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Mines Maths 1 MP 2013 — Énoncé 1/4
ÉCOLE DESPONTSPARISTECH,
SUPAÉRO(ISAE), ENSTAPARISTECH,
TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINESDE NANCY,
TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈREMP),
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRETSI).
CONCOURS2013
PREMIÈRE ÉPREUVEDEMATHÉMATIQUES
FilièreMP
(Duréede l’épreuve:3heures)
L’usage d’ordinateuroude calculetteestinterdit.
Sujetmis àla disposition des concours :
CYCLEINTERNATIONAL,ENSTIM, TELECOM INT,TPE-EIVP.
Lescandidats sontpriés de mentionner de façon apparente
sur la premièrepage de la copie :
MATHÉMATIQUES I-MP.
L’énoncéde cetteépreuvecomporte 4pagesde texte.
Si,au cours del’épreuve,uncandidat repèrece quilui semble êtreune erreur d’énoncé,
il le signalesursa copie et poursuit sa compositionen expliquantles raisonsdes
initiativesqu’il est amenéàprendre.
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Mines Maths 1 MP 2013 — Énoncé 2/4
Applicationsbilinéaires symétriques plates
Danstoutle problème, n est un entier supérieurou égal à2et p est un
entiersupérieur ou égal à1. Les espaces vectoriels Rn et Rp sont munis deleurs
produits scalaires canoniques,notés 〈·,·〉 ;en particulier pour p= 1, c’est le
produit usueldansR.
Onrappelle qu’une application ϕ de Rn×Rn dans Rp est bilinéairelorsque
pour tous x,y dans Rn ,les deux applications partielles z7→ ϕ ( z,y )et z7→ ϕ ( x,z )
de Rn dans Rp sont linéaires.L’applicationbilinéaire ϕ est dite symétriquesi
ϕ ( x,y ) =ϕ ( y,x )pour tous x,y dans Rn .Enparticulier,lorsque p= 1, ondit que
ϕest une forme bilinéairesymétrique.
Soit ϕ uneapplication bilinéaire symétrique .Onappelle noyau de ϕ et on
note Kerϕ l’ensembledes vecteurs x∈Rn tels quepour tout y∈Rn , ϕ ( x,y ) = 0.
Ondit que ϕ est diagonalisables’il existe une base ( ei )
1ÉiÉn
de Rn telle que pour
tous i6= j , ϕ ( ei,ej ) = 0. Enfin,on dit que ϕ est plate (relativement auproduit
scalairedeRp)si pour tousles vecteurs x,y,z,wde Rn,on a:
〈ϕ(x,y),ϕ(z,w)〉=〈ϕ(x,w), ϕ(z,y)〉.
Le butduproblème est d’établir,souscertaines conditions,qu’une applica-
tion bilinéairesymétrique plate est diagonalisable.
Les parties A, BetCsont indépendantesles unes des autres.
A.Formes bilinéaires symétriquesplates
Danstoute cette partieon pose p= 1. Soit ϕ : Rn×Rn→R uneforme bili-
néairesymétrique.
1)
Justifier qu’il existe ununiqueendomorphisme u de Rn telque pourtous
x,y dans Rn , ϕ ( x,y ) =〈u ( x ) ,y〉 .Vérifier que u est symétrique eten déduire
queϕest diagonalisable.
Onnote Rn∗ l’espace dualde Rn constituédes formes linéaires sur Rn .Si a et b
sont dans Rn∗ ,on définitl’application a⊗b de Rn×Rn àvaleurs dans R ,en
posant (a⊗b)(x,y)=a(x)b(y)pour tousx,ydansRn.
2)
Montrer quepour tous a,b∈Rn∗ , a⊗b est uneformebilinéairesur Rn .
Donner une condition nécessaireet suffisante pour qu’elle soit symé-
trique.
Onrappelleque le rang d’une forme bilinéairesymétrique ϕ : Rn×Rn→R est
égal au rang de lamatrice
¡ϕ
( ei,ej )
¢1Éi,jÉn
où ( ei )
1ÉiÉn
est unebase quelconque
de Rn.
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Mines Maths 1 MP 2013 — Énoncé 3/4
3) Onsuppose dans cettequestionque ϕ est de rang 1.Montrer qu’il existe
uneforme linéaire f∈Rn∗ telle que ϕ= ± f⊗f .(Onpourraconsidérer la
base duale d’unebase qui diagonalise ϕ.)
4) Endéduirequ’une forme bilinéairesymétrique de rang 1est plate.
5)
Réciproquement, soit ϕ uneformebilinéairesymétriqueplatenon nulle.
