FACULTE DES SCIENCES DE TUNIS 2009

FACULTE DES SCIENCES DE TUNIS
DEPARTEMENT DE PHYSIQUE
LFPH2
2009-2010
Série n°3
TRAVAUX DIRIGES DE MECANIQUE DES FLUIDES
Exercice 1 (rattrapage 2009)
On considère un écoulement bidimensionnel dont le champ des vitesses est de la forme :
1°/ Caractériser l’écoulement en justifiant votre réponse :
a/ Le régime d’écoulement est-il permanent ou transitoire ?
b/ L’écoulement est-il compressible ou incompressible ?
c/ L’écoulement est-il tourbillonnaire ? Peut-on associer à cet écoulement une fonction
potentiel des vitesses ?
2°/ Déterminer les lignes de courant. On posera pour t=0, x=x0 et y=y0.
3°/ Calculer l’accélération d’une particule de fluide.
Exercice 2 (principale 2009)
On considère l’écoulement permanent d’un liquide de masse volumique ρ constante, à
travers une conduite de section circulaire présentant un rétrécissement (voir figure). L’axe de la
conduite est confondu avec l’axe oz.
En un point M du liquide, repéré par ses coordonnées cylindriques ( r, θ, z) , le champ
des vitesses est donné par :
v( M )  v r ( r ) e r  v z ( z ) e z
Avec vr(r) = - α r ; où α est une constante positive donnée.
1°/ Ecrire l’équation de continuité, en déduire la composante de la vitesse v z(z) sachant que
vz(z=0) = v0 , avec v0 donnée.
2°/ Etablir l’expression du débit volumique à travers la section d’entrée de centre o et de rayon
R.
3°/ Déterminer le champ des accélérations.
4°/ Calculer le rotationnel du champ des vitesses.
5°/ Etablir, à une constante additive près, l’expression de la fonction potentiel des vitesses
φ( r, θ, z ).
x
o
y
z
On donne en coordonnées cylindriques pour une fonction scalaire f( r, θ, z) :
f
1 f
f
er +
e + e z
r 
r
z
Et pour une grandeur vectorielle A de composantes Ar, Aθ et Az
1  ( rA r ) 1 A  A z
div A =


r r
r 
z
A r A z
1  (rA θ ) A r
1 A z A θ
] e r +[
] e  +[ 



rot A = [
r θ
z
z
r
r  r
θ
grad f 

 ] e z

Exercice 3 (rattrapage 2009)
Une artère supposée cylindrique, de diamètre dA présente un anévrisme, qui consiste en
un élargissement localisé de l’artère, de diamètre dB (voir figure). La vitesse du sang est v1 dans
la partie non altérée de l’artère et v2 dans la partie altérée par l’anévrisme. On suppose que la
masse volumique du sang, notée ρ, est constante et que le sang se comporte comme un fluide
parfait en écoulement permanent.
1°/ Calculer v2 en fonction de v1 , dA et dB.
2°/ En déduire la pression sanguine PB dans l’anévrisme en fonction de PA la pression dans la
partie non lésée de l’artère, supposée horizontale.
3°/ Sachant que la paroi de l’artère peut supporter une pression maximale Pmax avant la rupture.
Calculer la valeur maximale du diamètre dB, de la partie altérée par l’anévrisme, avant la rupture.
Exercice 4 (rattrapage 2009)
Un réservoir d’axe vertical, de forme cylindrique de rayon R=1m, et de longueur l=3m,
contient de l’eau assimilée à un fluide parfait, de masse volumique  = 103 kg.m-3.
Le réservoir est rempli jusqu’à la hauteur 2,9 m, comptée à partir du fond. L’air extérieur est à la
pression atmosphérique.
z
1°/ Calculer les forces de pression exercées par l’eau :
a/ Sur la surface du fond du réservoir.
b/ Sur la surface latérale du réservoir. (On prend g =10 m.s-2)
z1
2°/ A la côte z0 = 0,2 m est percé un orifice circulaire de rayon
r  R, avec r = 3 cm, par lequel l’eau s’écoule.
0
a/ Déterminer la vitesse de l’eau à la sortie de l’orifice en fonction de la côte z de la
surface libre de l’eau dans le réservoir.
b/ En négligeant l’effet de contraction du tube de courant à travers l’orifice, exprimer en
fonction de z, le débit volumique qv de l’eau.
c/ Calculer le temps mis par l’eau pour que son niveau passe de z1 = 2,9m à z2 = 1,2m.
3°/ On exerce sur la surface libre de l’eau dans le réservoir une surpression p = 104 Pascals. En
appliquant le théorème de Bernoulli, déterminer :
a/ La nouvelle expression de la vitesse de sortie de l’eau en fonction de la côte z de la
surface libre.
b/ Le temps mis pour que le niveau de l’eau passe de z1 à z2.