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Exercices de Cours - Probabilités
I) Expérience aléatoire, univers, évènements
2) Evènement
Ecrire explicitement l’évènement A comme une partie d’un univers W que l’on précisera. Donner card
H
A
L
et card
H
W
L
.
a) Lancer un dé à 6 faces, A = obtenir un nombre pair.
b) Lancer deux fois de suite un dé à 6 faces, A = la somme des deux dés est 6.
c) Lancer simultanément deux dés à 6 faces indiscernables: }, A = la somme des deux dés est 6.
d) Tirer simultanément 5 cartes dans un jeu de 32 cartes, A = obtenir 4 As.
e) Tirer successivement et sans remise 3 boules dans une urne contenant 10 boules numérotées de 1 à 10, A=obtenir le numéro 5
5) Exercices
b) Soient A, B, C trois évènements . Exprimer de façon ensembliste les évènements suivants:
A
1
: L’un des trois évènements au moins se produit
A
2
: Un seul de ces trois évènements se produit
A
3
: Deux au moins des trois évènements se produisent
A
4
: Exactement deux des trois évènements se produisent
A
5
: Au maximum deux des trois évènements se produisent
A
6
: Les trois évènements se produisent
II) Espace probabilisé fini
5) Exercices
Soit
P
une probabilité sur un univers W et
A
,B,C des évènements
a) A quelle condition sur
A
et
B
peut-on être certain que P
H
A\B
L
=P
H
A
L
-P
H
B
L
?
b) Calculer P
H
C
L
avec C = “
A
ou (exclusif)
B
” en fonction de P
H
A
L
,P
H
B
L
,P
H
A
›
B
L
.
c) Sachant que P
H
A
L
=P
H
B
L
=0.8, encadrer au mieux P
H
A
›
B
L
.
d) Sachant que P
H
A
L
=0.3 , P
H
B
L
=0.2 et P
H
A
›
B
L
=0.1, calculer P
I
A
›
B
M
.
e) Calculer P
H
A
‹
B
‹
C
L
en fonction de P
H
A
L
,P
H
B
L
,P
H
C
L
,P
H
A
›
B
L
,P
H
A
›
C
L
,P
H
B
›
C
L
,P
H
A
›
B
›
C
L
.
7) Jeu de Monty Hall
Le jeu oppose un présentateur à un candidat (le joueur). Ce joueur est placé devant trois portes fermées. Derrière l'une d'elles se
trouve une voiture et derrière chacune des deux autres se trouve une chèvre. Il doit tout d'abord désigner au hasard une porte. Puis
le présentateur ouvre une porte qui n'est ni celle choisie par le candidat, ni celle cachant la voiture (le présentateur sait quelle est la
bonne porte dès le début). Le candidat a alors le droit ou bien d'ouvrir la porte qu'il a choisie initialement, ou bien d'ouvrir la
troisième porte. Quelles sont les chances du candidat de gagner la voiture en agissant au mieux ?
Si l'on demande une réponse rapide et intuitive, deux points de vue incompatibles s'opposent.
(1) Le premier affirme qu'après ouverture de la porte, il reste deux portes, chacune ayant tout autant de chances de cacher la
voiture. On a donc tout autant de chances de gagner avec changement que sans changement par rapport à son choix initial.
(2) Le second affirme que si l'on ne change pas de porte, on gagne si et seulement si on avait fait le bon choix au départ. Or
ce choix avait une chance sur trois d'être bon. Il y a donc 1/3 de chances de gagner sans changer et 2/3 de chances de gagner en
changeant.
Ce paradoxe classique peut être tranché par une modélisation correcte du problème: supposons pour fixer les idées que la voiture
est cachée derrière la porte 1 et que derrière les portes 2 et 3 se trouvent des chèvres.
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Un jeu peut être modélisé par la donnée d’un triplet (a,b,c) d’entiers de {1,2,3}:
• a est la porte choisie initialement par le candidat
• b est la porte indiquée par le présentateur et derrière laquelle se trouve une chèvre
• c est la porte finalement choisie par le candidat.
On va calculer la probabilité que le candidat gagne la voiture lorsqu’il choisit la troisième porte. L’univers des jeux possibles est
alors W = {(1,2,3), (1,3,2), (2,3,1) , (3,2,1)}. Quelle probabilité définir pour modéliser correctement le problème ?
Le fait que la première porte soit choisie au hasard se traduit par P({(1,2,3), (1,3,2)}) = P({(2,3,1)}) = P({(3,2,1)}) =
1
3
.
