Transformations linéaires et affines.

Transformations linéaires et affines.
I. Généralités.
Dans tout cet exposé nous nous limiterons à des R-espaces vectoriels ou des
espaces affines de dimension finie.
Les propriétés des applications linéaires ou homomorphismes d’espace vectoriel
sont supposées connues ainsi que le théorème fondamental suivant :
Théorème.
Si l’espace vectoriel (E, +, .) est somme directe des deux sous espaces E1 et E2 ,
−
−
tout vecteur →
u de E se décompose de façon unique en somme d’un vecteur →
u1
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
de E1 et d’un vecteur u2 de E2 et les applications u 7−→ u1 et u 7−→ u2 sont
des applications linéaires.
II. Projection vectorielle ou projecteur.
Etant donnés E1 et E2 deux sous espaces supplémentaires du R-espace vectoriel
→
(E, +, .), ce que nous notons E = E1 ⊕ E2 , tout vecteur −
u de E se décompose
−
→
→
de façon unique en somme d’un vecteur u1 de E1 et d’un vecteur −
u2 de E2 . On
appelle projection sur E2 selon E1 l’endomorphisme de (E, +, .) :
−
→
u 7−→ −
u
ϕ : →
2
L’endomorphisme ϕ n’est bien sûr pas bijectif.
Théorème.
Le sous espace E2 = Im(ϕ) est invariant par ϕ :
→
−
→
−
→
u
∀−
u ∈E
u ∈ E2
⇐⇒
ϕ(→
u)=−
Théorème.
Un endomorphisme ϕ de (E, +, .) est idempotent si et seulement si ϕ est une
projection vectorielle.
Seule la réciproque mérite qu’on s’y attarde. “ Id ” étant l’application identique
de E sur E, on note F = Ker(ϕ) et G = Ker(Id − ϕ).
−
→
→
−
→
−
→
→
x − ϕ(→
D’une part, pour tout vecteur −
x ∈ F ∩ G, ϕ(−
x) = 0
x ) = 0 et −
−
→
→
x étant un vecteur quelconque de E on
entraı̂ne F ∩ G = { 0 }. D’autre part −
−
→
→
−
−
→
→
−
−
→
peut poser x1 = x − ϕ( x ) et x2 = ϕ( x ). On vérifie facilement ( idempotence )
−
→
→
x2 ∈ G ce qui entraı̂ne, d’une part que E peut s’écrire E = E1 ⊕ E2 ,
x1 ∈ F et −
−
−
x sur G selon F .
d’autre part que ϕ(→
x ) est la projection de →
III. Groupe linéaire de E.
L’ensemble des automorphisme ( endomorphismes inversibles ) de (E, +, .) muni
de la composition des fonctions a une structure de groupe. On appelle ce groupe
le groupe linéaire de (E, +, .). On note toujours “ Id ” ou “ IdE ” son élément
neutre.
Glineair, page 1/11 - 6 juin 2005
Nous allons voir maintenant quelques sous ensembles du groupe linéaire de
(E, +, .).
Affinité vectorielle.
Etant donnés E1 et E2 deux sous espaces supplémentaires du R-espace vectoriel
→
(E, +, .), ce que nous notons E = E1 ⊕ E2 , tout vecteur −
u de E se décompose
−
→
→
de façon unique en somme d’un vecteur u1 de E1 et d’un vecteur −
u2 de E2 . On
∗
appelle affinité vectorielle de base E2 , de rapport λ ∈ R , selon la direction E1 ,
l’endomorphisme de (E, +, .) :
→
→
→
u +−
u
ϕ : −
u 7−→ λ.−
1
2
On vérifie facilement que l’inverse de l’affinité ϕ est une affinité de même base,
même direction et de rapport inverse ( λ1 ), donc que ϕ est un automorphisme.
Symétrie vectorielle.
