N1MA3W01 Algèbre 2 - Partiel 2 Correction Lundi 17 Novembre

N1MA3W01 Algèbre 2 - Partiel 2
Correction
Lundi 17 Novembre 2014, 17h-18h30
Exercice 1 (sur 6 points)
On considère la matrice

7
2
A=
0
0
6
3
0
0
0
1
2
1

−3
1
.
0
2
1. Calculer les valeurs et vecteurs propres de la matrice
7 6
A1 =
.
2 3
2. Calculer les valeurs et vecteurs propres de la matrice
2 0
A2 =
.
1 2
3. En déduire les valeurs et vecteurs propres de la matrice A.
4. Trigonaliser A.
Correction
1. Pour 1 point, on trouve que le polynôme caractéristique est
PA1 (X) =?. On en déduit donc que ? est valeur propre... On
cherche ensuite un vecteur colonne X = (x, y)t non nul tel que
(A1 −?Id)X = 0...
2. Pour 1 point, on trouve que le polynôme caractéristique est
PA2 (X) = .
3. Pour 2 points, en utilisant les règles du déterminant par blocs,
on obtient que ...
4. Pour 2 points, on obtient que A = P T P −1 avec ...
Exercice 2 (sur 4 points)
Soit E un espace vectoriel de dimension n sur K, muni de la
base β = (e1 , . . . , en ), et soit β ∗ = (e∗1 , . . . , e∗n ) la base duale. On
pose pour tout 1 6 i, j 6 n, pour tout x, y dans E,
ϕi,j (x, y) := e∗i (x)e∗j (y).
1. Montrer que ϕi,j est une forme bilinéaire.
2. Déterminer la matrice de ϕi,j dans la base β.
Correction
1. Pour 2 points, on vérifie la bilinéarité d’un produit de formes
linéaires.
2. Pour 2 points, on dit que pour tout k, l, on a
ϕi,j (ek , el ) := e∗i (ek )e∗j (el ) = δi,k δj,l .
Par conséquent la matrice de ϕi,j dans la base β a pour coefficients 1 en ième ligne et jème colonne, et 0 partout ailleurs.
Exercice 3 (sur 6 points)
On note, pour x = (x1 , x2 , x3 ) dans R3 ,
q(x) = x21 + 2x22 + 4x1 x2 + 4x1 x3 + 2x2 x3 .
1. Montrer que q définit une forme quadratique sur R3 .
2. Ecrire la forme polaire de cette forme quadratique.
3. Déterminer son rang et sa signature.
2
Correction
1. Pour 1 point, on observe que q est un polynôme homogène de
degré 2.
2. Pour 2 points, on observe que la forme polaire de cette forme
quadratique est définie pour x = (x1 , x2 , x3 ) et y = (y1 , y2 , y3 )
dans R3 ,
ϕ(x, y) = x1 y1 + 2x2 y2 + 2x1 y2 + 2y1 x2 + 2x1 y3 + 2y1 x3 + x2 y3 + y2 x3 .
En effet on vérifie aisément que ϕ est un forme bilinéaire symétrique et que pour x = (x1 , x2 , x3 ) dans R3 ,
q(x) = ϕ(x, x).
3. Pour 3 points, on applique la méthode de réduction de Gauss :
q(x) =x21 + 4x1 (x2 + x3 ) + 2x22 + 2x2 x3
=(x1 + 2(x2 + x3 ))2 − 4(x2 + x3 )2 + 2x22 + 2x2 x3
=(x1 + 2(x2 + x3 ))2 − 2x22 − 4x23 − 6x2 x3
=(x1 + 2(x2 + x3 ))2 − 2(x22 + 3x2 x3 )2 − 4x23
3
=(x1 + 2(x2 + x3 ))2 − 2(x2 + x3 )2 +
2
3
=(x1 + 2(x2 + x3 ))2 − 2(x2 + x3 )2 +
2
2
2
2
=φ1 + φ2 − φ3 ,
9 2
x − 4x23
2 3
1 2
x
2 3
où
φ1 (x) =x1 + 2x2 + 2x3 ,
3
1
φ2 (x) = √ x2 + √ x3 ,
2
2 2
√
φ3 (x) = 2x3 .
sont trois formes linéaires indépendantes. Par conséquent, q est
de rang 3 et de signature (2, 1).
Exercice 3 (sur 4 points)
Soit ϕ l’application de M2 (R) × M2 (R) vers R par
ϕ(A, B) = det(A + B) − det(A − B).
3
On rappelle que la base canonique de M2 (R) est constituée des matrices dont un seul coefficient est 1 et les autres sont nuls.
1. Montrer que ϕ est une forme bilinéaire symétrique.
2. Déterminer la matrice de ϕ dans la base canonique.
Correction
1. Pour 2 points, on énumère la base canonique de M2 (R) de sorte
qu’une matrice
a b
A=
c d
s’identifie au quadruplet (a, b, c, d). De même, la matrice
α β
B=
γ δ
s’identifie au quadruplet (α, β, γ, δ). Un rapide calcul montre
alors que
ϕ(A, B) =(a + α)(d + δ) − (b + β)(c + γ)
− (a − α)(d − δ) + (b − β)(c − γ)
=2aδ + 2dα − 2bγ − 2βc.
On constate alors que ϕ est une forme bilinéaire symétrique.
2. Pour 2 points, on déduit du calcul précédent que la matrice de
ϕ dans la base canonique est


0 0
0 2
0 0 −2 0


0 −2 0 0 .
2
0
0
4
0