3 Compacité

3 Compacité
Définition
Soit (E, N ), un espace vectoriel normé. On dit que A est une partie compacte de E si toute
suite de vecteurs de A possède une valeur d’adhérence dans A. Ou d’une manière équivalente
Une partie A de E est dite compacte si de toute suite d’éléments de A, on peut extraire une
sous-suite convergente dans A.
Exemple : considérons l’espace normé R, muni de la norme usuelle |.|. Soit [a, b], où a < b,
un intervalle de R. Alors [a, b] est un compact de R. En effet, soit (un )n∈N , une suite d’éléments
de [a, b]. Alors, en vertu de la propriété de Bolzano-Weierstrass, (un )n∈N étant bornée, on peut
extraire de (un )n∈N une sous-suite convergente dans[a, b].
Contre-exemple : (R, |.|) n’est pas compact. En effet, considérons la suite (un )n∈N définie
par un = n. un est croissante non majorée, donc on ne peut pas extraire de (un )n∈N une soussuite convergente dans R. En effet, toute suite extraite de (un )n∈N serait non bornée donc non
convergente.
La propriété qui suit est fondamentale. Elle donne des propriétés générales des compacts.
Elle sera précisée dans le cas où l’on considère un espace vectoriel normé de dimension finie,
ce qui simplifiera grandement notre étude.
Propriété
Soit (E, k.kE ), un espace vectoriel normé, et X, un compact de E. Alors, X est une partie
fermée et bornée de E.
Démonstration
On va démontrer séparément ces deux propriétés.
(i) X est bornée : raisonnons par l’absurde et supposons donc X non bornée. Traduisons
mathématiquement cette assertion. Si X était bornée, on aurait :
∃M > 0 : ∀x ∈ X, N (x) < M
Donc, dans notre cas, on a : ∀M > 0, ∃x ∈ X : N (x) ≥ M . Alors, en choisissant succesivement pour valeurs de M 1, 2, 3, ..., on construit donc une suite (xn )n∈N d’éléments de X telle
que : ∀n ∈ N, kxn kE ≥ n. Mais, puisque X est compacte, il existe une application strictement
croissante de N dans N, notée ϕ, telle que (xϕ(n) )n∈N converge dans X vers un certain l ∈ X.
Mais ceci est absurde, car lim kxn kE = +∞, et par inégalité triangulaire, on a :
n→+∞
|kxn kE − klkE | ≤ kxn − lkE −→ 0.
On en déduit que X est nécessairement bornée.
(ii) X est fermée : on va utiliser la caractérisation séquentielle des fermés. Si (xn )n∈N est une
suite de points de X convergeant vers l ∈ E, alors, par compacité de X, on peut extraire de
(xn )n∈N une sous-suite (xϕ(n) )n∈N convergente dans X. Par unicité de la limite de (xn )n∈N ,
la limite de (xϕ(n) )n∈N est nécessairement l. On en déduit que l ∈ X, autrement dit, X est
fermée.
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Remarque
Attention ! La réciproque de cette propriété n’est pas toujours vraie, à savoir, un compact
de E est toujours fermé et borné, mais un fermé borné n’est pas nécessairement compact. En
dimension finie, on a l’équivalence entre ces deux notions.
Propriété
Soit E un espace normé, A⊂ E, Si A est compacte, alors A est fermée et bornée.
Propriété
Soit (E, kkE ), un espace vectoriel normé et X un compact de E. Si Y est une partie fermée
de X, alors Y est compacte.
Démonstration
C’est immédiat. En effet, soit (yn )n∈N , une suite d’éléments de Y . Alors, puisque Y ⊂ X et
que X est compact, on peut extraire de Y une sous-suite convergente dans X. Mais, puisque
Y est fermé, toute suite convergente d’éléments de Y converge dans Y . On a donc démontré
que, de toute suite d’éléments de Y , on peut extraire une sous-suite convergente.
