EQUATIONS LOCALES DE DYNAMIQUE DES FLUIDES

EQUATIONS LOCALES DE DYNAMIQUE DES FLUIDES
Sauf mention contraire, les écoulements sont supposés incompressibles, parfaits, et ont lieu à la surface de la Terre supposée
référentiel galiléen. Le fluide a une masse volumique notée ..
1 Surface libre d'un écoulement permanent:
Soit un écoulement permanent (on dit aussi stationnaire) de fluide parfait incompressible caractérisé par
v v r u().
, en contact
avec l'air atmosphérique. Dans le domaine r<a, on a
rot v uz ( ) .2
, uniforme, et dans le domaine r>a
rot v ( ) 0
.
Déterminer le champ des vitesses puis l'allure de l'isobare P=Po, pression atmosphérique. Que représente-t-elle?
2 Effet Magnus :
Soit un fluide en écoulement permanent uniforme à vitesse
V V u
o x
.
. On y place un cylindre infini de rayon R, d’axe Oz vertical,
tournant à vitesse  constante autour de son axe de symétrie de révolution.
Soit M un point de l’écoulement résultant. On peut démontrer que le champ de vitesse résultant est de la forme
V v u v u
r r
 . .
avec
v V R
r
r o
. .cos( )1 2
2
et
22
o2
RR
v V . 1 .sin( ) r
r
pour
Rr 
.
Loin du cylindre, à la cote z, la pression dans le fluide vaut
Po
.
2.1 En utilisant après justification la relation de Bernouilli, établir l’expression de la pression à la surface du cylindre.
2.2 Déterminer la résultante des forces de pression
F
sur une tranche dz de cylindre. Mettre le résultat sous une forme vectorielle
liant
F
à
o
V, 
. Cette force s’appelle la force de Magnus : elle est responsable des effets de « lift » des trajectoires de balles et
ballons, a été utilisée comme mode de propulsion de certains navires.
2.3 Calculer la circulation du champ de vitesse sur un contour circulaire de rayon R, à z constant. Montrer que la force de Magnus
est proportionnelle à cette circulation. On vient d’illustrer sur un cas simple une loi plus générale : par exemple, pour que la
portance d’une aile soit non nulle, il faut que la circulation du champ de vitesse autour de l’aile soit non nulle. C’est la forme
particulière de sa section qui en est en partie responsable…
3 Ecoulement permanent dans un canal:
On étudie l'écoulement permanent et potentiel d’eau dans un canal rectiligne de direction Ox, à fond horizontal, de section
rectangulaire. L'écoulement est incompressible, la masse volumique est notée . En x=0, profondeur du canal, largeur, vitesse
uniforme de l'eau sont notés Ho, Lo, vo. En x>0, ces valeurs seront notées H, L, v. Il est surmonté par l'air atmosphérique à Po.
La largeur du canal est susceptible de varier lentement dans le domaine x>0: les lignes de courant restent alors sensiblement
parallèles à Ox, et la vitesse sera encore supposée uniforme sur une section droite de canal.
3.1 Montrer que la grandeur
EgH v
o  2
2
est uniforme dans l'écoulement.
3.2 Exprimer le débit volumique D en fonction de g, Eo, L, H. Montrer qu'il admet un maximum à L constant pour H=Hc, valeur à
déterminer . Calculer la vitesse correspondante au maximum.
3.3 Montrer que deux valeurs de hauteur donnent le même débit volumique. La valeur correspondant à la faible hauteur (donc la
grande vitesse correspond au régime appelé torrentiel, et l'autre au régime fluvial.
3.4 Le canal s'élargit légèrement: comment évolue la vitesse selon que l'on se trouve dans l'un ou l'autre régime ?
4 Régime transitoire de vidange:
A t=0, la vanne V est ouverte, mettant le fluide au contact de l'air atmosphérique à pression Po.
La canalisation a une longueur L, et de sections telles que S>>s. On note H la hauteur de fluide.
On supposera la vitesse uniforme sur une section droite de canalisation.
4.1 Déterminer v(x,t) dans la canalisation. On donne:
dx
a x a Argth x aC
2 2 1
.
.
