: les formes bilinéaires et les formes quadratique sur R et C Cours

: les formes bilinéaires et les formes quadratique sur R et C Cours
Forme linéaire
Définition : Forme linéaire
Soit un espace vectoriel sur ( ou ). Une forme linéaire sur
est une application linéaire de dans , étant considéré comme un espace
vectoriel sur lui-même.
Cas particulier : E espace vectoriel de type fini
On suppose que est de dimension . Soit une base de .
Caractérisation d'une forme linéaire
Soient un espace vectoriel de dimension et une base de .
Une application de dans est une forme linéaire sur si et seulement si il
existe scalaires tels que pour tout ,
Remarque
l'expression est une expression polynomiale homogène
de degré 1 par rapport aux coordonnées de sur la base .
Ce résultat pourra être rapproché d'une caractérisation des formes quadratiques
sur un espace de type fini.
Forme bilinéaire
Généralités
Définition : forme bilinéaire
Soient et deux espaces vectoriels sur ( ou ).
Une forme bilinéaire sur est une application de dans , telle que
:
 pour fixé dans , l'application est une forme linéaire sur ,
c'est-à-dire une application linéaire de dans .
 pour fixé dans , l'application est une forme linéaire sur ,
c'est-à-dire une application linéaire de dans .
Exemple
Soit l'espace vectoriel des applications linéaires de dans (autrement dit
l'espace des formes linéaires).

L'application de dans qui à associe est une forme bilinéaire.
Dans toute la suite on va supposer que .
Vocabulaire : Si , on parle de forme bilinéaire sur
Exemple
1. Forme bilinéaire sur
Soit . Soit un élément de et l'application de dans définie
par :
C'est une forme bilinéaire sur .
Réciproquement toutes les formes bilinéaires sur sont de ce type. En effet,
soit une forme bilinéaire sur .
Alors, pour tout de , (linéarité par rapport à la
première variable).
Or (linéarité par rapport à la deuxième variable).
D'où :
En posant qui est bien un scalaire, il vient
2. Soit et l'application de dans définie pour tout
et de par
C'est une forme bilinéaire sur
(vérification immédiate).
Définition : forme bilinéaire symétrique
Soit une espace vectoriel sur .Une forme bilinéaire sur est dite
symétrique si :
Exemple
1. Forme bilinéaire symétrique sur
D'après l'exemple précédent, toute forme bilinéaire sur est de la forme
: Or il est immédiat que vérifie Donc toute
forme bilinéaire sur est symétrique.
2. Soit . L'application de dans qui à
associe est une forme bilinéaire symétrique.
3. Soit l'espace vectoriel des fonctions continues de dans L'application
de dans définie par : est une forme bilinéaire
symétrique sur

4. Soit une forme bilinéaire quelconque sur Alors il est facile de vérifier que
l'application de dans définie par : est une
forme bilinéaire symétrique.
5. Soit et l'application de dans définie pour tout
et de par
On a déjà vu au paragraphe précédent que c'est une forme bilinéaire sur Ce
n'est pas une forme bilinéaire symétrique sur En effet soit
et
Alors et
Définition : forme bilinéaire antisymétrique
Soit une espace vectoriel sur Une forme bilinéaire sur est dite
antisymétrique si:
Il est facile de démontrer que cette propriété est équivalente
à
Démonstration : Démonstration de l'équivalence
Il s'agit donc de démontrer que, si est une forme bilinéaire, les propriétés
suivantes sont équivalentes :
.
.
:
Soit un élément quelconque de En appliquant au couple on obtient
Comme le corps de base est ou , cela entraîne
Soient et deux éléments de Considérons
D'une part en utilisant la propriété on obtient
D'autre part, en utilisant l'hypothèse bilinéaire on peut développer
et on obtient :
Or en utilisant il vient
Donc ces calculs conduisent à l'égalité :
D'où le résultat.
Exemple

1. Soit L'application de dans qui à
associe est une forme bilinéaire antisymétrique.
2. Soit un espace vectoriel de dimension 2 et une base de
L'application de dans définie par :
est une forme bilinéaire antisymétrique.
3. Reprenons l'exemple déjà étudié précédemment.
Soit et la forme bilinéaire sur définie pour tout
et de par
On a vu que ce n'est pas une forme bilinéaire symétrique. Ce n'est pas non plus
une forme bilinéaire antisymétrique sur En effet soit et
Alors et
Ce dernier exemple montre qu'il y a des formes bilinéaires qui ne sont ni
symétriques ni antisymétriques. Il existe cependant un lien de structure fort
entre ces différentes notions. Cela fait l'objet du paragraphe suivant.
Structure de l'ensemble des formes bilinéaires, de celui des formes bilinéaires
symétriques et de celui des formes bilinéaires antisymétriques
Soit un vectoriel. On note l'ensemble des formes bilinéaires
sur l'ensemble des formes bilinéaires symétriques sur et
l'ensemble des formes bilinéaires antisymétriques sur On a alors le théorème
de structure suivant :
Théorème : Structure vectorielle de B(E), S2(E) , et A2(E)
1. L'ensemble a une structure d'espace vectoriel pour les opérations suivantes
:
2. Les ensembles et sont des sous-espaces vectoriels de
3. Les sous-espaces vectoriels et sont supplémentaires c'est-à-dire
:
Preuve
Les propriétés 1) et 2) sont immédiates à démontrer.
Démonstration de la propriété 3)

Soit une forme bilinéaire quelconque. Supposons qu'il existe une forme bilinéaire
symétrique et une forme bilinéaire antisymétrique telles que cela
signifie:
d'où
et donc
Alors, à partir des relations et il vient :
Cela prouve l'unicité de l'écriture d'une forme bilinéaire comme somme d'un
élément de et de si une telle écriture existe.
Pour montrer l'existence d'une telle décomposition, il suffit de vérifier que les
applications
conviennent autrement dit que est une forme bilinéaire symétrique sur que
est une forme bilinéaire antisymétrique sur et que
Toutes ces vérifications sont immédiates, d'où le résultat.
Remarque
bien observer qu'aucune hypothèse concernant la dimension de n'est nécessaire
pour démontrer cette propriété.
Exemple
Reprenons l'exemple déjà étudié avec et la forme bilinéaire sur
définie pour tout et de par :
Alors en utilisant les résultats précédents il vient avec