3 Compacité

3 Compacit´e
D´efinition
Soit (E, N), un espace vectoriel norm´e. On dit que Aest une partie compacte de Esi toute
suite de vecteurs de Aposs`ede une valeur d’adh´erence dans A. Ou d’une mani`ere ´equivalente
Une partie Ade Eest dite compacte si de toute suite d’´el´ements de A, on peut extraire une
sous-suite convergente dans A.
Exemple : consid´erons l’espace norm´e R, muni de la norme usuelle |.|. Soit [a, b], o`u a<b,
un intervalle de R. Alors [a, b] est un compact de R. En effet, soit (un)n∈N, une suite d’´el´ements
de [a, b]. Alors, en vertu de la propri´et´e de Bolzano-Weierstrass, (un)n∈N´etant born´ee, on peut
extraire de (un)n∈Nune sous-suite convergente dans[a, b].
Contre-exemple : (R,|.|) n’est pas compact. En effet, consid´erons la suite (un)n∈Nd´efinie
par un=n.unest croissante non major´ee, donc on ne peut pas extraire de (un)n∈Nune sous-
suite convergente dans R. En effet, toute suite extraite de (un)n∈Nserait non born´ee donc non
convergente.
La propri´et´e qui suit est fondamentale. Elle donne des propri´et´es g´en´erales des compacts.
Elle sera pr´ecis´ee dans le cas o`u l’on consid`ere un espace vectoriel norm´e de dimension finie,
ce qui simplifiera grandement notre ´etude.
Propri´et´e
Soit (E, k.kE), un espace vectoriel norm´e, et X, un compact de E. Alors, Xest une partie
ferm´ee et born´ee de E.
D´emonstration
On va d´emontrer s´epar´ement ces deux propri´et´es.
(i) Xest born´ee : raisonnons par l’absurde et supposons donc Xnon born´ee. Traduisons
math´ematiquement cette assertion. Si X´etait born´ee, on aurait :
∃M > 0 : ∀x∈X, N(x)< M
Donc, dans notre cas, on a : ∀M > 0, ∃x∈X:N(x)≥M. Alors, en choisissant succesive-
ment pour valeurs de M1,2,3, ..., on construit donc une suite (xn)n∈Nd’´el´ements de Xtelle
que : ∀n∈N,kxnkE≥n. Mais, puisque Xest compacte, il existe une application strictement
croissante de Ndans N, not´ee ϕ, telle que (xϕ(n))n∈Nconverge dans Xvers un certain l∈X.
Mais ceci est absurde, car lim
n→+∞kxnkE= +∞, et par in´egalit´e triangulaire, on a :
|kxnkE− klkE| ≤ kxn−lkE−→ 0.
On en d´eduit que Xest n´ecessairement born´ee.
(ii) X est ferm´ee : on va utiliser la caract´erisation s´equentielle des ferm´es. Si (xn)n∈Nest une
suite de points de Xconvergeant vers l∈E, alors, par compacit´e de X, on peut extraire de
(xn)n∈Nune sous-suite (xϕ(n))n∈Nconvergente dans X. Par unicit´e de la limite de (xn)n∈N,
la limite de (xϕ(n))n∈Nest n´ecessairement l. On en d´eduit que l∈X, autrement dit, Xest
ferm´ee.
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Remarque
Attention ! La r´eciproque de cette propri´et´e n’est pas toujours vraie, `a savoir, un compact
de Eest toujours ferm´e et born´e, mais un ferm´e born´e n’est pas n´ecessairement compact. En
dimension finie, on a l’´equivalence entre ces deux notions.
Propri´et´e
Soit Eun espace norm´e, A⊂E, Si Aest compacte, alors A est ferm´ee et born´ee.
Propri´et´e
Soit (E, kkE), un espace vectoriel norm´e et Xun compact de E. Si Yest une partie ferm´ee
de X, alors Yest compacte.
D´emonstration
C’est imm´ediat. En effet, soit (yn)n∈N, une suite d’´el´ements de Y. Alors, puisque Y⊂Xet
que Xest compact, on peut extraire de Yune sous-suite convergente dans X. Mais, puisque
Yest ferm´e, toute suite convergente d’´el´ements de Yconverge dans Y. On a donc d´emontr´e
que, de toute suite d’´el´ements de Y, on peut extraire une sous-suite convergente.
