: les formes bilinéaires et les formes quadratique sur R et C Cours

Cours : les formes bilinéaires et les formes quadratique sur R et C
Forme linéaire
Définition : Forme linéaire
Soit un espace vectoriel sur
(
ou
). Une forme linéaire sur
est une application linéaire de dans
,
étant considéré comme un espace
vectoriel sur lui-même.
Cas particulier : E espace vectoriel de type fini
On suppose que est de dimension . Soit
Caractérisation d'une forme linéaire
Soient
un espace vectoriel de dimension
Une application de
existe
une base de
dans
scalaires
et
.
une base de
est une forme linéaire sur
.
si et seulement si il
tels que pour tout
,
Remarque
l'expression
est une expression polynomiale homogène
de degré 1 par rapport aux coordonnées de
sur la base
.
Ce résultat pourra être rapproché d'une caractérisation des formes quadratiques
sur un espace de type fini.
Forme bilinéaire
Généralités
Définition : forme bilinéaire
Soient
et
deux espaces vectoriels sur
Une forme bilinéaire sur
:


(
est une application
pour fixé dans , l'application
c'est-à-dire une application linéaire de
pour fixé dans , l'application
c'est-à-dire une application linéaire de
Exemple
ou
).
de
dans
, telle que
,
dans
est une forme linéaire sur
.
,
dans
est une forme linéaire sur
.
Soit l'espace vectoriel des applications linéaires de
l'espace des formes linéaires).
dans
(autrement dit
L'application de
dans
qui à
associe
Dans toute la suite on va supposer que
Vocabulaire : Si
Exemple
est une forme bilinéaire.
.
, on parle de forme bilinéaire sur
1. Forme bilinéaire sur
Soit
par :
. Soit
un élément de
C'est une forme bilinéaire sur
et
l'application de
dans
définie
.
Réciproquement toutes les formes bilinéaires sur
soit une forme bilinéaire sur
.
sont de ce type. En effet,
Alors, pour tout
première variable).
(linéarité par rapport à la
Or
de
,
(linéarité par rapport à la deuxième variable).
D'où :
En posant
2. Soit
qui est bien un scalaire, il vient
et
et
l'application de
de
dans
définie pour tout
par
C'est
une
forme
bilinéaire
sur
(vérification immédiate).
Définition : forme bilinéaire symétrique
Soit une espace
symétrique si :
vectoriel
sur
.Une
forme
bilinéaire
sur
est
dite
Exemple
1. Forme bilinéaire symétrique sur
D'après l'exemple précédent, toute forme bilinéaire sur
:
Or il est immédiat que vérifie
forme bilinéaire sur
est symétrique.
2. Soit
associe
3. Soit
de
.
L'application
de
dans
est une forme bilinéaire symétrique.
l'espace vectoriel des fonctions continues de
dans
symétrique sur
définie par :
est de la forme
Donc toute
qui
dans
à
L'application
est une forme bilinéaire
4. Soit
une forme bilinéaire quelconque sur
l'application de
dans
Alors il est facile de vérifier que
définie par :
est une
forme bilinéaire symétrique.
5. Soit
et
et
l'application de
de
par
dans
définie pour tout
On a déjà vu au paragraphe précédent que c'est une forme bilinéaire sur
n'est pas une forme bilinéaire symétrique sur
et
Ce
En effet soit
Alors
et
Définition : forme bilinéaire antisymétrique
Soit une espace
antisymétrique si:
vectoriel
sur
Une
forme
Il est facile de démontrer que cette
à
Démonstration : Démonstration de l'équivalence
Il s'agit donc de démontrer que, si
suivantes sont équivalentes :
bilinéaire
propriété
sur
est
est
dite
équivalente
est une forme bilinéaire, les propriétés
.
.
:
Soit
un élément quelconque de
Comme le corps de base est
Soient
et
ou
deux éléments de
En appliquant
part,
en utilisant
et on obtient :
Or en utilisant
Considérons
on obtient
l'hypothèse
il vient
Donc ces calculs conduisent à l'égalité :
D'où le résultat.