Etant donnés E1 et E2 deux sous espaces supplémentaires du R-espace vectoriel
−
(E, +, .), ce que nous notons E = E1 ⊕ E2 , tout vecteur →
u de E se décompose
−
→
−
u2 de E2 .
de façon unique en somme d’un vecteur u1 de E1 et d’un vecteur →
On appelle symétrie autour de E2 , parallèlement à la direction E1 , l’affinité
vectorielle de base E2 , de rapport -1, selon la direction E1 :
−
→
→
ϕ : →
u 7−→ −−
u +−
u
1
2
Théorème.
Pour qu’une application f de E dans E soit une symétrie, il faut et il suffit que
f soit une involution linéaire.
Seule la réciproque mérite qu’on s’y attarde, “ Id ” étant l’application identique
de E sur E, on note F = Ker(f − Id) l’ensemble des éléments invariants par f
et G = Ker(f + Id) l’ensemble des vecteurs transformés en leur opposé.
→
−
→
→
→
x)=→
x et f (−
x ) = −−
x donne
x ∈ F ∩ G, f (−
D’une part, pour tout vecteur −
−
→
−
→
F ∩ G = { 0 }. D’autre part x étant un vecteur quelconque de E, on peut poser
−
→
→
→
→
→
−
x1 = 12 (−
x + f (−
x )) et −
x2 = 12 (−
x − f (→
x )). On vérifie facilement ( involution )
−
→
−
→
−
→
→
−
→
−
x1 ∈ F, x2 ∈ G et x = x1 + x2 , ce qui entraı̂ne, d’une part que E peut s’écrire
→
→
−
E = E1 ⊕ E2 , d’autre part que l’on a toujours f (−
x1 − −
x)=→
x2 .
La fonction f apparaı̂t comme la symétrie autour de F , parallèlement à la
direction G.
Attention !
La composition de deux affinités ( ou de deux symétries ) de bases distinctes
n’est pas une affinité.
L’ensemble des affinités, comme l’ensemble des symétries, n’est pas stable pour
la loi de composition. Il n’y aura pas de groupe des affinités ni de groupe des
symétries.
Glineair, page 2/11 - 6 juin 2005
Le sous groupe des homothéties vectorielles.
On appelle homothétie vectorielle de rapport λ ∈ R∗ l’application linéaire :
−
→
h : →
u 7−→ λ.−
u
Théorème.
Une application linéaire est une homothétie vectorielle si et seulement si elle
conserve les directions.
Seule la réciproque mérite qu’on s’y attarde. Si (E, +, .) est de dimension 1,
l’affaire est claire puisque tout endomorphisme de E est une homothétie.
→
Si (E, +, .) est de dimension au moins égale à 2, prenons deux vecteurs −
u1 et
−
→
u2 non colinéaires. D’après les hypothèses on peut trouver deux réels α1 et α2
−
→
→
−
→
−
→
→
u1 ) = α1 .−
vérifiant h(→
u2 ) = α2 . →
u2 , donc h(→
u1 + −
u1 + α2 .−
u1 et h(−
u2 ) = α1 . −
u2 .
→
−
→
−
On exprime maintenant que le vecteur α1 .u1 + α2 . u2 est colinéaire au vecteur
−
→
→
u1 + −
u2 ce qui implique α1 = α2 , donc h est une homothétie vectorielle de rapport
λ = α1 = α2 .
Théorème.
L’ensemble des homothéties vectorielles de rapport λ ∈ R∗ définit un sous groupe
du groupe linéaire de E isomorphe au groupe multiplicatif (R∗ , ×).
IV. Groupe orthogonal.
Toutes les définitions précédentes ont été données dans un R-espace vectoriel,
elles peuvent être affinées si nous munissons cet espace vectoriel d’une norme
euclidienne ou, ce qui revient au même, d’un produit scalaire.
Rappelons que, à toute forme bilinéaire symétrique ϕ, on associe canoniquement
→
→
−
u ) et que Φ étant connue, sa
la forme quadratique Φ définie par Φ(−
u ) = ϕ(−
u, →
forme polaire ϕ est définie par la relation, utile à connaı̂tre :
1
→
→
→
→
→
→
x +−
y ) − Φ(−
x −−
y ))
y ) = (Φ(−
ϕ(−
x, −
4
Cette relation permet d’affirmer le théorème fondamental suivant :
Théorème.