Passons `a pr´esent `a des caract´erisations concr`etes de compacts. Il existe des cas dans les-
quels on sait tr`es bien montrer qu’un ensemble est compact. Par exemple lorsqu’il peut s’´ecrire
comme produit cart´esien de compacts, o`u lorsque (on l’a d´ej`a ´evoqu´e) on s’est plac´e dans un
espace vectoriel norm´e de dimension finie.
Th´eor`eme
Soient Xet Y, deux parties compactes respectivement incluses dans les espaces vectoriels
norm´es (E, k.kE) et (F, k.kF). Alors, X×Yest compact.
La propri´et´e qui suit fait le lien entre les espaces complets, que nous avons d´ej`a ´etudi´es et
les espaces compacts.
Propri´et´e
Soit (E, k.kE) un espace vectoriel norm´e et Xune partie compacte de E. Alors, Xest
n´ecessairement une partie compl`ete de E.
Preuve
Soit (un)n∈Nune suite de Cauchy de X,X´etant compact alors (un)n∈Nadmet une valeur
d’adh´erence a∈X. Il existe donc une application strictement croissante ϕ:N−→ Ntelle que
uϕ(n)−→ a,∀n∈N, ϕ(n)≥n. Ainsi, puisque (un)n∈Nest de Cauchy, fixons ε > 0, et on a
alors ∃N∈Ntel que : 
un−uϕ(n) E<ε
2. De plus, puisque uϕ(n)est convergente, il existe un
rang N1∈Ntel que n≥N1=⇒
uϕ(n)−a E≤ε
2. On en d´eduit que
n≥max(N1, N) =⇒ kun−akE≤
un−ϕ(n) E+ uϕ(n)−a E≤2.ε
2=ε
Ce qui prouve que (un)n∈Nconverge et donc Xest complet.
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3.1 Lien entre applications continues et uniform´ement continues
Dans cette partie, je commence par donner un r´esultat sur les images de compacts par des
applications continues et sur le lien entre des applications continues sur un compact et des
applications uniform´ement continues sur un compact (th´eor`eme de Heine).
Th´eor`eme
L’image d’un compact par une application continue est un compact, c’est `a dire : Si (E, k.kE)
et (F, k.kF), deux espaces vectoriels norm´es, et f:E−→ F, une application continue sur E.
Soit X⊂E, une partie compacte de E. Alors f(X) est une partie compacte de F.
D´emonstration
Soit (vn)n∈N, une suite de f(X). Il existe donc (un)n∈Ntelle que ∀n∈N,vn=f(un). (un)n∈N
est une suite d’´el´ements d’un compact, donc (un)n∈Nadmet une valeur d’adh´erence a(i.e. il
existe ϕ:N−→ N, strictement croissante, telle que uϕ(n)−→ a. Puis, f´etant continue, on en
d´eduit que f(uϕ(n))−→ f(a). Ceci montre que (vn)n∈Nadmet une valeur d’adh´erence, donc
f(X) est compact.
Corollaire Une fonction continue sur un compact est born´ee et atteint ses bornes. En par-
ticulier, si f∈C(A, F ) avec A⊂Ecompact alors supx∈Akf(x)kexiste et atteinte.
Preuve
On sait que f(X) est compact d’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent. Il est donc born´e, ce qui
justifie que fest born´ee. De plus fatteint ses bornes car f(X) est ferm´e. En effet, cela a pour
cons´equence que inf
x∈Xf(x)∈f(X) et sup
x∈X
f(x)∈f(X).
Th´eor`eme (de Heine)
Soient (E, k.kE) et (F, k.kF), deux espaces vectoriels norm´es, et f:E−→ F, une application
continue sur X⊂E, supposons de plus que Xest compact. Alors, fest uniform´ement continue
sur X.
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4 Annexe
4.1 Extrait du DS N˚1 2009-2010
Exercice 1 Espaces des Fonctions Lipschiziennes (55 min)
Soit Ele sous-espace vectoriel de C([0,1],R), des fonctions fsur I= [0,1] `a valeurs dans R,
lipschiziennes.
1. Montrer que
∀f∈E, k(f) = sup
(x,y)∈I2
x6=y
|f(x)−f(y)|
|x−y|<+∞
2. Montrer que f→ ||f|| =||f||∞+k(f) d´efinit une norme ||.|| sur E(on admettera que toute
fonction continue sur Iest born´ee).
