Transformations linéaires et affines.

Transformations lin´eaires et affines.
I. G´en´eralit´es.
Dans tout cet expos´e nous nous limiterons `a des R-espaces vectoriels ou des
espaces affines de dimension finie.
Les propri´et´es des applications lin´eaires ou homomorphismes d’espace vectoriel
sont suppos´ees connues ainsi que le th´eor`eme fondamental suivant :
Th´eor`eme.
Si l’espace vectoriel (E, +, .) est somme directe des deux sous espaces E1et E2,
tout vecteur −→
ude Ese d´ecompose de fa¸con unique en somme d’un vecteur −→
u1
de E1et d’un vecteur −→
u2de E2et les applications −→
u7−→ −→
u1et −→ u7−→ −→ u2sont
des applications lin´eaires.
II. Projection vectorielle ou projecteur.
Etant donn´es E1et E2deux sous espaces suppl´ementaires du R-espace vectoriel
(E, +, .), ce que nous notons E=E1⊕E2, tout vecteur −→ ude Ese d´ecompose
de fa¸con unique en somme d’un vecteur −→ u1de E1et d’un vecteur −→
u2de E2. On
appelle projection sur E2selon E1l’endomorphisme de (E, +, .) :
ϕ:−→
u7−→ −→ u2
L’endomorphisme ϕn’est bien sˆur pas bijectif.
Th´eor`eme.
Le sous espace E2=Im(ϕ) est invariant par ϕ:
∀−→ u∈E−→ u∈E2⇐⇒ ϕ(−→ u) = −→
u
Th´eor`eme.
Un endomorphisme ϕde (E, +, .) est idempotent si et seulement si ϕest une
projection vectorielle.
Seule la r´eciproque m´erite qu’on s’y attarde. “ Id ” ´etant l’application identique
de Esur E, on note F=Ker(ϕ) et G=Ker(Id −ϕ).
D’une part, pour tout vecteur −→ x∈F∩G, ϕ(−→
x) = −→ 0 et −→
x−ϕ(−→
x) = −→
0
entraˆıne F∩G={−→
0}. D’autre part −→ x´etant un vecteur quelconque de Eon
peut poser −→ x1=−→ x−ϕ(−→ x) et −→
x2=ϕ(−→
x). On v´erifie facilement ( idempotence )
−→
x1∈Fet −→
x2∈Gce qui entraˆıne, d’une part que Epeut s’´ecrire E=E1⊕E2,
d’autre part que ϕ(−→ x) est la projection de −→ xsur Gselon F.
III. Groupe lin´eaire de E.
L’ensemble des automorphisme ( endomorphismes inversibles ) de (E, +, .) muni
de la composition des fonctions a une structure de groupe. On appelle ce groupe
le groupe lin´eaire de (E, +, .). On note toujours “ Id ” ou “ IdE” son ´el´ement
neutre.
Glineair, page 1/11 - 6 juin 2005

Nous allons voir maintenant quelques sous ensembles du groupe lin´eaire de
(E, +, .).
Affinit´e vectorielle.
Etant donn´es E1et E2deux sous espaces suppl´ementaires du R-espace vectoriel
(E, +, .), ce que nous notons E=E1⊕E2, tout vecteur −→ ude Ese d´ecompose
de fa¸con unique en somme d’un vecteur −→
u1de E1et d’un vecteur −→
u2de E2. On
appelle affinit´e vectorielle de base E2, de rapport λ∈R∗, selon la direction E1,
l’endomorphisme de (E, +, .) :
ϕ:−→ u7−→ λ.−→
u1+−→ u2
On v´erifie facilement que l’inverse de l’affinit´e ϕest une affinit´e de mˆeme base,
mˆeme direction et de rapport inverse ( 1
λ), donc que ϕest un automorphisme.
Sym´etrie vectorielle.
Etant donn´es E1et E2deux sous espaces suppl´ementaires du R-espace vectoriel
(E, +, .), ce que nous notons E=E1⊕E2, tout vecteur −→ ude Ese d´ecompose
de fa¸con unique en somme d’un vecteur −→
u1de E1et d’un vecteur −→ u2de E2.
On appelle sym´etrie autour de E2, parall`element `a la direction E1, l’affinit´e
vectorielle de base E2, de rapport -1, selon la direction E1:
ϕ:−→ u7−→ −−→ u1+−→ u2
Th´eor`eme.
Pour qu’une application fde Edans Esoit une sym´etrie, il faut et il suffit que
fsoit une involution lin´eaire.