Exemple
on obtient
, cela entraîne
D'une part en utilisant la propriété
D'autre
au couple
bilinéaire
on
peut
développer
1. Soit
associe
L'application
de
dans
qui
est une forme bilinéaire antisymétrique.
à
2. Soit un espace vectoriel de dimension 2 et
L'application de
dans
définie par :
une base de
est une forme bilinéaire antisymétrique.
3. Reprenons l'exemple déjà étudié précédemment.
Soit
et
et
la
de
forme
par
bilinéaire
sur
définie
pour
tout
On a vu que ce n'est pas une forme bilinéaire symétrique. Ce n'est pas non plus
une forme bilinéaire antisymétrique sur
En effet soit
et
Alors
et
Ce dernier exemple montre qu'il y a des formes bilinéaires qui ne sont ni
symétriques ni antisymétriques. Il existe cependant un lien de structure fort
entre ces différentes notions. Cela fait l'objet du paragraphe suivant.
Structure de l'ensemble des formes bilinéaires, de celui des formes bilinéaires
symétriques et de celui des formes bilinéaires antisymétriques
Soit un
vectoriel. On note
l'ensemble des formes bilinéaires
sur
l'ensemble des formes bilinéaires symétriques sur
et
l'ensemble des formes bilinéaires antisymétriques sur
On a alors le théorème
de structure suivant :
Théorème : Structure vectorielle de B(E), S2(E) , et A2(E)
1. L'ensemble
:
2. Les ensembles
a une structure d'espace vectoriel pour les opérations suivantes
et
3. Les sous-espaces vectoriels
:
Preuve
sont des sous-espaces vectoriels de
et
sont supplémentaires c'est-à-dire
Les propriétés 1) et 2) sont immédiates à démontrer.
Démonstration de la propriété 3)
Soit une forme bilinéaire quelconque. Supposons qu'il existe une forme bilinéaire
symétrique et une forme bilinéaire antisymétrique telles que
cela
signifie:
d'où
et donc
Alors, à partir des relations
et
il vient :
Cela prouve l'unicité de l'écriture d'une forme bilinéaire comme somme d'un
élément de
et de
si une telle écriture existe.
Pour montrer l'existence d'une telle décomposition, il suffit de vérifier que les
applications
conviennent autrement dit que
est une forme bilinéaire symétrique sur
est une forme bilinéaire antisymétrique sur
que
et que
Toutes ces vérifications sont immédiates, d'où le résultat.
Remarque
bien observer qu'aucune hypothèse concernant la dimension de
pour démontrer cette propriété.
Exemple
Reprenons l'exemple déjà étudié avec
définie
pour
tout
Alors en utilisant les résultats précédents il vient
et
n'est nécessaire
la forme bilinéaire sur
et
de
par :
avec
Expression explicite d'une forme bilinéaire sur un espace de type fini
Soit un espace vectoriel de type fini, et sa dimension. Soit
une base de et une forme bilinéaire sur
Soient
et
deux éléments de
forme
que l'on peut écrire de manière unique sous la
et
Alors
En utilisant la bilinéarité de
il vient :
Pour mieux comprendre la construction de cette formule, on peut détailler ce
calcul pour
Complément : Calcul dans le cas d'un espace de dimension 3
Soit
un espace vectoriel de dimension 3. Soit
Soit
une forme bilinéaire symétrique sur
Soient
forme
et
deux éléments de
et
une base de
que l'on peut écrire de manière unique sous la
Alors
En utilisant la linéarité par rapport à la première variable, on obtient
En utilisant, pour chaque terme de la somme qui est au second membre, la
linéarité par rapport à la seconde variable on obtient
La forme bilinéaire
est donc entièrement définie par les
scalaires
Réciproquement il est facile de vérifier que toute application de
dans
de
la forme
est une forme bilinéaire (les notations sont celles indiquées ci-dessus).
