racines carrées
A) Démontrons que
6
2
=
3
— Soit N =
6
2
. ( N est le quotient de 2 nbres positifs donc N est positif )
— Calculons
N2
:
N2 =
6
2
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
2
N2 =
6
2
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟×6
2
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
! N2 =
6×6
2×2
! N2 =
6
2
N2 = 3
donc N =
3
!soit
6
2
=
3
B) Formule : si a et b sont positifs et b≠0 alors
a
b
=
a
b

C) Exemples
18
2
=
18
2
!
100
5
=
100
5
!=
9
!=
20
= 3 =
4×5
=
2 5
4. Simplifier une racine carrée
A) Exemple
18
=
9×2
!=
9×2
!=
3 2
On a simplifié
18
( sous le radical, le nombre est plus petit qu'au départ)
B) Procédé
50
=
25 ×2
!
50
=
10 ×5
! = 5
2
! = ?! ! !
Remplacer 50 par 25 x 2 est intéressant à cause de 25 qui est le carré de 5.
Il faut connaître la liste des carrés des premiers entiers soit :
4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64 ; 81 ; 100 ; 121 ; 144 ; 169 ; 196 ; 225 . . .
C) Remarque : on peut aussi faire
50
=
10 ×5
! =
2×5×5
!=
2×5
!=
5 2
mais c’est plus long !

6. Additionner ou soustraire des racines carrées
A) Exemple
9+16 =9+16
9+16 =25
3+4=5
faux
ATTENTION :
a+b≠a+b
de même
a−b≠a−b
B) Comment calculer des sommes où il y a des nombres irrationnels ?
A =
3 2 +5 2 −2 2
=
2
x ( 3 + 5 – 2 )
=
2
x 6
=
6 2
A se réduit de la même
façon que 3x + 5x – 2x
B =
7 3 +2 5
B ne se réduit pas de la même
façon que 7x + 2y
C =
7 3 +275
=
7 3 +2×25 ×3
=
7 3 +2×5×3
=
7 3 +10 3
=
17 3
7. Quotients avec dénominateur irrationnel
Soit A =
3
5
. Le dénominateur de A est irrationnel
Les mathématiciens savent depuis fort longtemps, qu’il n’est pas commode de faire des calculs
avec des nombres irrationnels aux dénominateurs de quotients.
Ils ont trouvé des astuces pour rendre le dénominateur rationnel.
A) Exemples
A =
3
5
=
3×5
5×5
=
3 5
5
=
3
5
5
B =
15
2 3
=
15 ×3
2 3 ×3
=
15 3
6
=
5 3
2
?
?
?