DM - Booleanopera

DM de MPSI2
Devoir non surveill´e
Probl`eme – Sur les fonctions continues p´eriodiques, ou presque
Rappel : soit Gun sous-groupe additif de R. On rappelle l’alternative suivante, qu’il est inutile de red´e-
montrer : soit Gest de la forme aZpour un certain r´eel positif ou nul a, soit Gest dense dans R.
Notations et terminologie :
– Dans ce qui suit, fd´esigne une fonction de Rdans R, et Test un r´eel.
– On note C(R) le R-espace vectoriel (et anneau) des fonctions continues de Rdans R.
– On note Ble R-espace vectoriel (et anneau) des fonctions continues et born´ees de Rdans R.
– On dit que Test une p´eriode de f(et que fest T-p´eriodique) si, pour tout r´eel x, on a : f(x+T) = f(x).
– On note CTl’ensemble des fonctions continues T-p´eriodiques de Rdans R.
– On dira que fest p´eriodique si elle admet une p´eriode non nulle.
– On note Cper l’ensemble des fonctions continues p´eriodiques de Rdans R,i.e. :Cper =S
T∈R∗
CT.
– On note Ωfl’ensemble des p´eriodes de f.
– Si Ωf∩R∗
+admet un plus petit ´el´ement T0, on dit que T0est la p´eriode de f.
Partie A – Pr´eliminaires sur la partie fractionnaire d’un r´eel
La partie fractionnaire F(x) d’un r´eel xest le nombre x− bxc, o`u bxcd´esigne la partie enti`ere de x. On a
donc F(x)∈[0,1[.
A.1 Soit x, y ∈R. Montrer que
F(x+y) = F(x) + F(y) si F(x) + F(y)<1,
F(x) + F(y)−1 si F(x) + F(y)>1.
A.2 Soit x0un r´eel non entier (on a donc F(x0)>0). Soit mun entier tel que mF (x0)>1. Soit x∈R.
Montrer que l’un (au moins) des termes de la famille (x+kx0)k∈[[0,m]] est de partie fractionnaire inf´erieure ou
´egale `a F(x0).
Indication : on pourra d’abord traiter le cas o`u il existe k∈[[0, m −1]] tel que F(x+ (k+ 1)x0) = F(x+
kx0) + F(x0)−1, et consid´erer F(x+mx0)−F(x) dans le cas contraire.
A.3 Soit α∈R\Qet δ∈R∗
+. Montrer l’existence d’un entier relatif utel que 0 < F (uα)6δ.
Partie B – G´en´eralit´es sur les fonctions p´eriodiques
B.1 Montrer que toute fonction continue p´eriodique de Rdans Rest uniform´ement continue.
B.2
aMontrer que Ωfest un sous-groupe additif de R.
bOn suppose fcontinue, p´eriodique et non constante sur R. Montrer que fadmet une plus petite p´eriode
strictement positive.
cDonner un exemple de fonction fp´eriodique non constante n’admettant pas de plus petite p´eriode
strictement positive.
B.3 Montrer que CTest un sous-espace vectoriel et un sous-anneau de C(R).
B.4 Montrer que Cper ⊂ B.
B.5
aOn consid`ere deux r´eels strictement positifs Tget Th, et on les suppose incommensurables,i.e. Tg/Th∈
R\Q.
On consid`ere deux fonctions get hcontinues, p´eriodiques et non constantes de Cper, dont les p´eriodes
respectives sont Tget Th.
Montrer que g+hn’est pas p´eriodique.
Indication : on pourra, ´etant donn´e une p´eriode Tde f=g+h, observer que pour tout r´eel x:g(x+T)−g(x) =
h(x)−h(x+T), et ´etudier s:x7→ g(x+T)−g(x).
bMontrer que Cper n’est pas un sous-espace vectoriel de RR.

Partie C – Fonctions quasi-p´eriodiques
Soit Eune partie de R. On dit que Eest bien r´eparti s’il existe un r´eel strictement positif lpour lequel tout
segment de longueur lcomprend un ´el´ement de E.
Soit f∈ C(R), ε∈R∗
+: on dit que Test une ε-quasi p´eriode de fsi, pour tout r´eel x:
|f(x+T)−f(x)|6ε.
On note E(f, ε) l’ensemble des ε-quasi p´eriodes de f.
On dit que fest quasi-p´eriodique si, pour tout ε∈R∗
+,Ef,ε est bien r´eparti.
On note Ql’ensemble des applications quasi-p´eriodiques de Rdans R.
C.1 Montrer que Cper ⊂Q.
C.2 ♥Montrer que Q⊂ B.
Indication : on pourra, ´etant donn´e f∈Q, fixer ε= 1, choisir l > 0 tel que Ef,1rencontre tout segment de
longueur l, et pour tout r´eel x, consid´erer T∈Ef,1∩[x, x +T].
Partie D – La somme de deux fonctions continues p´eriodiques est quasi-p´eriodique
Soit get hdeux ´el´ements de Cper . On souhaite montrer que g+h∈Q.
D.1 Traiter le cas o`u get hadmettent des p´eriodes strictement positives dont le rapport est rationnel.
On se place d´esormais dans le cas o`u get hadmettent des plus petites p´eriodes strictement positives Tget
Threspectivement, incommensurables, i.e. Tg/Th/∈Q.
On fixe un r´eel strictement positif ε.
D.2 On suppose que Test une p´eriode strictement positive de gpour laquelle il existe un entier vtel que
T−vThsoit une ε-quasi p´eriode de h.
Montrer que Test une ε-quasi p´eriode de g+h.
D.3 On consid`ere un module d’uniforme continuit´e ηpour εet h.
D’apr`es A.3, il existe un entier relatif upour lequel : 0 < F (uTg/Th)6η/Th.
On pose T=uTg.
aMontrer que Test une ε-quasi p´eriode de g+h.
b♥Montrer que Eg+h,ε ∩TZest bien r´eparti.
cConclure.
Remarque : en fait Qest bien un sous-espace vectoriel et mˆeme un sous-anneau de B, mais c’est compliqu´e `a
prouver.