Cela permet donc d'énoncer la caractérisation, très utile dans la pratique :
Proposition : Caractérisation d'une forme bilinéaire sur un espace de type fini
Soit un espace vectoriel de type fini, et
une base de
Une application de
il existe des scalaires
dans
et
sa dimension. Soit
est une forme bilinéaire sur si et seulement si
tels que pour tout
tout
,
s'écrive
de la manière suivante :
Cette propriété peut être interprétée différemment, de manière à obtenir une
propriété globale de l'espace vectoriel
Base et dimension de B(E)
Introduisons,
pour
tout
bilinéaires
définie par
couple
avec
la
forme
Alors la formule qui vient d'être trouvée
permet d'écrire :
Cela prouve que les formes bilinéaires
engendrent
Or il résulte de la définition des formes bilinéaires
que :
Cela implique que les formes bilinéaires
sont linéairement indépendantes.
Preuve : Preuve de l'indépendance linéaire des formes bilinéaires Bi,j
Soient
scalaires
tels que
Alors pour tout couple
avec
,
, il vient
D'après les relations précédentes, cela donne :
D'où le résultat.
Ces résultats permettent d'énoncer le théorème :
Théorème : Dimension de B(E)
Soit
un espace vectoriel de type fini,
L'espace vectoriel
sa dimension et
une base de
est un espace de type fini et sa dimension est égale à
Plus précisément, les formes bilinéaires
définies pour tout couple
élément
de
par
où
et
sont
les
coordonnées
respectivement de et dans déterminent une base de
La forme bilinéaire est donc entièrement déterminée par les
scalaires
Cela nous conduit à la définition de la matrice associée à une
forme bilinéaire dans une base.
Matrice associée à une forme bilinéaire
Théorème : Matrice associée à une forme bilinéaire dans une base
Soit un espace vectoriel de type fini,
base de
sa dimension et
Soit une forme bilinéaire sur
La matrice associée à
matrice à lignes et colonnes dont le terme de la
colonne est
avec :
Pour tout
élément de
, on a
une
dans la base
ligne et
est la
L'application de
dans
définie par :
est un isomorphisme.
Remarque
bien observer la cohérence de l'ordre des indices sur la formule
Attention
cet isomorphisme n'est pas canonique car il dépend de la base choisie sur
l'intermédiaire des formes bilinéaires
Exemple
par
Reprenons encore l'exemple déjà étudié :
et
la
forme
de
par :
bilinéaire
sur
définie
pour
tout
et
On a déjà vu qu'elle n'est ni symétrique ni antisymétrique.
Il s'agit de déterminer la matrice associée à dans la base canonique, soit
L'élément de la première ligne première colonne de est le coefficient de
dans l'expression explicite de
il est donc égal à 1. De même l'élément de
la première ligne deuxième colonne de est le coefficient de
donc égal à 2.
L'élément de la deuxième ligne première colonne de est le coefficient de
donc égal à -2. Enfin, l'élément de la deuxième ligne deuxième colonne de
est le
coefficient de
donc égal à -1.
La matrice associée à
dans la base canonique est donc
Expression matricielle d'une forme bilinéaire
L'introduction de matrice associée à une forme bilinéaire permet d'écrire le
scalaire
comme un produit de matrices.
La convention suivante est utilisée : la matrice scalaire
scalaire
.
est identifiée au
Soit
un espace vectoriel de type fini,
base de
et
sa dimension,
une
une forme bilinéaire sur
On a trouvé la formule :
Soit
la matrice associée à
dans la base
matrice de
de terme général
Soient
et
dont les éléments sont respectivement les coordonnées de
Alors, en notant
C'est donc la
les matrices colonnes
et dans la base :
il vient :
En notant
,
cela donne :
( en utilisant la convention d'identification indiquée ci-dessus).
La matrice ligne
est égale à
. Comment interpréter la matrice colonne
?
Le scalaire
peut être interprété comme le produit
Donc
et au bilan
D'où le résultat.
Proposition : Expression matricielle d'une forme bilinéaire
Soit un espace vectoriel de type fini, sa dimension,
base de et une forme bilinéaire sur
Soit la matrice associée à
base
une
dans la
Si et sont des éléments quelconques de
et les matrices colonnes dont
les éléments sont les coordonnées de et respectivement dans la base
alors
on a l'égalité :
Remarque
le calcul aurait peut-être paru plus simple si l'on avait démontré cette formule en «
partant » de la droite autrement dit si l'on était parti du calcul du produit de
matrices
Mais cela supposait de connaître à l'avance la formule, alors que
dans la démonstration proposée, on construit la formule.