Un endomorphisme de (E, +, .) conserve le produit scalaire si et seulement si il
conserve la norme.
Définition.
On appelle automorphisme orthogonal ou parfois isométrie d’un R-espace vectoriel euclidien (E, +, .) toute application linéaire inversible de E sur E qui
conserve le produit scalaire.
Théorème.
L’ensemble des automorphismes orthogonaux définit un sous groupe du groupe
linéaire de (E, +, .) : le groupe orthogonal O(E).
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Théorème.
Si l’espace (E, +, .) est muni d’une base orthonormale définissant son orientation, la matrice M d’un automorphisme orthogonal vérifie, det(M ) = 1 pour un
automorphisme direct, ou det(M ) = −1 pour un automorphisme indirect.
Rotations.
On appelle rotation ( vectorielle ) tout automorphisme orthogonal direct de E.
Théorème.
Une application linéaire de E dans E est une rotation si et seulement si elle
conserve le produit scalaire et le déterminant.
Théorème.
L’ensemble des rotations muni de la loi de composition des fonctions est un sous
groupe du groupe linéaire de (E, +, .), ce groupe est noté O+ (E).
Remarque.
Dans le plan vectoriel euclidien, le groupe des rotations est isomorphe au
groupe additif du tore R/2π Z. Ce thème est souvent exploité en conjonction
avec l’isomorphisme du plan euclidien sur le plan d’Argand-Cauchy.
Théorème.
La composition de deux automorphismes orthogonaux indirects est une rotation.
V. Symétries orthogonales.
Pour définir d’autres automorphismes orthogonaux nous allons avoir besoin
de deux notions nouvelles, celles d’espaces vectoriels orthogonaux et celle différente - d’espaces vectoriels perpendiculaires. Rappelons que pour simplifier l’exposé nous nous limitons à des espaces vectoriels de dimension finie.
Dans un espace vectoriel euclidien E, on dit qu’un sous espace vectoriel E1 est
orthogonal au sous espace vectoriel E2 si et seulement on vérifie :
→
−
→
→
<→
u ,−
u >= 0 ∀(−
u ,−
u )∈E ×E
1
2
1
2
1
2
On appelle supplément orthogonal d’un sous espace vectoriel E1 le sous espace
vectoriel E2 orthogonal à E1 vérifiant E = E1 ⊕ E2 .
Attention.
On dit que deux sous espaces vectoriels E1 et E2 sont perpendiculaires si et
seulement si leurs suppléments orthogonaux sont orthogonaux.
Non ce n’est pas une plaisanterie, examinons simplement le cas de l’espace R3 :
deux droites vectorielles sont orthogonales si et seulement si tout vecteur de
l’une est orthogonal à tout vecteur de l’autre.
Un plan vectoriel est orthogonal à une droite vectorielle si et seulement si tout
vecteur de l’un est orthogonal à tout vecteur de l’autre.
Glineair, page 4/11 - 6 juin 2005
Dans R3 , deux plans vectoriels peuvent donc être perpendiculaires.
Mais dans R3 , deux plans vectoriels ne peuvent jamais être orthogonaux vu que
→
−
leur intersection n’est pas réduite au singleton { 0 }.
Dans tout ce qui suit E1 et E2 sont deux sous espaces supplémentaires orthogo−
→
naux de E, éventuellement dégénérés en le singleton { 0 }. Pour ce dernier cas,
nous parlons d’espace de dimension 0. Tout vecteur de E se décompose alors de
−
→
façon unique en une somme de deux vecteurs →
u1 ∈ E1 et −
u2 ∈ E2 orthogonaux
( ou nuls ).
Symétrie orthogonale.