Passons à présent à des caractérisations concrètes de compacts. Il existe des cas dans lesquels on sait très bien montrer qu’un ensemble est compact. Par exemple lorsqu’il peut s’écrire
comme produit cartésien de compacts, où lorsque (on l’a déjà évoqué) on s’est placé dans un
espace vectoriel normé de dimension finie.
Théorème
Soient X et Y , deux parties compactes respectivement incluses dans les espaces vectoriels
normés (E, k.kE ) et (F, k.kF ). Alors, X × Y est compact.
La propriété qui suit fait le lien entre les espaces complets, que nous avons déjà étudiés et
les espaces compacts.
Propriété
Soit (E, k.kE ) un espace vectoriel normé et X une partie compacte de E. Alors, X est
nécessairement une partie complète de E.
Preuve
Soit (un )n∈N une suite de Cauchy de X, X étant compact alors (un )n∈N admet une valeur
d’adhérence a ∈ X . Il existe donc une application strictement croissante ϕ : N −→ N telle que
uϕ(n) −→ a, ∀n ∈ N, ϕ(n) ≥ n. Ainsi, puisque (un )n∈N est de Cauchy, fixons ε > 0, et on a
ε
alors ∃N ∈ N tel que : un − uϕ(n) E < . De plus, puisque uϕ(n) est convergente, il existe un
2 ε
rang N1 ∈ N tel que n ≥ N1 =⇒ uϕ(n) − aE ≤ . On en déduit que
2
ε
n≥ max(N1 , N ) =⇒ kun − akE ≤ un −ϕ(n) E + uϕ(n) − aE ≤ 2. = ε
2
Ce qui prouve que (un )n∈N converge et donc X est complet.
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3.1 Lien entre applications continues et uniformément continues
Dans cette partie, je commence par donner un résultat sur les images de compacts par des
applications continues et sur le lien entre des applications continues sur un compact et des
applications uniformément continues sur un compact (théorème de Heine).
Théorème
L’image d’un compact par une application continue est un compact, c’est à dire : Si (E, k.kE )
et (F, k.kF ), deux espaces vectoriels normés, et f : E −→ F , une application continue sur E.
Soit X ⊂ E, une partie compacte de E. Alors f (X) est une partie compacte de F .
Démonstration
Soit (vn )n∈N , une suite de f (X). Il existe donc (un )n∈N telle que ∀n ∈ N, vn = f (un ). (un )n∈N
est une suite d’éléments d’un compact, donc (un )n∈N admet une valeur d’adhérence a (i.e. il
existe ϕ : N −→ N, strictement croissante, telle que uϕ(n) −→ a. Puis, f étant continue, on en
déduit que f (uϕ(n) ) −→ f (a). Ceci montre que (vn )n∈N admet une valeur d’adhérence, donc
f (X) est compact.
Corollaire Une fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes. En particulier, si f ∈ C(A, F ) avec A ⊂ E compact alors supx∈A kf (x)k existe et atteinte.
Preuve
On sait que f (X) est compact d’après le théorème précédent. Il est donc borné, ce qui
justifie que f est bornée. De plus f atteint ses bornes car f (X) est fermé. En effet, cela a pour
conséquence que inf f (x) ∈ f (X) et sup f (x) ∈ f (X).
x∈X
x∈X
Théorème (de Heine)
Soient (E, k.kE ) et (F, k.kF ), deux espaces vectoriels normés, et f : E −→ F , une application
continue sur X ⊂ E, supposons de plus que X est compact. Alors, f est uniformément continue
sur X.
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4 Annexe
4.1 Extrait du DS N˚1 2009-2010
Exercice 1 Espaces des Fonctions Lipschiziennes (55 min)
Soit E le sous-espace vectoriel de C([0, 1], R), des fonctions f sur I = [0, 1] à valeurs dans R,
lipschiziennes.
1. Montrer que
|f (x) − f (y)|
∀f ∈ E,
k(f ) = sup
< +∞
|x − y|
(x,y)∈I 2
x6=y
2. Montrer que f → ||f || = ||f ||∞ + k(f ) définit une norme ||.|| sur E (on admettera que toute
fonction continue sur I est bornée).
3. Démontrer que les deux normes sur E, ||.|| et ||.||∞ ne sont pas
 équivalentes.
1