Changement de base
Bien évidemment la question qui se pose est celle de l'existence d'une formule liant
les matrices associées à une forme bilinéaire dans deux bases différentes.
Soient
et
Soient
et
deux bases de
deux éléments de
la matrice de passage de
de matrices
et
à
dans
et
respectivement. Les formules classiques de changement de base donnent les
relations :
Alors, si
,
est une forme bilinéaire sur
on a
La formule trouvée prouve que
est la matrice associée à
On peut donc énoncer la formule de changement de base :
Proposition : Formule de changement de base
Soit
un espace vectoriel de type fini,
la matrice de passage de
à
Soient
une forme bilinéaire sur
bases
à
Attention
et
sa dimension,
et
dans la base
deux bases de
les matrices associées à
dans les
respectivement. Alors :
Ne pas confondre avec la formule de similitude
qui lie les matrices
associées à un endomorphisme par rapport à deux bases différentes.
Forme bilinéaire symétrique sur un espace de dimension finie
Introduction
Cette partie est consacrée à l'étude des formes bilinéaires symétriques sur un
espace de dimension finie et à la relation existant entre
et l'espace
vectoriel des matrices symétriques.
Matrice associée à une forme bilinéaire symétrique sur un espace de type fini
Soit
une
Si
un espace vectoriel de type fini, et
base
de et une
forme
et
de
on a vu que
sa dimension. Soit
bilinéaire
symétrique
sur
sont deux éléments
et que la matrice associée à
général
Or,
dans la base
est la matrice de terme
est symétrique si et seulement si
,
propriété qui équivaut à :
D'où la proposition.
Proposition : Caractérisation de la matrice associée dans une base à une forme
bilinéaire symétrique
Soit


un espace de type fini.
Quelle que soit la base choisie, la matrice associée à une forme bilinéaire
symétrique est une matrice symétrique.
Si il existe une base telle que la matrice associée à une forme bilinéaire
cette base soit symétrique alors est une forme bilinéaire symétrique.
Exemple
1. Soit
pour tout
et
la forme bilinéaire symétrique (vérification immédiate) définie
et
de
par
Alors la matrice associée à
type
dans
dans la base canonique
de
est une matrice de
à coefficients réels égale à :
2. Soit
pour tout
et
la forme bilinéaire symétrique (vérification immédiate) définie
et
de
par
Alors la matrice associée à
dans la base canonique
de
est la matrice unité
Problème réciproque :
Soit
un espace vectoriel de type finis,
base de
sa dimension et
une
Il est clair que la donnée d'une matrice symétrique
à coefficients dans
permet de construire une forme bilinéaire symétrique
sur
Il suffit de définir, pour tout et compris entre 1 et
par
entre 1 et
Elle est bien symétrique puisque pour tout
et
compris
Cela nous conduit au théorème suivant
Théorème : isomorphisme entre Msym,n(K) et S2(E)
Soit un
vectoriel
vectoriel
vectoriel de type fini, sa dimension. Alors l'espace
des formes bilinéaires symétriques sur est isomorphe à l'espace
des matrices carrées symétriques d'ordre à coefficients dans
Preuve
Ce qui précède prouve l'existence d'une bijection entre ces deux espaces. Il est
simple de vérifier que c'est bien une application linéaire.
Attention, cet isomorphisme n'est pas canonique puisqu'il dépend de la base choisie
sur
Construction de formes bilinéaires symétriques
On a même un résultat plus fort puisque cela donne un procédé de construction de
forme bilinéaire symétrique à partir d'une matrice symétrique.
Soit
une matrice symétrique à coefficients dans
On peut construire un espace vectoriel
une base
de et une forme
bilinéaire symétrique telle que soit la matrice associée à dans
Pour cela on prend
,
la base canonique de
et on définit
par
Exemple
Soit la matrice
C'est une matrice symétrique.
