N1MA3W01 Algèbre 2 - Partiel 2 Correction Lundi 17 Novembre

N1MA3W01 Algèbre 2 - Partiel 2
Correction
Lundi 17 Novembre 2014, 17h-18h30
Exercice 1(sur 6points)
On considère la matrice
A=
760−3
2 3 1 1
0 0 2 0
0 0 1 2
.
1. Calculer les valeurs et vecteurs propres de la matrice
A1=7 6
2 3.
2. Calculer les valeurs et vecteurs propres de la matrice
A2=2 0
1 2.
3. En déduire les valeurs et vecteurs propres de la matrice A.
4. Trigonaliser A.
Correction
1. Pour 1point, on trouve que le polynôme caractéristique est
PA1(X) =?.On en déduit donc que ? est valeur propre... On
cherche ensuite un vecteur colonne X= (x, y)tnon nul tel que
(A1−?Id)X= 0...
2. Pour 1point, on trouve que le polynôme caractéristique est
PA2(X) = .

3. Pour 2points, en utilisant les règles du déterminant par blocs,
on obtient que ...
4. Pour 2points, on obtient que A=PTP−1avec ...
Exercice 2(sur 4points)
Soit Eun espace vectoriel de dimension nsur K, muni de la
base β= (e1, . . . , en), et soit β∗= (e∗
1, . . . , e∗
n)la base duale. On
pose pour tout 16i, j 6n, pour tout x, y dans E,
ϕi,j (x, y) := e∗
i(x)e∗ j(y).
1. Montrer que ϕi,j est une forme bilinéaire.
2. Déterminer la matrice de ϕi,j dans la base β.
Correction
1. Pour 2points, on vérifie la bilinéarité d’un produit de formes
linéaires.
2. Pour 2points, on dit que pour tout k, l, on a
ϕi,j (ek, el) := e∗
i(ek)e∗ j(el) = δi,kδj,l.
Par conséquent la matrice de ϕi,j dans la base βa pour coeffi-
cients 1en ième ligne et jème colonne, et 0partout ailleurs.
Exercice 3(sur 6points)
On note, pour x= (x1, x2, x3)dans R3,
q(x) = x2
1+ 2x2 2+ 4x1x2+ 4x1x3+ 2x2x3.
1. Montrer que qdéfinit une forme quadratique sur R3.
2. Ecrire la forme polaire de cette forme quadratique.
3. Déterminer son rang et sa signature.
2

Correction
1. Pour 1point, on observe que qest un polynôme homogène de
degré 2.
2. Pour 2points, on observe que la forme polaire de cette forme
quadratique est définie pour x= (x1, x2, x3)et y= (y1, y2, y3)
dans R3,
ϕ(x, y) = x1y1+2x2y2+2x1y2+2y1x2+ 2x1y3+2y1x3+x2y3+y2x3.
En effet on vérifie aisément que ϕest un forme bilinéaire symé-
trique et que pour x= (x1, x2, x3)dans R3,
q(x) = ϕ(x, x).
3. Pour 3points, on applique la méthode de réduction de Gauss :
q(x) =x2
1+ 4x1(x2+x3)+2x2 2+ 2x2x3
=(x1+ 2(x2+x3))2−4(x2+x3)2+ 2x2
2+ 2x2x3
=(x1+ 2(x2+x3))2−2x2
2−4x2 3−6x2x3
=(x1+ 2(x2+x3))2−2(x2
2+ 3x2x3)2−4x2 3
=(x1+ 2(x2+x3))2−2(x2+3
2x3)2+9 2x2
3−4x2 3
=(x1+ 2(x2+x3))2−2(x2+3
2x3)2+1 2x2
3
=φ2
1+φ2 2−φ2 3,
où
φ1(x) =x1+ 2x2+ 2x3,
φ2(x) = 1
√2x2+3
2√2x3,
φ3(x) =√2x3.
sont trois formes linéaires indépendantes. Par conséquent, qest
de rang 3et de signature (2,1).
Exercice 3(sur 4 points)
Soit ϕl’application de M2(R)×M2(R)vers Rpar
ϕ(A, B) = det(A+B)−det(A−B).
3

On rappelle que la base canonique de M2(R)est constituée des ma-
trices dont un seul coefficient est 1et les autres sont nuls.
1. Montrer que ϕest une forme bilinéaire symétrique.
2. Déterminer la matrice de ϕdans la base canonique.
Correction
1. Pour 2points, on énumère la base canonique de M2(R)de sorte
qu’une matrice
A=a b
c d
s’identifie au quadruplet (a, b, c, d). De même, la matrice
B=α β
γ δ
s’identifie au quadruplet (α, β, γ, δ). Un rapide calcul montre
alors que
ϕ(A, B) =(a+α)(d+δ)−(b+β)(c+γ)
−(a−α)(d−δ)+(b−β)(c−γ)
=2aδ + 2dα −2bγ −2βc.
On constate alors que ϕest une forme bilinéaire symétrique.
2. Pour 2points, on déduit du calcul précédent que la matrice de
ϕdans la base canonique est
0 0 0 2
0 0 −2 0
0−200
2 0 0 0
.
4