On appelle symétrie orthogonale autour de E2 l’application linéaire de E dans
lui-même :
−
→
→
u 7−→ −−
ϕ : −
u1 + →
u2
Même si cela est souvent considéré comme abusif, nous conservons la terminologie dans le cas où E1 est dégénéré ( ϕ est alors l’identité ), comme dans le cas
−
→
où E2 est dégénéré ( ϕ est alors la symétrie par rapport à { 0 }, i.e. le passage
à l’opposé ).
Théorème.
La symétrie orthogonale autour de E2 est une rotation si et seulement si le
nombre dim(E) − dim(E2 ) est pair.
Ce théorème est admis. Si dim(E) − dim(E2 ) est impair, la symétrie orthogonale
autour de E2 est un automorphisme indirect.
On anticipe sur la suite en remarquant que, dans le plan affine, les symétries
autour d’un point conservent l’orientation ( rotation ) alors qu’autour d’une
droite elles ne la conservent pas.
Nous notons :
Dans l’espace de dimension 3, les symétries autour d’une droite conservent
l’orientation ( rotation ) alors que les symétries autour d’un point ou d’un plan
ne la conservent pas.
Réflexion.
Dans le cas dim(E1 ) = 1, on appelle réflexion d’hyperplan E2 une symétrie
orthogonale autour de E2 .
Théorème.
Toutes les réflexions sont des isométries indirectes. Notons que, dans le plan
vectoriel, les seules isométries indirectes sont les réflexions.
Retournement.
Dans le cas dim(E1 ) = 2, on appelle retournement ( parfois renversement )
autour de E2 une symétrie orthogonale autour de E2 .
Glineair, page 5/11 - 6 juin 2005
Ces dénominations se retrouvent dans le cadre des applications affines :
Dans le plan on parle de symétrie par rapport à un point Ω, mais de réflexion
de droite ∆.
Dans l’espace on parle de symétrie par rapport à un point Ω, de retournement
par rapport à une droite ∆ et de réflexion de plan Π.
Récapitulatif des transformations linéaires :
Applications
linéaires
?
?
?
Applications non
injectives
Groupe linéaire
?
?
?
Groupe
orthogonal
Groupe des
homothéties
Affinités
?
Projections
?
?
Groupe des
rotations
?
Isométries
indirectes
VI. Transformations affines.
L’espace affine E étant dirigé par l’espace vectoriel (E, +, .), une application Φ
de E dans E est appelée transformation affine de E si et seulement si l’application
−−−−−−−→
−−→
−−→
ϕ de E dans E associée, M N 7−→ ϕ(M N ) = Φ(M )Φ(N ), est linéaire.
Pour des raisons de commodité, nous notons L l’application qui à Φ associe ϕ.
En anticipant sur la suite, nous voyons que l’image par L d’une translation de
l’espace affine E est l’identité de l’espace vectoriel associé E.
L’application L est compatible avec les lois de composition des fonctions.
Remarquons :
L’application L qui à Φ associe ϕ n’est pas injective.
Le type d’une transformation affine est caractérisé par son image ϕ = L(Φ).
A chaque transformation linéaire ϕ correspond toute une famille de transformations affines de même type.
Glineair, page 6/11 - 6 juin 2005
Dans le plan, par exemple, la projection vectorielle ϕ sur la droite D2 selon la
direction D1 est l’image par L de toutes les projections affines ΦP effectuées sur
→
→
une droite D(P, −
u ∈ D2 , parallèlement à la direction D1 .
u ), −
VII. Le groupe des translations.
L’image réciproque de l’identité IdE de E, L−1 (IdE ), munie de la loi de composition des applications a une structure de groupe abélien isomorphe au groupe
additif de E.
Ce groupe est le groupe des translations de E.
Une transformation affine Φ de E est une translation si et seulement si :
−−−−−−−→ −−→
Φ(M )Φ(N ) = M N
∀(M, N ) ∈ E 2
−−−−−→
→
Une translation Φ est caractérisée par le vecteur −
u = M Φ(M ) qui ne dépend
−
→
pas de M . On note désormais T−
→
u la translation de vecteur u et parfois :
−
→
T−
→
u (M ) = M + u .