Alors l'application de
par
bilinéaire symétrique sur
canonique.
dans
admettant
définie pour tout
et tout
est une forme
comme matrice associée dans la base
Expression matricielle d'une forme bilinéaire symétrique
En appliquant le résultat général vu pour les formes bilinéaires au cas des formes
bilinéaires symétriques, et en utilisant toujours la même convention (la matrice
scalaire
est identifiée au scalaire
symétrique, où
), il vient :
avec
et
Remarque
Comme
est une matrice de type
donc
a aussi la formule :
Mais comme
, elle est égale à sa transposée et
est symétrique,
et par conséquent on
Cela pouvait aussi être justifié en utilisant la symétrie de
Changement de base
La formule de changement de base, vue pour une forme bilinéaire quelconque, est
évidemment encore valable si la forme est symétrique.
On peut d'ailleurs observer directement que si
matrice
est une matrice symétrique, la
est aussi symétrique.
Forme bilinéaires symétriques et formes quadratiques
Introduction
Dans cette partie est introduite une nouvelle notion celle de forme quadratique.
Elle est tout d'abord étudiée dans le cas d'espace vectoriel quelconque puis dans
celui d'un espace de type fini.
« Forme quadratique associée à une forme bilinéaire symétrique »
Définition : « Forme quadratique associée à une forme bilinéaire symétrique ».
Soit un espace vectoriel sur
symétrique sur
(
ou
) et
une forme bilinéaire
La « forme quadratique associée à la forme bilinéaire symétrique » est
l'application
de dans
qui à tout de associe
c'est-à-dire :
Remarque
Dans cette définition, l'expression « Forme quadratique associée à une forme
bilinéaire symétrique » est considérée comme un seul mot.
Exemple
reprenons les exemples de formes bilinéaires symétriques
1. Soit
définie par
un élément de
et
la forme bilinéaire symétrique sur
Alors
2. Soit
et
la forme bilinéaire symétrique sur
dans
définie par
Alors
3. Soit l'espace vectoriel des fonctions continues de
bilinéaire symétrique sur définie par :
Alors
est l'application de
dans
dans
et
la forme
définie par :
.
Proposition : Quelques propriétés immédiates
Soit
un espace vectoriel sur
symétrique sur
i. Soit
et
ou
),
une forme bilinéaire
la forme quadratique associée à
un élément quelconque de
ii. Pour tout
(
et
appartenant à
un scalaire quelconque. Alors
,
Preuve
Les démonstrations sont simples
1. Soit
Alors
un
élément
quelconque
de
et
un
scalaire
quelconque.
2. Soit
Comme
appartenant à
Alors en utilisant la bilinéarité de
il vient :
est symétrique cela donne
D'où le résultat.
Ces propriétés sont des conditions nécessaires pour qu'une application
de
dans
soit la forme quadratique associée à une forme bilinéaire symétrique
donnée.
En fait, on va définir la notion de forme quadratique « tout court » naturellement à
partir de la définition précédente et montrer que les conditions nécessaires cidessus sont aussi des conditions suffisantes.
Définition d'une forme quadratique
Définition : Définition d'une forme quadratique
Une application de dans
est une forme quadratique sur
forme bilinéaire symétrique sur telle que, pour tout de
si il existe une
Evidemment c'est une définition très simple mais qui n'est pas très commode dans
la pratique, même si parfois l'expression de saute aux yeux.
Le théorème suivant permet d'avoir une caractérisation des formes quadratiques
plus utilisable.
Théorème : Caractérisation des formes quadratiques
Une application
de
dans
est une forme quadratique sur
si et seulement si
les deux propriétés suivantes sont satisfaites :
i.
ii. L'application
définie par
est bilinéaire symétrique.
Si ces conditions sont satisfaites, est la forme quadratique associée à et la
forme bilinéaire symétrique est souvent appelée forme polaire associée à
Il est clair que si les propriétés i) et ii) sont satisfaites, on a :
et donc est la forme quadratique associée à
Remarque
Pour démontrer qu'une application d'un espace vectoriel quelconque (c'est-à-dire
non nécessairement de type fini) dans son corps de base est une forme
quadratique, on a à priori deux méthodes : « deviner » une forme bilinéaire
symétrique telle que
ce qui n'est pas forcément évident, ou
utiliser cette caractérisation. Même si cette deuxième méthode n'est basée que sur
des vérifications, elle n'est pas toujours commode et conduit à des calculs parfois
très compliqués.
