08. Racines carrées 3èA

Ch VIII
RACINES CARREES
1. Définition. Symbole. Nombre irrationnel
A) Carré et racine carrée
(
)2
1
2
3
4
5
6
1
4
9
16
25
36
Soit a un nombre POSITIF.
Le nombre noté
Le symbole
est le nombre positif dont le carré redonne a.
a
s’appelle le radical.
L'opération "carré" et l'opération "racine carrée" sont des opérations contraires.
B)
0 =0
;
1,44 = 1,2 ;
1 =1
4
9
=
;
2
3
;
9 =3
4
9
=
;
2
(−8) n’existe pas
;
9
2
7
3
La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas.
C) A retenir
2
2
⎛ 2⎞ = 2
⎝ ⎠
32 = 3
2
2
⎛ 7⎞ = 7
⎝
⎠
⎛ 1, 8 ⎞ = 1,8
⎝
⎠
⎛ a⎞ = a
⎝ ⎠
102 = 10
4, 62 = 4,6
a2 = a
D) L'escargot de Pythagore
A3
Théorème de Pythagore dans chacun des triangles :
•
OA1 = 1
•
•
•
1
A5
1
A6
1
A1
3
1
1
A7
O
(OA4)2 = 12 + ( 3 )2 = 1 + 3 = 4 donc :
OA4 =
•
1
2
(OA3)2 = 12 + ( 2 )2 = 1 + 2 = 3 donc :
OA3 =
A4
A2
(OA2)2 = 12 + 12 = 1 + 1 = 2 donc :
OA2 =
1
(a étant positif)
4
1
( ou 2 )
A8
(OA5)2 = 12 + ( 4 )2 = 1 + 4 = 5 donc :
OA5 =
5
En mesurant , on trouve :
2 ≈ 1,4 /
3 ≈ 1,7 /
4 =2/
5 ≈ 2,2
1
A9
2. Equation x2 = a
x2 = −14
pas de solution
x2 = 0
x=0
x2 = 9
x = 3 ou x = - 3
S= 0
S = −3 ; 3
{}
{
x2 = 7
7 ou x = - 7
⎧
⎫
S = ⎨− 7 ; 7 ⎬
⎩
⎭
x=
}
Je retiens:
{}
S ={ 0 }
si a < 0 alors S =
x2 = a
si a = 0 alors
⎧
⎫
si a > 0 alors S = ⎨− a ; a ⎬
⎩
⎭
2. Multiplier des racines carrées
A) Activité
2× 3
= 1
6
donc
6 × 10
=1
60
donc
B) Démontrons que
— Soit N =
2× 3 =
6
6 × 10 =
2× 3 =
60
6
– 2 =1
3
donc
6
=
3
2
44
– 11 = 1
4
donc
44
=
4
11
6
2 × 3 . N est le produit de 2 nbres positifs donc N est positif
2
— Calculons N
N2 = ⎛ 2 × 3 ⎞
⎝
2
⎠
N2 = ⎛ 2 × 3 ⎞ × ⎛ 2 × 3 ⎞
⎝
⎠
N2 =
2× 2
N2 =
2
N2 = 6
donc
N =
Finalement
⎝
x
⎠
3× 3
x
3
( avec N positif )
6
2× 3 =
2x3
B) Formule
si a et b sont positifs
alors
a× b =
ab
C) Exemples
•
2 × 18 =
• 5× 2 =
• 3 2 ×5 7 = 3 x 5 x
10
= 6
= 15 x
= 15
= – 12 x 2
= – 24
=3x3x
=9x6
= 54
⎛
⎞2 ⎛
⎞ ⎛
⎞
⎜
• −4 6 ⎟ = ⎜−4 6 ⎟ × ⎜−4 6 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠ ⎝
⎠
( )
= −4 × −4 × 6 × 6
= 16 x 6
= 96
5. Diviser deux racines carrées
— Soit N =
6
=
2
3
6
. ( N est le quotient de 2 nbres positifs donc N est positif )
2
2
— Calculons N :
2
N
⎛ 6⎞
= ⎜
⎟
⎝ 2⎠
2
⎛ 6⎞ ⎛ 6⎞
N2 = ⎜
⎟ ×⎜
⎟
⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
!
N2 =
!
N2 =
6× 6
2× 2
6
2
N2 = 3
donc
B) Formule :
N =
3!