L’isomorphisme avec le groupe additif de E s’exprime facilement :
T−
→
→
→
→
u +−
u ◦ T−
v = T−
v
Théorème.
La seule translation admettant un point invariant est la transformation identique
de E : T−
→ = IdE .
0
Remarque.
L’identité vectorielle figurant dans tous les groupes d’applications linéaires de E,
nous verrons apparaı̂tre des translations “parasites” dans les groupes de transformations affines de E.
Les homothéties affines, par exemple, ne forment pas un groupe car la composition de deux homothéties de rapports inverse est en général une translation.
VIII. Groupe des homothéties - translations.
On appelle homothétie affine de rapport λ ∈ R∗ \ {1} toute transformation Φ de
E dont l’image par L est l’homothétie vectorielle de rapport λ.
Par extension, on appelle homothétie affine de rapport λ = 1 la transformation
identique de E.
Théorème.
Une homothétie de rapport λ 6= 1 admet un point invariant et un seul.
Supposons connu un point P et son image Φ(P ). Si P n’est pas invariant on
note Ω le barycentre des points (P, λ) et (Φ(P ), −1).
On a par définition du barycentre :
−−−−→ −
−→
→
λ.ΩP − 1.ΩΦ(P ) = 0
Glineair, page 7/11 - 6 juin 2005
Par définition de l’homothétie :
−−−−−−−→
−→
Φ(Ω)Φ(P ) = λ.ΩP
On en déduit que le point Ω est invariant.
Il est unique, on l’appelle centre de l’homothétie.
Retenons :
Une homothétie est caractérisée par son centre Ω et son rapport λ.
On note en général HΩ,λ , l’homothétie qui au point M associe le point HΩ,λ (M )
vérifiant :
−−−−−−−→
−−→
−−→
ΩHΩ,λ (M ) = λ.ΩM ou HΩ,λ (M ) = Ω + λ.ΩM
L’identité IdE est évidemment une “homothétie” à part.
Attention.
Si la composition de deux homothéties vectorielles de rapports inverses est l’identité, la composition de deux homothéties de rapports inverses et de centres
différents est une translation.
Théorème.
Le résultat de la composition d’une ou plusieurs homothéties par une ou plusieurs translations est toujours un homothétie ou une translation. Nous parlons
du groupe des homothéties-translations.
Propriété caractéristique.
Une transformation affine est une homothétie-translation si et seulement si elle
respecte les directions.
La démonstration est immédiate : si Φ conserve les directions alors l’application
linéaire ϕ = L(Φ) est une homothétie vectorielle.
L’existence de points invariants permet ensuite de préciser la nature de la transformation.
IX. Groupe des isométries.
On appelle isométrie toute transformation Φ de l’espace affine euclidien E dont
l’image ϕ par L est élément du groupe orthogonal de E.
Comme dans O(E) on distingue les isométries directes ou déplacements qui
conservent l’orientation et les isométries indirectes ou antidéplacements qui
ne la conservent pas.
Théorème.
Si on note n la dimension de E et k la dimension du sous espace affine invariant
( ensemble des points fixes ) par Φ, l’isométrie Φ est directe si et seulement si
le nombre n − k est pair.
Glineair, page 8/11 - 6 juin 2005
Théorème.
Nous admettrons le théorème :
Toute isométrie peut se décomposer en le produit commutatif d’une isométrie
admettant ( au moins ) un point fixe et d’une translation.
Symétrie orthogonale.
Soit un sous espace affine F de E dirigé par l’espace vectoriel E2 , on nomme E1
le supplément orthogonal de E2 et P un point fixe de F. Quel que soit le point
−−→ → −
→
→
u2 ∈ E2 est unique.
u2 , −
M de E, la décomposition P M = −
u1 + →
u1 ∈ E1 −
On appelle symétrie orthogonale autour de F la transformation Φ :
−−→
→
→
u
P N = −−
Φ : M 7−→ N
u +−
1
2
Théorème.
Toute isométrie involutive Φ de E est une symétrie orthogonale.