Seule la r´eciproque m´erite qu’on s’y attarde, “ Id ” ´etant l’application identique
de Esur E, on note F=Ker(f−Id) l’ensemble des ´el´ements invariants par f
et G=Ker(f+Id) l’ensemble des vecteurs transform´es en leur oppos´e.
D’une part, pour tout vecteur −→
x∈F∩G, f(−→
x) = −→ xet f(−→ x) = −−→ xdonne
F∩G={−→
0}. D’autre part −→
x´etant un vecteur quelconque de E, on peut poser
−→
x1=1
2(−→
x+f(−→ x)) et −→ x2=1
2(−→
x−f(−→ x)). On v´erifie facilement ( involution )
−→
x1∈F, −→
x2∈Get −→ x=−→
x1+−→
x2, ce qui entraˆıne, d’une part que Epeut s’´ecrire
E=E1⊕E2, d’autre part que l’on a toujours f(−→
x) = −→
x1−−→
x2.
La fonction fapparaˆıt comme la sym´etrie autour de F, parall`element `a la
direction G.
Attention !
La composition de deux affinit´es ( ou de deux sym´etries ) de bases distinctes
n’est pas une affinit´e.
L’ensemble des affinit´es, comme l’ensemble des sym´etries, n’est pas stable pour
la loi de composition. Il n’y aura pas de groupe des affinit´es ni de groupe des
sym´etries.
Glineair, page 2/11 - 6 juin 2005

Le sous groupe des homoth´eties vectorielles.
On appelle homoth´etie vectorielle de rapport λ∈R∗l’application lin´eaire :
h:−→ u7−→ λ.−→
u
Th´eor`eme.
Une application lin´eaire est une homoth´etie vectorielle si et seulement si elle
conserve les directions.
Seule la r´eciproque m´erite qu’on s’y attarde. Si (E, +, .) est de dimension 1,
l’affaire est claire puisque tout endomorphisme de Eest une homoth´etie.
Si (E, +, .) est de dimension au moins ´egale `a 2, prenons deux vecteurs −→ u1et
−→
u2non colin´eaires. D’apr`es les hypoth`eses on peut trouver deux r´eels α1et α2
v´erifiant h(−→
u1) = α1.−→
u1et h(−→
u2) = α2.−→ u2, donc h(−→ u1+−→
u2) = α1.−→
u1+α2.−→
u2.
On exprime maintenant que le vecteur α1.−→
u1+α2.−→ u2est colin´eaire au vecteur
−→
u1+−→ u2ce qui implique α1=α2, donc hest une homoth´etie vectorielle de rapport
λ=α1=α2.
Th´eor`eme.
L’ensemble des homoth´eties vectorielles de rapport λ∈R∗d´efinit un sous groupe
du groupe lin´eaire de Eisomorphe au groupe multiplicatif (R∗,×).
IV. Groupe orthogonal.
Toutes les d´efinitions pr´ec´edentes ont ´et´e donn´ees dans un R-espace vectoriel,
elles peuvent ˆetre affin´ees si nous munissons cet espace vectoriel d’une norme
euclidienne ou, ce qui revient au mˆeme, d’un produit scalaire.
Rappelons que, `a toute forme bilin´eaire sym´etrique ϕ, on associe canoniquement
la forme quadratique Φ d´efinie par Φ(−→ u) = ϕ(−→ u , −→
u) et que Φ ´etant connue, sa
forme polaire ϕest d´efinie par la relation, utile `a connaˆıtre :
ϕ(−→ x , −→
y) = 1
4(Φ(−→
x+−→
y)−Φ(−→ x−−→ y))
Cette relation permet d’affirmer le th´eor`eme fondamental suivant :
Th´eor`eme.
Un endomorphisme de (E, +, .) conserve le produit scalaire si et seulement si il
conserve la norme.
D´efinition.
On appelle automorphisme orthogonal ou parfois isom´etrie d’un R-espace vec-
toriel euclidien (E, +, .) toute application lin´eaire inversible de Esur Equi
conserve le produit scalaire.
Th´eor`eme.
L’ensemble des automorphismes orthogonaux d´efinit un sous groupe du groupe
lin´eaire de (E, +, .) : le groupe orthogonal O(E).
Glineair, page 3/11 - 6 juin 2005

Th´eor`eme.
Si l’espace (E, +, .) est muni d’une base orthonormale d´efinissant son orienta-
tion, la matrice Md’un automorphisme orthogonal v´erifie, det(M) = 1 pour un
automorphisme direct, ou det(M) = −1 pour un automorphisme indirect.
Rotations.
On appelle rotation ( vectorielle ) tout automorphisme orthogonal direct de E.
Th´eor`eme.
