09. Racines carrées - copie

Ch IX
RACINES CARREES
1. Définition. Symbole. Nombre irrationnel
A) Carré et racine carrée
(
)2
1
2
3
4
5
6
1
4
9
16
25
36
Le nombre noté
Le symbole
est le nombre positif dont le carré redonne a.
a
s’appelle le radical.
L'opération "carré" et l'opération "racine carrée" sont des opérations contraires.
B)
0 =0
1 =1
;
4
1,44 = 1,2 ;
9
=
;
2
3
;
9 =3
4
9
=
;
2
(−8) n’existe pas
;
9
2
7
3
La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas.
C) Je retiens
2
2
⎛ 2⎞ = 2
⎝ ⎠
32 = 3
2
2
⎛ 7⎞ = 7
⎝
⎠
⎛ 1, 8 ⎞ = 1,8
⎝
⎠
⎛ a⎞ = a
⎝ ⎠
102 = 10
4, 62 = 4,6
a2 = a
D) L'escargot de Pythagore
Théorème de Pythagore dans chacun des triangles :
•
OA1 = 1
•
•
•
3
4
A5
1
1
A1
(OA4)2 = 12 + ( 3 )2 = 1 + 3 = 4 donc :
OA4 =
1
A6
2
(OA3) = 1 + ( 2 ) = 1 + 2 = 3 donc :
OA3 =
•
2
A4
A2
2
2
1
1
(OA2)2 = 12 + 12 = 1 + 1 = 2 donc :
OA2 =
A3
(a étant positif)
1
1
A7
O
( ou 2 )
1
(OA5)2 = 12 + ( 4 )2 = 1 + 4 = 5 donc :
OA5 =
5
En mesurant , on trouve :
A8
2 ≈ 1,4 /
3 ≈ 1,7 /
4 =2/
5 ≈ 2,2
1
A9
2. Equation x2 = a
x2 = −14
pas de solution
x2 = 0
x=0
x2 = 9
x = 3 ou x = - 3
S= 0
S = −3 ; 3
{}
{
}
{}
S ={ 0 }
si a < 0 alors S =
x2 = a
Je retiens
si a = 0 alors
⎧
⎫
si a > 0 alors S = ⎨− a ; a ⎬
⎩
⎭
3. Multiplier des racines carrées
A) Avec la calculatrice
2× 3
= 1
6
donc
B) Démontrons que
— Soit N =
2× 3 =
2× 3 =
6
6 ( pour ceux qui sont intéressés )
2 × 3 . N est un nombre positif.
2
— Calculons N
N2 = ⎛ 2 × 3 ⎞
⎝
2
⎠
N2 = ⎛ 2 × 3 ⎞ × ⎛ 2 × 3 ⎞
⎝
⎠
N2 =
2× 2
N2 =
2
N2 = 6
N =
Finalement
Je retiens
⎝
x
⎠
3× 3
x
3
N est positif donc :
6
2× 3 =
2x3
si a et b sont positifs
alors
a× b =
ab
x2 = 7
7 ou x = - 7
⎧
⎫
S = ⎨− 7 ; 7 ⎬
⎩
⎭
x=
C) Calculs
•
2 × 18 =
36
• 5× 2 =
• 3 2 ×5 7 = 3 x 5 x
10
= 6
= 15 x
= 15
⎛
⎞2 ⎛
⎞ ⎛
⎞
• ⎜3 6 ⎟ = ⎜3 6 ⎟ × ⎜3 6 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠ ⎝
⎠
=3x3x
6 x
2x
7
14
14
⎛
⎞2 ⎛
⎞ ⎛
⎞
• ⎜−4 6 ⎟ = ⎜−4 6 ⎟ × ⎜−4 6 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠ ⎝
⎠
( )
6
= −4 × −4 × 6 × 6
=9x6
= 16 x 6
= 54
= 96
4. Diviser deux racines carrées
A) Avec la calculatrice
6
–
2
3 =0
6
=
2
donc
B) Démontrons que
6
=
2
3
3 ( pour ceux qui sont intéressés )
D' après précédemment, on a :
donc
Je retiens
6 =
2× 3
6
=
2
3
a
si a et b sont positifs (b≠0) alors
C) Exemples
18
2
=
=
18
2
100
!
5
9
b
=
=
=
a
b
100
5
20
=3
5. Simplifier une racine carrée
A) Exemple
18 =
!
=
On a simplifié
18
=
9×2
9× 2
3 2
(sous le radical, le nombre est plus petit qu'au départ)
B) Je retiens le procédé
50 =
!
=5
25 × 2 !
50 =
2!
10 × 5
= ?!
A gauche, on peut simplifier grâce à
!
!
25 = 5. Il faut utiliser les carrés des nombres entiers :
4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64 ; 81 ; 100 ; 121 ; 144 ; 169 ; 196 ; 225 . . .
C) Remarque : on peut aussi faire
50 = 10 × 5
!
=
2× 5× 5
!
=
2 ×5
!
= 5 2
mais c’est plus long !
6. Additionner ou soustraire des racines carrées
A) Contre -exemple
9 + 16 ≠ 25
3 + 4 ≠
ATTENTION :
a + b ≠ a+b
et
a − b ≠ a −b
5
B) Réduire des sommes où il y a des nombres irrationnels
A = 3 2 +5 2 −2 2
=(3+5–2)x
=6x
2
2
B = 7 3 +2 5
B ne se réduit pas comme :
7x + 2y
C = 7 3 + 2 75
= 7 3 + 2 × 25 × 3
= 7 3 + 2 × 5× 3
= 6 2
= 7 3 + 10 3
= 17 3
On réduit comme pour :
3x + 5x – 2x
7. Quotients avec dénominateur irrationnel
A=
=
=
=
3
B=
5
3× 5
=
5× 5
3 5
=
5
3
5
5
=
15
2 3
15 × 3
2 3× 3
15 3
6
5 3
2
Quand il y a une racine carrée au
dénominateur d'un quotient, on
peut la faire disparaître de ce
dénominateur.