nx
si
x
∈
0,

n
Indication : prendre la suite des fonctions définies par fn (x) =
1


si x ∈
,1
 1
n
4. On se propose de montrer que (E, ||.||) est un espace de Banach. Soit (fn ) une suite de
Cauchy de (E, ||.||).
a. Montrer que (fn ) converge uniformément sur I vers une fonction continue f .
b. Montrer que (k(fn )) est une suite de Cauchy de nombres réels et en déduire que f ∈ E.
c. Montrer que lim k(fn − f ) = 0, conclure.
n→+∞
5. Est-ce que (E, ||.||∞ ) est un espace de Banach ?
r
Indication : On considère la suite de fonctions fn (x) =
x+
1
.
n
Exercice 2 Espace vectoriel des Suites (60 min)
Soit l1 l’espace vectoriel des suites x = (xn )n≥1 de nombres réels telles que
kxk1 =
+∞
X
|xn | < +∞
n=1
1. Vérifier brièvement que l’application x → kxk1 est une norme sur l1 .
2. Pour tout x = (xn )n≥1 ∈ l1 , on considère la suite φ(x) définie par
φ(x) = ((xn + xn+1 ))n≥1
Démontrer que φ(x) ∈ l1 .
3.a. Prouver que l’application x → φ(x) de l1 dans l1 est linéaire et continue.
b. Trouver la valeur exacte de |||φ||| .
1
4. Déterminer toutes les solutions x ∈ l1 de l’équation x = φ(x) (on pourra utiliser le fait
4
que (l1 , k.k1 ) est un espace de Banach).
5. Soit f : l1 → R l’application à valeurs réelles définie pour tout x = (xn )n≥1 ∈ l1 par
f (x) = x1 x2 .
a. Démontrer que pour tout r > 0 la restriction de f à la boule B(0, r) = {x ∈ l1 ; k.k1 ≤ r},
est Lipschitzienne et déterminer sa constante de lipschitz.
b. L’application f est-elle Lipschitzienne sur l1 ?
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4.2 Extrait du DS N˚1 2010-2011
Exercice 1 Equivalence des normes usuelles (18 min)
Sur l’espace Rn , on considère les trois normes suivantes :
kxk1 =
n
X
|xk | , kxk2 =
k=1
n
X
!1
2
|xk |2
, kxk∞ = max |xk |
k=1,...,n
k=1
Montrer que ces normes sont équivalentes en déterminant les constantes d’équivalence.
4.3 DS N˚1 2011-2012
Problème :
On définit l’application N par :
N : R2 → R
(x, y) 7−→ sup
t∈R+
|x+ty|
1+t2
1. Vérifier que N est définie sur R2 tout entier et que N est une norme.
2. On veut démontrer que N est une norme, équivalente
p à la norme euclidienne k.k2
√
(a) Vérifier que : ∀(x, y, t) ∈ R3 , |x + ty| ≤ 1 + t2 x2 + y 2 et en déduire que
∀(x, y) ∈ R2 , N (x, y) ≤ k(x, y)k2 .
(b) Prouver que si (x1 , x2 , y1 , y2 ) ∈ R4 , alors
|N (x1 , y1 ) − N (x2 , y2 )| ≤
p
(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2
(c) Déduire que N est continue sur R2 muni de la norme k.k2 .
(d) En raisonnant par l’absurde, démontrer qu’il existe une constante c > 0 telle que :
p
∀(x, y) ∈ R2 , N (x, y) ≥ c x2 + y 2
(e) En utilisant des inégalités et en faisant t = 1 et t = −1, trouver une valeur acceptable
de la constante c.
(On pourra montrer en particulier que pour (x, y) ∈ R2 , max(|x + y| , |x − y|) = |x| + |y|.)
3. On cherche dans cette question à déterminer la boule unité fermée pour cette norme.
(a) Soit (x, y) ∈ R2 . Montrer que N (x, y) = N (x, −y) = N (−x, y) = N (−x, −y).
On peut donc se restreindre dans notre étude à x > 0 et y > 0 et ainsi,
x + ty
N (x, y) = sup
.
1 + t2
t∈R+
(b) Justifier l’égalité suivante :
∀(x, y) ∈ R2 , N (x, y) = sup
θ∈[0,π]
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1 + cos θ
2
x+
sin θ
2
y
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(c) Prouver que pour x et y réels donnés, sup (x cos θ + y sin θ) =
p
x2 + y 2 . En déduire
θ∈[0,π]
une expression explicite de N (x, y) sans le sup.
(d) Déterminer alors la boule unité fermée pour N , la représenter.
Exercice 1
Soit E le sous-espace vectoriel de C([0, 1], R), des fonctions f sur I = [0, 1] à valeurs dans R,
lipschiziennes.
1. Montrer que
|f (x) − f (y)|
∀f ∈ E,
k(f ) = sup
< +∞
|x − y|
(x,y)∈I 2
x6=y
2. Montrer que f → ||f || = ||f ||∞ + k(f ) définit une norme ||.|| sur E (on admettera que toute
fonction continue sur I est bornée).
3. Démontrer que les deux normes sur E, ||.|| et ||.||∞ ne sont pas
 équivalentes.
1


nx
si
x
∈
0,

n
Indication : prendre la suite des fonctions définies par fn (x) =
1


si x ∈
,1
 1
n
4. On se propose de montrer que (E, ||.||) est un espace de Banach. Soit (fn ) une suite de
Cauchy de (E, ||.||).
a. Montrer que (fn ) converge uniformément sur I vers une fonction continue f .
b. Montrer que (k(fn )) est une suite de Cauchy de nombres réels et en déduire que f ∈ E.
c. Montrer que lim k(fn − f ) = 0, conclure.
n→+∞
5. Est-ce que (E, ||.||∞ ) est un espace de Banach ?
Indication : On considère la suite de fonctions fn (x) =
r
x+
1
.
n
Exercice 2
On munit l’espace R2 de la norme k.k définie pour tous (x, y) ∈ R2 par :
k(x, y)k =
7
|x| + |y|
12
1. Démontrer que l’espace R2 muni de cette norme est un espace complet.
2. On s’intéresse dans cette question aux solutions du problème :
x

 x = sin
+ arctan y
2
(S)
 y = 1 arctan x − 11 sin y
8
42
2
(a) Démontrer les inégalités suivantes :
∀(x, y) ∈ R2 , |sin x − sin y| ≤ |x − y| et |arctan x − arctan y| ≤ |x − y|
(b) En déduire que le (S) admet une solution unique dans R2 . (On le démontrera en
utilisant la norme k.k).
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