Une application lin´eaire de Edans Eest une rotation si et seulement si elle
conserve le produit scalaire et le d´eterminant.
Th´eor`eme.
L’ensemble des rotations muni de la loi de composition des fonctions est un sous
groupe du groupe lin´eaire de (E, +, .), ce groupe est not´e O+(E).
Remarque.
Dans le plan vectoriel euclidien, le groupe des rotations est isomorphe au
groupe additif du tore R/2πZ. Ce th`eme est souvent exploit´e en conjonction
avec l’isomorphisme du plan euclidien sur le plan d’Argand-Cauchy.
Th´eor`eme.
La composition de deux automorphismes orthogonaux indirects est une rotation.
V. Sym´etries orthogonales.
Pour d´efinir d’autres automorphismes orthogonaux nous allons avoir besoin
de deux notions nouvelles, celles d’espaces vectoriels orthogonaux et celle -
diff´erente - d’espaces vectoriels perpendiculaires. Rappelons que pour simpli-
fier l’expos´e nous nous limitons `a des espaces vectoriels de dimension finie.
Dans un espace vectoriel euclidien E, on dit qu’un sous espace vectoriel E1est
orthogonal au sous espace vectoriel E2si et seulement on v´erifie :
<−→ u1,−→ u2>= 0 ∀(−→ u1,−→ u2)∈E1×E2
On appelle suppl´ement orthogonal d’un sous espace vectoriel E1le sous espace
vectoriel E2orthogonal `a E1v´erifiant E=E1⊕E2.
Attention.
On dit que deux sous espaces vectoriels E1et E2sont perpendiculaires si et
seulement si leurs suppl´ements orthogonaux sont orthogonaux.
Non ce n’est pas une plaisanterie, examinons simplement le cas de l’espace R3:
deux droites vectorielles sont orthogonales si et seulement si tout vecteur de
l’une est orthogonal `a tout vecteur de l’autre.
Un plan vectoriel est orthogonal `a une droite vectorielle si et seulement si tout
vecteur de l’un est orthogonal `a tout vecteur de l’autre.
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Dans R3, deux plans vectoriels peuvent donc ˆetre perpendiculaires.
Mais dans R3, deux plans vectoriels ne peuvent jamais ˆetre orthogonaux vu que
leur intersection n’est pas r´eduite au singleton {−→ 0}.
Dans tout ce qui suit E1et E2sont deux sous espaces suppl´ementaires orthogo-
naux de E, ´eventuellement d´eg´en´er´es en le singleton {−→
0}. Pour ce dernier cas,
nous parlons d’espace de dimension 0. Tout vecteur de Ese d´ecompose alors de
fa¸con unique en une somme de deux vecteurs −→ u1∈E1et −→ u2∈E2orthogonaux
( ou nuls ).
Sym´etrie orthogonale.
On appelle sym´etrie orthogonale autour de E2l’application lin´eaire de Edans
lui-mˆeme :
ϕ:−→
u7−→ −−→
u1+−→ u2
Mˆeme si cela est souvent consid´er´e comme abusif, nous conservons la termino-
logie dans le cas o`u E1est d´eg´en´er´e ( ϕest alors l’identit´e ), comme dans le cas
o`u E2est d´eg´en´er´e ( ϕest alors la sym´etrie par rapport `a {−→
0}, i.e. le passage
`a l’oppos´e ).
Th´eor`eme.
La sym´etrie orthogonale autour de E2est une rotation si et seulement si le
nombre dim(E)−dim(E2) est pair.
Ce th´eor`eme est admis. Si dim(E)−dim(E2) est impair, la sym´etrie orthogonale
autour de E2est un automorphisme indirect.
On anticipe sur la suite en remarquant que, dans le plan affine, les sym´etries
autour d’un point conservent l’orientation ( rotation ) alors qu’autour d’une
droite elles ne la conservent pas.
Nous notons :
Dans l’espace de dimension 3, les sym´etries autour d’une droite conservent
l’orientation ( rotation ) alors que les sym´etries autour d’un point ou d’un plan
ne la conservent pas.
R´eflexion.
Dans le cas dim(E1) = 1, on appelle r´eflexion d’hyperplan E2une sym´etrie
orthogonale autour de E2.
Th´eor`eme.
Toutes les r´eflexions sont des isom´etries indirectes. Notons que, dans le plan
vectoriel, les seules isom´etries indirectes sont les r´eflexions.
Retournement.
Dans le cas dim(E1) = 2, on appelle retournement ( parfois renversement )
autour de E2une sym´etrie orthogonale autour de E2.
Glineair, page 5/11 - 6 juin 2005