Quel estle rangdeϕ?
B. Diagonalisationsimultanée
Soit ( ui )
i∈I
unefamille quelconque d’endomorphismes autoadjointsd’un
espace euclidien E de dimension n ,qui commutent deuxàdeux : ui◦uj=uj◦ui
pour tous i,j dans I .Onse propose de démontrer par récurrence sur n qu’il
existe unebase orthonormée de
E quidiagonalise touscesendomorphismes.
Le résultat étantévidentpour n= 1, on suppose que n> 1etquelerésultat est
vraipour toute dimension strictement inférieureàn.
6)
Soit i0∈I .Montrer que si ui0 n’est pas unehomothétie,les sous-espaces
propres de ui0 sont dedimension strictementinférieureà n .Montrer par
ailleursqueces sous-espaces sontstablespar tousles endomorphismes ui .
7) Conclure.
C. Vecteursréguliers
Soit ϕ uneapplicationbilinéairesymétriquenon nulle de Rn×Rn dans Rp .Si
x∈Rn ,on note
˜
ϕ
( x )l’application linéairequi àtout y∈Rn associe ϕ ( x,y ) ∈Rp .
Onadonc
˜
ϕ
( x )( y ) =ϕ ( x,y )pourtous x,y∈Rn .Le noyau et l’image de
˜
ϕ
( x )sont
notés respectivementKer ˜ ϕ(x)et Im˜ ϕ(x).
On note q la dimensionmaximale de Im˜ ϕ ( x )lorsque x parcourt Rn ,et on
choisit un vecteur v de Rn telque la dimension de Im˜ ϕ ( v )soitégale à q .Untel
vecteurvest qualifié de régulier pour ϕ.
8)
Danscette question préliminaire,on se donnedeuxmatrices carrées A,B
d’ordre n àcoefficients réels.Montrer que si A ou B est inversible,alors
A+tB l’est aussi pourtout t∈R sauf éventuellement pour un nombrefini
de valeurs det.
9)
Soit r unentier naturel non nulet ( a1,a2, .. ., ar ), ( b1,b2,. ..,br )deuxfa-
milles de vecteurs de
Rp .Montrer quesi ( a1,a2, .. ., ar )est libre,alors
(
a1+tb1,a2+tb2, .. ., ar+tbr )est égalementlibre pour tout réel t sauf
éventuellementpourun nombrefinidevaleurs de t.
Enparticulier ( a1+tb1,a2+tb2, .. ., ar+tbr )seralibrepourtout t dans
unvoisinagede0.
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Mines Maths 1 MP 2013 — Énoncé 4/4
10) Montrer quepour toutx∈Rnet touty∈Ker ˜ ϕ(v), on aϕ(x,y)∈Im˜ ϕ(v).
Onpourraraisonner par l’absurde en montrant l’existence de vecteurs
e1,...,eqde Rntels quela famille ¡ϕ(v,e1),...,ϕ(v,eq),ϕ(x,y)¢soit libre.
11)
Danscettequestion,on suppose que ϕ est plate.Montrer que Kerϕ=
Ker ˜ ϕ(v). Side plus,Kerϕ={0}, en déduirequepÊn.
Onrevientau cas généraloù ϕ est uneapplication bilinéairesymétrique non
nulle.
12)
Montrer que l’ensemble V des vecteurs réguliers pour ϕ est un ouvert
de Rn.
13) Montrer queVest dense dansRn.
D.Le cas p=nde noyau nul
Danscettepartie, ϕ désigneune applicationbilinéairesymétrique plate
de
Rn×Rn dans Rn ,dontlenoyauest réduit à Kerϕ={ 0 } .Onfixe unvecteur
régulier vpour ϕ.
14) Montrer que˜ ϕ(v)est un automorphisme.
Pour toutx∈Rn,on définit l’endomorphisme ψ(x)=˜ ϕ(x)◦˜ ϕ(v)−1.
15)
Enutilisant la définitiond’une applicationbilinéaireplate,montrerque
ψ(x)est auto-adjoint.
16)
Montrer quepour tous x,y∈Rn , ψ ( x ) ◦ψ ( y ) =ψ ( y ) ◦ψ ( x ). Endéduirequ’il
existe unebaseorthonormée ( e1,e2,...,en )de Rn diagonalisant simulta-
nément tousles endomorphismes ψ(x).
17)
Construireàl’aide de ( e1,e2,...,en )unebase quidiagonalise ϕ .Onpourra
utiliser la symétrie de ϕ.
FINDUPROBLÈME
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