L’évènement G: le joueur gagne la voiture est G = {(2,3,1) , (3,2,1)}. Alors P(G) = P({(2,3,1)}) + P({3,2,1}) =
1
3
+
1
3
=
2
3
.
Le joueur a deux chances sur trois de gagner la voiture s’il choisit la troisième porte.
8) Exercices
a) Un couple a deux enfants dont un garçon. Quelle est la probabilité que l’autre soit une fille ?
b) Un tiroir contient 10 paires différentes de chaussettes indiscernables au toucher. On choisit au hasard 6 chaussettes dans le
tiroir. Quelle est la probabilité ne n’avoir aucune paire de chaussettes assorties ?
c) Une urne contient 10 boules: une noire, 4 blanches, 5 rouges.
a) On tire simultanément 3 boules dans l’urne. Quelle est la probabilité des évènements suivants ?
A: Le tirage est tricolore B: Les trois boules sont de la même couleur C: le tirage est bicolore
b) Mêmes questions lorsqu’on effectue le tirage successivement en remettant à chaque fois la boule tirée dans l’urne.
III) Probabilités conditionnelles
6) Formule des probabilités totales
b) Trois urnes U
1
, U
2
, U
3
contiennent des boules blanches et noires:
U
1
contient 3 boules blanches et 4 boules noires
U
2
contient 2 boules blanches et 4 boules noires
U
3
contient 1 boules blanches et 3 boules noires
On choisit une urne au hasard. La probabilité de choisir U
1
est de
1
6
, la probabilité de choisir U
2
est de
2
6
, la probabilité de
choisir U
3
est de
3
6
. Puis on tire au hasard une boule de l’urne choisie. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit blanche ?
7) Formules de Bayes
c) Exercices
a) La fiabilité d’un test de dépistage d’une maladie courante (qui affecte 1 % de la population) est défaillant dans les deux cas:
• 5 % des patients sains sont déclarés malades
• 2 % des patients malades sont déclarés sains
Déterminer la probabilité p d’être sain alors que le test est positif (cette probabilité est le risque de “faux positif”)
Déterminer la probabilité q d’être malade alors que le test est négatif (cette probabilité est le risque de “faux négatif”)
Interpréter les résultats.
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b) Dans une usine, trois machines M
1
,M
2
et M
3
produisent des composants électroniques. La production se répartit comme suit:
• La machine M
1
produit 50 % des composants et 2 % des composants fabriqués par la machine M
1
sont défectueux
• La machine M
2
produit 30 % des composants et 3 % des composants fabriqués par la machine M
2
sont défectueux
• La machine M
3
produit 20 % des composants et 5 % des composants fabriqués par la machine M
3
sont défectueux
On choisit au hasard un composant électronique fabriqué par l’usine .
a) Quelle est la probabilité pour qu’il soit défectueux ?
b) Quelle est la probabilité qu’il vienne de M
1
et qu’il soit défectueux ?
c) S’il est défectueux, quelle est la probabilité qu’il vienne de M
1
?
IV) Evénements indépendants
7) Exercices
a) Deux évènements incompatibles sont-ils indépendants ? Deux évènements indépendants sont-ils incompatibles ?
b) Une urne contient une boule rouge et une boule noire. On tire
n
fois successivement une boule dans l’urne en la remettant
dans l’urne après avoir noté sa couleur. On note:
A
n
: “On obtient des boules des deux couleurs au cours des n tirages”
B
n
: “On obtient au plus une boule noire au cours des n tirages”
a) Calculer P
H
A
n
L
et P
H
B
n
L
b) Trouver les valeurs de n pour lesquelles
A
n
et B
n
sont indépendants.
Noter N
k
(resp. R
k
) : " Le k
ième
tirage donne une boule noire (resp. rouge)"
c) On dispose de deux dés A et B.
Le dé A a 4 faces rouges et 2 faces blanches.
Le dé B a 2 faces rouges et 4 faces blanches.
On joue uniquement avec l’un des deux dés. La probabilité de jouer avec le dé A est de
1
3
.
a) Calculer la probabilité d’obtenir rouge au premier lancer de dé.
b) On a obtenu rouge aux deux premiers lancers de dé. Quelle est la probabilité que le troisième lancer soit rouge ?
c) On a obtenu rouge aux n premiers lancers de dé. Quelle est la probabilité q
n
de jouer avec le dé A ?
Noter les évènements: A: “ On joue avec le dé A" et B: " On joue avec le dé B" et R
n
: "On obtient rouge au n
ième
lancer".
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