Cependant, la propriété i) est souvent utilisée pour démontrer qu'une application
n'est pas une forme quadratique.
Complément : Commentaire sur le choix fait pour la définition d'une forme
quadratique
Nous avons fait le choix de définir les formes quadratiques à partir des formes
bilinéaires symétriques.
On trouve chez certains auteurs une définition des formes quadratiques simplement
à partir des formes bilinéaires. La définition est alors la suivante : une
application de dans
est une forme quadratique s'il existe une forme
bilinéaire (quelconque) telle que pour tout de
on ait
.
Immédiatement cette définition est suivie de la propriété : Soit une forme
quadratique sur
Il existe une unique forme bilinéaire symétrique telle que
pour tout de
on ait
La forme est appelée forme polaire
de
Et à partir de là, c'est la forme polaire qui est utilisée et non pas la forme
bilinéaire quelconque initiale. Donc le reste de l'étude est tout à fait semblable à
ce qui est développé dans ce cours.
Il nous est apparu inutile d'introduire cette étape supplémentaire qui n'a aucun rôle
dans la suite de l'étude.
Dans le cas d'une forme quadratique sur un espace de type fini on a une
caractérisation beaucoup plus simple qui est utilisée systématiquement. C'est
l'objet du paragraphe suivant.
Forme quadratique sur un espace vectoriel de type fini
Soit un espace vectoriel de type fini, sa dimension,
base de et une forme bilinéaire symétrique sur
Soit
à dans la base C'est une matrice symétrique.
une
la matrice associée
Si
sont
des
éléments
quelconques de
et si
et sont les matrices colonnes dont les éléments sont
les coordonnées de et respectivement dans la base
alors
Il
s'en déduit immédiatement que :
Si l'on développe ce produit matriciel, il vient
Introduisons la définition suivante :
Définition : Expression polynomiale homogène de degré 2
Soit une application de dans
pour laquelle il existe
tels que l'application soit définie par :
éléments de
,
,
avec
On dit que
aux
est une expression polynomiale homogène de degré 2 par rapport
Il résulte de la formule
que
est une expression polynomiale
homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées de dans la base de
Réciproquement si l'on a une expression polynomiale homogène de degré 2 par
rapport aux coordonnées de dans la base de , c'est une forme quadratique
sur
En effet, soit
de
une application de
tels que
dans
pour laquelle il existe
éléments
soit l'application définie par :
On peut écrire autrement cette expression en mettant en évidence les termes «
carrés » c'est à dire de la forme
forme
est
avec
et les termes « rectangles » c'est-à-dire de la
Le coefficient du terme
, enfin celui du terme
est
est
; celui du terme
Bien évidemment on peut regrouper ces
deux derniers termes, ce qui permet d'écrire :
Soient
les
scalaires
à
définis
pour
tout
couple
appartenant
par
Ils vérifient en particulier les relations
Alors, il vient que
Deux façons de terminer la démonstration.
Méthode : Méthode matricielle
Cette formule peut être écrite matriciellement sous la forme :
où
est la matrice de terme général
La démonstration est du même type que celle faite pour trouver l'expression
matricielle d'une forme bilinéaire symétrique. Voir la démonstration ci-après.
Alors si est la forme bilinéaire symétrique sur dont la matrice associée dans la
base est égale à
est la forme quadratique associée à
Vocabulaire :
On dit indifféremment que est la matrice associée à
dans la base
Démonstration : Démonstration de la formule (**)
ou la matrice associée à
Soit la matrice de
de terme général
Soit
la matrice colonne dont
les éléments sont les coordonnées de dans la base
,
Alors, il vient :
En notant
,
cela donne
La matrice ligne
est égale à
Le scalaire
peut être interprété comme le produit
Donc
et au bilan
(avec bien sûr la convention d'identifier un matrice
à un scalaire) où
une matrice symétrique.
Méthode : Méthode utilisant la caractérisation d'une forme quadratique.