3. D´emontrer que les deux normes sur E, ||.|| et ||.||∞ne sont pas ´equivalentes.
Indication : prendre la suite des fonctions d´efinies par fn(x) = 
nx si x∈0,1
n
1 si x∈1
n,1
4. On se propose de montrer que (E, ||.||) est un espace de Banach. Soit (fn) une suite de
Cauchy de (E, ||.||).
a. Montrer que (fn) converge uniform´ement sur Ivers une fonction continue f.
b. Montrer que (k(fn)) est une suite de Cauchy de nombres r´eels et en d´eduire que f∈E.
c. Montrer que lim
n→+∞k(fn−f)=0,conclure.
5. Est-ce que (E, ||.||∞) est un espace de Banach ?
Indication : On consid`ere la suite de fonctions fn(x) = rx+1
n.
Exercice 2 Espace vectoriel des Suites (60 min)
Soit l1l’espace vectoriel des suites x= (xn)n≥1de nombres r´eels telles que
kxk1=
+∞
X
n=1 |xn|<+∞
1. V´erifier bri`evement que l’application x→ kxk1est une norme sur l1.
2. Pour tout x= (xn)n≥1∈l1,on consid`ere la suite φ(x) d´efinie par
φ(x) = ((xn+xn+1))n≥1
D´emontrer que φ(x)∈l1.
3.a. Prouver que l’application x→φ(x) de l1dans l1est lin´eaire et continue.
b. Trouver la valeur exacte de |||φ|||.
4. D´eterminer toutes les solutions x∈l1de l’´equation x=1
4φ(x) (on pourra utiliser le fait
que (l1,k.k1) est un espace de Banach).
5. Soit f:l1→Rl’application `a valeurs r´eelles d´efinie pour tout x= (xn)n≥1∈l1par
f(x) = x1x2.
a. D´emontrer que pour tout r > 0 la restriction de f`a la boule B(0, r) = {x∈l1;k.k1≤r},
est Lipschitzienne et d´eterminer sa constante de lipschitz.
b. L’application fest-elle Lipschitzienne sur l1?
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4.2 Extrait du DS N˚1 2010-2011
Exercice 1 Equivalence des normes usuelles (18 min)
Sur l’espace Rn, on consid`ere les trois normes suivantes :
kxk1=
n
X
k=1 |xk|,kxk2= n
X
k=1 |xk|2!1
2
,kxk∞= max
k=1,...,n |xk|
Montrer que ces normes sont ´equivalentes en d´eterminant les constantes d’´equivalence.
4.3 DS N˚1 2011-2012
Probl`eme :
On d´efinit l’application Npar :
N:R2→R
(x, y)7−→ sup
t∈R+|x+ty|
1+t2
1. V´erifier que Nest d´efinie sur R2tout entier et que Nest une norme.
2. On veut d´emontrer que Nest une norme, ´equivalente `a la norme euclidienne k.k2
(a) V´erifier que : ∀(x, y, t)∈R3,|x+ty| ≤ √1 + t2px2+y2et en d´eduire que
∀(x, y)∈R2, N(x, y)≤ k(x, y)k2.
(b) Prouver que si (x1, x2, y1, y2)∈R4, alors
|N(x1, y1)−N(x2, y2)| ≤ p(x1−x2)2+ (y1−y2)2
(c) D´eduire que Nest continue sur R2muni de la norme k.k2.
(d) En raisonnant par l’absurde, d´emontrer qu’il existe une constante c > 0 telle que :
∀(x, y)∈R2, N(x, y)≥cpx2+y2
(e) En utilisant des in´egalit´es et en faisant t= 1 et t=−1, trouver une valeur acceptable
de la constante c.
(On pourra montrer en particulier que pour (x, y)∈R2, max(|x+y|,|x−y|) = |x|+|y|.)
3. On cherche dans cette question `a d´eterminer la boule unit´e ferm´ee pour cette norme.
(a) Soit (x, y)∈R2. Montrer que N(x, y) = N(x, −y) = N(−x, y) = N(−x, −y).
On peut donc se restreindre dans notre ´etude `a x > 0 et y > 0 et ainsi,
N(x, y) = sup
t∈R+x+ty
1 + t2.
(b) Justifier l’´egalit´e suivante :
∀(x, y)∈R2, N(x, y) = sup
θ∈[0,π]1 + cos θ
2x+sin θ 2y
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