Exercices 2 - IMJ-PRG

Universit´e Pierre et Marie Curie
Master de Sciences et Technologies
Mention Math´ematiques et Applications
Sp´ecialit´e Education et Formation, Section CAPES, M1
Ann´ee 2011 - 2012
ANNEAUX ET CORPS
Exercices
Exercice 2.1. Soient Aet Bdeux anneaux, et soit f:A→Bun morphisme
d’anneaux. Notons A∗et B∗les groupes des ´el´ements inversibles de Aet B,
respectivement. Montrer que la restriction f∗de fsur A∗est un morphisme
f∗:A∗→B∗de groupes A∗et B∗.
Exercice 2.2. Soient Aet Bdeux anneaux, et soit f:A→Bun morphisme
d’anneaux.
(a) Montrer que f(A) est un sous-anneau de B.
(b) Montrer que le noyau de fest un id´eal de A.
(c) Choisissons un ´el´ement ade A. Montrer que l’ensemble
{x∈A|il existe un ´el´ement yde Atel que x=ay}
est un id´eal de A.
Exercice 2.3. Soit Aun anneau, et soit Iun id´eal de A. Montrer les
´enonc´es suivants :
(a) il existe une unique structure d’anneau sur l’ensemble quotient A/I
telle que la projection canonique π:A→A/I soit un morphisme
d’anneaux ;
(b) pour tout morphisme d’anneaux f:A→Btel que I⊂ker(f),
il existe un unique morphisme d’anneaux
e
f:A/I →Btel que
f=
e
f◦π; le noyau de
e
fest l’image de ker(f) dans A/I.
Exercice 2.4. Soit nun nombre entier strictement positif.
(a) Montrer que nZest un id´eal de Z.
(b) Montrer que l’anneau Z/nZest int`egre si et seulement si nest un
nombre premier.
Exercice 2.5. Consid´erons l’ensemble
A={z=a+ib ∈C|(a, b)∈Z2}
muni de l’addition et la multiplication habituelles. Montrer que Aest un an-
neau. Est-il int`egre ? Est-ce un corps ? D´eterminer les ´el´ements inversibles
de A.
1

2
Exercice 2.6. Soit f:R→Run automorphisme du corps des nombres
r´eels.
(1) Montrer que fest une application croissante.
(2) Montrer que fest l’identit´e.
Soit Kle plus petit sous-corps de Ccontenant √2.
(3) D´ecrire Kexplicitement.
(4) Montrer qu’il existe un isomorphisme d’anneaux
i:Q[X]/(X2−2) →K.
(5) Faire la liste des automorphismes g:K→K.