14
14
⎛
⎞2 ⎛
⎞ ⎛
⎞
• ⎜3 6 ⎟ = ⎜3 6 ⎟ × ⎜3 6 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠ ⎝
⎠
• −4 2 × 3 2 = −4 × 3 × 2 × 2
A) Démontrons que
2x
soit
6
=
2
si a et b sont positifs et b≠0
3
alors
a
b
=
a
b
6 x
6
7
18
C) Exemples
2
!
18
=
2
100
!
5
9!
=
=
100
5
= 20
=3
=
4× 5
= 2 5
4. Simplifier une racine carrée
A) Exemple
18 =
9×2
9× 2
!
=
!
= 3 2
On a simplifié
18
( sous le radical, le nombre est plus petit qu'au départ)
B) Procédé
50 =
!
=5
25 × 2 !
2!
50 =
10 × 5
= ?!
!
!
Remplacer 50 par 25 x 2 est intéressant à cause de 25 qui est le carré de 5.
Il faut connaître la liste des carrés des premiers entiers soit :
4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64 ; 81 ; 100 ; 121 ; 144 ; 169 ; 196 ; 225 . . .
C) Remarque : on peut aussi faire
50 = 10 × 5
!
=
2× 5× 5
!
=
2 ×5
!
= 5 2
mais c’est plus long !
6. Additionner ou soustraire des racines carrées
A) Exemple
?
9 + 16 = 9 + 16
9 + 16 =? 25
?
3+4 =5
faux
ATTENTION :
a + b ≠ a+b
de même
a − b ≠ a −b
B) Comment calculer des sommes où il y a des nombres irrationnels ?
A = 3 2 +5 2 −2 2
=
2 x(3+5–2)
=
2 x6
B = 7 3 +2 5
C = 7 3 + 2 75
B ne se réduit pas de la même
façon que 7x + 2y
= 6 2
= 7 3 + 2 × 25 × 3
= 7 3 + 2 ×5 × 3
= 7 3 + 10 3
A se réduit de la même
façon que 3x + 5x – 2x
= 17 3
7. Quotients avec dénominateur irrationnel
Soit A =
3
5
. Le dénominateur de A est irrationnel
Les mathématiciens savent depuis fort longtemps, qu’il n’est pas commode de faire des calculs
avec des nombres irrationnels aux dénominateurs de quotients.
Ils ont trouvé des astuces pour rendre le dénominateur rationnel.
A) Exemples
A=
=
=
=
3
B=
5
3× 5
5× 5
=
3 5
=
5
3
5
5
=
15
2 3
15 × 3
2 3× 3
15 3
6
5 3
2
niveau 2nde :
C=
5
D=
2 +1
⎛
⎞
5 × ⎜ 2 − 1⎟
⎝
⎠
=
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎜ 2 + 1⎟ × ⎜ 2 − 1⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
=
=
niveau 2nde :
⎛
⎞
5 × ⎜ 2 − 1⎟
⎝
⎠
⎛ ⎞2 2
⎜ 2⎟ − 1
⎝ ⎠
⎛
⎞
5 × ⎜ 2 − 1⎟
⎝
⎠
⎛ ⎞2 2
⎜ 2⎟ − 1
⎝ ⎠
⎛
⎞
5 × ⎜ 2 − 1⎟
⎝
⎠
=
2 −1
⎛
⎞
= 5 ⎜ 2 − 1⎟
⎝
⎠
−2
2 5 −4
⎛
⎞
−2 × ⎜2 5 + 4 ⎟
⎝
⎠
=
⎛
⎞⎛
⎞
⎜2 5 − 4 ⎟ ⎜2 5 + 4 ⎟
⎝
⎠⎝
⎠
=
⎛
⎞
−2 × ⎜2 5 + 4 ⎟
⎝
⎠
⎛
⎞2
⎜2 5 ⎟ − 42
⎝
⎠
⎛
⎞
−2 × ⎜2 5 + 4 ⎟
⎝
⎠
=
20 − 16
⎛
⎞
−2 × ⎜2 5 + 4 ⎟
⎝
⎠
=
4
⎞
1⎛
= − ⎜2 5 + 4 ⎟
⎠
2⎝
= − 5 −4
B) Définition
⎛
⎞
⎛
⎜ 2 − 1⎟ et ⎜
⎝
⎠
⎝
⎛
⎞
⎜2 5 + 4 ⎟ et
⎝
⎠
⎞
2 + 1⎟ sont appelées des expressions conjuguées.
⎠
⎛
⎞
⎜2 5 − 4 ⎟ sont des expressions conjuguées
⎝
⎠