Si N0 est l’image de M0 par Φ, le milieu H0 du segment [M0 , N0 ] est invariant
par l’involution Φ, donc l’ensemble F des points invariants par Φ est non vide.
Il est facile de vérifier que F définit un sous espace affine de E. P étant un point
arbitraire de F, soit M un point quelconque de l’espace E, N son image par Φ
et H le milieu du segment [M, N ]. Le triangle (M, P, N ) est isocèle et la droite
(M, N ) est perpendiculaire au sous espace F.
Théorème.
La symétrie orthogonale autour de F est une rotation et donc un déplacement
si et seulement si le nombre dim(E) − dim(F) est pair.
Dans le plan affine les symétries autour d’un point conservent l’orientation ( rotation ) alors qu’autour d’une droite elles ne la conservent pas.
Dans l’espace de dimension 3, les symétries autour d’une droite conservent
l’orientation ( ce sont des rotations ) alors qu’autour d’un point ou d’un plan
elles ne la conservent pas.
X Groupe des similitudes.
On appelle similitude toute composition d’une homothétie par une isométrie.
Théorème.
L’ensemble des similitudes muni de la composition des applications a une structure de groupe.
Parmi les similitudes, on appelle similitude directe la composition d’une homothétie par un déplacement.
Théorème.
L’ensemble des similitudes directes muni de la composition des applications a
une structure de groupe.
Glineair, page 9/11 - 6 juin 2005
Arbre généalogique des endomorphismes d’un espace affine.
Applications
affines
?
?
?
Applications
non injectives
Groupe linéaire
affine
?
?
?
Projections
Groupe des
similitudes
?
?
?
Groupe des
similitudes
directes
Groupe des
isométries
?
? ?
Groupe des
homothétiestranslations
?
Groupe des
déplacements
?
Homothéties
Affinités
?
?
?
?
Antidéplacements
?
? ?
Groupe des
translations
?
Rotations
Seules les grandes familles sont ici représentées.
Pour conclure, nous examinerons quelques cas particuliers dans les espaces affines à
deux et trois dimensions.
Glineair, page 10/11 - 6 juin 2005
Dans le plan.
On parle de symétrie par rapport à un point Ω, mais de réflexion de droite ∆.
Les seules isométries indirectes du plan sont les réflexions et les symétries
glissées composées d’une réflexion de droite ∆ composée avec une translation
dont la direction est portée par ∆.
Par contre le groupe des similitudes directes est particulièrement intéressant à
considérer. On peut démontrer quelques théorèmes pratiques :
Théorème.
Dans le plan toute similitude directe de rapport différent de 1 admet un point
invariant Ω et se décompose commutativement en une rotation et une homothétie admettant ce point Ω comme centre.
Théorème.
Dans le plan l’ensemble des homothétie-rotations de même centre Ω fixé a une
structure de groupe isomorphe du groupe multiplicatif des nombres complexes
non nuls.
Théorème.
Dans le plan toute rotation de centre Ω peut se décomposer en deux réflexions
de droites ∆ et ∆0 concourantes en Ω.
Dans l’espace ( de dimension 3 ).
On parle de symétrie par rapport à un point Ω, de retournement par rapport à
une droite ∆ et de réflexion de plan Π.
Théorème.
Dans l’espace toute rotation d’axe ∆ peut se décomposer en deux réflexions de
plans Π et Π0 d’intersection ∆.
Vissage.
On appelle vissage d’axe ∆ la composition commutative d’une rotation d’axe
∆ par une translation dont le vecteur est porté par ∆.
On n’oubliera pas.
Si la transformation admet deux points invariants distincts, elle admet une
droite de points invariants. Si la transformation admet trois points invariants
non alignés, elle admet un plan de points invariants.
Un vissage de vecteur translation non nul n’admet aucun point invariant mais
son axe est globalement invariant.
L’axe d’une rotation est invariant point par point alors que tout plan perpendiculaire à cet axe est invariant globalement.
Glineair, page 11/11 - 6 juin 2005