4.2 Déterminer p(x,t).
4.1 A quelle condition la vidange peut-elle être étudiée dans l’approximation des régimes quasi-stationnaires ?
5 Détente d’un gaz comprimé :
Une bouteille de volume V contient un gaz parfait de masse molaire M, coefficient
v
pc
c
constant, à une pression initiale P1,
température T1 égale à la température extérieure. La pression extérieure est Po, vérifiant Po<P1.
x
S
s

A l’instant initial, on ouvre un petit orifice de section s, et le gaz s’échappe du récipient à vitesse ve(t). Le gaz sera supposé fluide
parfait, compressible. La section de l’orifice est suffisamment faible pour que l’on puisse considérer le régime quasi-stationnaire : on
raisonnera comme en régime stationnaire, et le résultat obtenu sera utilisé pour établir la loi d’évolution. On peut de plus considérer
que l’évolution est isotherme, et que les effets de pesanteur sont négligeables.
La pression intérieure P(t) varie donc au cours du temps.
5.1 En utilisant l’équation d’Euler, montrer que pour un déplacement infinitésimal le long d’une ligne de courant pour le gaz qui
s’échappe, on a
0
2
v
d
P
dP
.
M
RT 2
.
5.2 Intégrer cette expression entre l’intérieur et un point de la section de sortie. On admettra que la vitesse d’écoulement dans le
récipient est négligeable devant la vitesse d’éjection ve. Pour la suite, on considérera P(t) uniforme au sein du récipient.
5.3 En déduire la vitesse d’éjection du gaz en fonction de T, P(t). Pour quelle valeur de P(t) l’éjection cessera-t-elle ?
5.4 Etablir l’expression du débit massique sortant Dm en fonction de s,ve, M, Po, R et T.
5.5 En déduire l’équation différentielle d’évolution de la pression sous la forme
T,Pf
T
P
dt
d
où f est une fonction à
déterminer.
5.6 Etablir l’expression de P(t) sous forme implicite. On donne
24
x
1.1x2
)tln(
dt
x
1
(à 5% près pour x<15).
On posera
1
P)t(P
,
RT2M s
V
. Représenter en fonction de
t
pour
15
t
0
.
5.7 Déterminer
t
tel que la détente s’arrête.
5.8 Effectuer un calcul d’ordre de grandeur du rapport de l’accélération locale par l’accélération convective. En déduire une
condition de validité de l’approximation des régimes quasi-stationnaires utilisée.
6 Implosion d’une bulle de cavitation:
Si, localement, la pression dans un liquide passe en dessous de la pression de vapeur saturante, la formation d’une bulle de gaz est
possible. On étudie ce qui se passe lorsque la pression est revenue à une valeur supérieure à la pression saturante, et que la bulle
implose.
La pesanteur est négligée : on étudie un problème à symétrie sphérique. La bulle a un rayon noté a(t), elle est fixe, et centrée en O.
Pour simplifier l’étude, on négligera la pression de vapeur saturante devant la pression dans le liquide : la pression intérieure est donc
prise nulle. A l’instant initial, a(t=0)=ao et dans le liquide,
o
P)r,t(P 
uniforme et constant .
Le liquide sera supposé incompressible.
6.1 En utilisant la conservation du débit volumique, établir l’expression du champ de vitesse dans le liquide en fonction de a(t) et
da/dt.
6.2 L’écoulement étant parfait, montrer que v(r,t) vérifie
0
P
2
v
rt
v2
.
En coordonnées sphériques :
r
U
u).U(grad r
6.3 En intégrant cette équation sur une ligne de courant, montrer que
o
2
2
2P
dt
da
2
3
dtad
).t(a
6.4 On pose
2
dt
da
)a(z 
. Montrer que l’équation obtenue au 6.3 est équivalente à
 o
P
2z3
da
dz
).t(a
. En déduire que
 o
3P
3
2
z.aA
est une constante à déterminer en fonction des conditions initiales.
6.5 En déduire l’équation différentielle vérifiée par a(t). Calculer le temps mis par la bulle pour disparaître : on posera
o
a/ax 
,
et on donne
29,1dx.
x1 x
1
03
3
.