Il suffit de vérifier à partir de l'expression
que l'application vérifie les deux conditions :
i.
ii. L'application
définie par
est bilinéaire symétrique.
est
(les calculs à faire sont simples)
D'où la propriété suivante :
Proposition : Caractérisation d'une forme quadratique sur un espace de type
fini.
Soit
un espace vectoriel de type fini.
Une application de dans
est une forme quadratique sur si, étant un
élément quelconque de ,
est une expression polynômiale homogène de
degré 2 par rapport aux coordonnées de sur une base de
Dans la pratique, lorsque est un espace de type fini, cela donne un procédé
extrêmement commode pour reconnaître si une application de dans
est une
forme quadratique.
Isomorphisme entre espace des formes bilinéaires symétriques et espace des formes
quadratiques
Ces résultats permettent d'énoncer le théorème fondamental suivant, valable dans
un espace vectoriel quelconque.
Théorème : Isomorphisme entre S2(E) et Q(E)
Soit un espace vectoriel sur
Soient
l'espace vectoriel des formes
bilinéaires symétriques et
l'ensemble des formes quadratiques sur
1. L'ensemble
a une structure d'espace vectoriel pour les opérations :
2. L'application qui à
appartenant à
associe la forme quadratique
est un isomorphisme entre
et
dont l'application
réciproque associe à appartenant à
la forme bilinéaire symétrique :
Cas d'un espace de type fini
Soit un espace de dimension et
une base de
On a vu que
si est une forme quadratique, il existe des scalaires
tels que pour tout et
compris entre 1 et
et tels que :
Notons
et
La propriété
les formes quadratiques
équivaut à :
et
la propriété
prouve que les formes
et
forment une famille génératrice
de
Il est immédiat de vérifier qu'elles sont linéairement indépendantes. Elles
définissent donc une base de
Cela prouve que
est de type fini.
La base trouvée est extrêmement utile pour déterminer simplement la forme
polaire associée à une forme quadratique donnée (dans l'autre sens si on connaît
la forme bilinéaire symétrique, trouver la forme quadratique associée est
immédiat, il suffit d'écrire
En effet, à cause de l'isomorphisme indiqué dans le théorème, si
polaire associée à
vient :
celle associée à
et les formes bilinéaires symétriques
et si
et
est la forme
celle associée à
définissent une base de
il
Il ne
reste donc qu'à les déterminer.
En utilisant la définition d’une forme quadratique, il vient
et
D'où la proposition :
Proposition : base de Q(E) et de S2(E)
Soit
de
les
un espace de dimension
s'écrit de manière unique sous la forme
formes
quadratiques
et
définies
par
une base de
Tout élément
Alors
et
définissent une base de
Leurs images par l'isomorphisme entre
sont les formes bilinéaires symétriques et
, définies par :
et
Ces formes bilinéaires symétriques
et
Ce qui donne le corollaire pratique suivant :
définissent une base de
et
Corollaire : Expression explicite de la forme polaire d'une forme quadratique
Soit un espace de dimension et
une base de
Si est une
forme quadratique et la forme bilinéaire symétrique qui lui est associée (on dit
aussi forme polaire de
il existe des scalaires
tels que pour tout et
compris entre 1 et
et tels que, pour tout
,
et tout
:
Ce résultat est constamment utilisé dans la pratique.
Exemple
Soit
Soit
l'application de
Comme
dans
définie pour tout
par
est une expression polynômiale homogène de degré
par rapport aux
coordonnées
de dans la base canonique, c'est une forme quadratique et sa
forme polaire est définie pour tout
et
de
par
La matrice associée à
(ou à
dans la base canonique de
est :
La connaissance d'une base explicite permet de déterminer la dimension de
et de
Proposition : Dimension de Q(E) et de S2(E)
Soit
un espace de dimension
Alors
est un espace de type fini et
Preuve : Preuve de la formule
Pour trouver la dimension de l'espace vectoriel des formes quadratiques il suffit de
compter les éléments de la base trouvée donc le nombre de formes
où est un
entier compris entre 1 et et de formes
avec
Il y a
exactement
distincts
et
formes
parmi
et
(autant que de façons de prendre deux éléments
éléments)
formes
.
.
Comme
,
on
a