chapitre 2 - M. Philippe.fr

A
DC
B
Angles et trigonométrie
I- Le radian
•Le radian est une unité de mesure des angles choisie de façon qu’un angle plat (180°) mesure  radians.
Ainsi, un arc de cercle de rayon R et d’angle (en radian) mesure : L = R .
Le tableau de proportionnalité ci-dessous permet de convertir un angle de x degrés en un angle de a
radians
degrés 180 x
radians 
=
x
180
L = R
R
•Un angle géométrique est toujours positif.
Un angle orienté (angle entre deux vecteurs) peut être négatif.
Exemple : Si l’orientation choisie est le sens direct, on a :
Angles géométriques : Angles orientés :
DAC
=
3
(
AD
;
AC
)=
3
et (
AC
;
AD
)=
–
3
•Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 orienté dans le sens direct sur lequel est fixé
un point origine A.
Soit M un point de ce cercle tel que soit une mesure, en radian, de l’angle orienté (
OA
;
OM
) . On
peut alors donner une infinité de mesure à cet angle.
Toutes les mesures s’obtiennent en ajoutant 2k ( k ∈ ℤ )
On note : (
OA
;
OM
) = (2 ) ce qui se lit :
«L’angle (
OA
;
OM
) est égale à a à 2k près ou modulo 2 »
1
Dans l’exemple précédent, on peut écrire : (
AD
;
AC
) =
7
3
et (
AC
;
AD
)=
5
3
ou encore (
AD
;
AC
) =
32
et (
AC
;
AD
) =
−
32
•Parmi toutes les mesures que peut prendre un angle orienté, la seule appartenant à
l’intervalle ]
–
; ] est appelée la mesure principale de l’angle.
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A
M
O

II- Angles orientés
On ne peut pas parler d’angles orientés de deux vecteurs si l’un des deux est le vecteur nul. Les vecteurs
considérés dans la suite sont toujours non nuls
a) Relation de Chasles
Propriété : Pour tous vecteurs
u
,
v
,
w
, on a la relation suivante dite de Chasles :
(
u
;
v
) + (
v
;
w
) = (
u
;
w
) (2 )
b) Angles associés à l’angle orienté (
u
;
v
)
Pour tous vecteurs
u
,
v
, on a les relations suivantes :
Angles opposés : (
u
;
v
) = – (
v
;
u
) (2 )
(–
u
;
v
) = (
u
;
v
) + (2 )
( –
u
;–
v
) = (
u
;
v
) (2 )
Une figure est plus explicite qu’une démonstration. Entrainez-vous à retrouver ces règles à l’aide d’une figure
comme suit
•Soit ABC un triangle. Ecrire à l’aide d’angles orientés que la somme de ses angles vaut p radians
•Alignement
Trois points M, A , B sont alignés si et seulement si (
MA
;
MB
) = ou (
MA
;
MB
)
ce qui peut s’écrire aussi (
MA
;
MB
) = k avec k ∈ ℤ
•Angles inscrits
Pour tout point M (distinct de A et B ) d’un cercle de centre O passant par A et B, on a :
(
OA
;
OB
) = 2 (
MA
;
MB
) (2 )
•Repère orthonormal direct
Un repère (O;
i
;
j
) est orthonormal lorsque :
∥ i∥=∥ j∥=1
et (
i
;
j
) =
2
(2 )
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III- Cosinus et sinus d’un angle orienté de deux vecteurs
On munit le plan d’un repère orthonormal direct
a) Définition
Soit M un point du cercle trigonométrique tel que a soit
une mesure en radian de l’angle orienté (
OA
;
OM
)
Alors le point M a pour coordonnées ( cos a ; sin a )
Propriétés élémentaires du sinus et du cosinus
cos ( + 2k ) = k ∈ ℤ
sin ( + 2k ) = k ∈ ℤ
cos² + sin² =
≤ cos ≤
≤ sin ≤
tan = pour x ≠ (2k+1)
2
k ∈ ℤ
b) Relation entre sinus et cosinus
Une lecture efficace du cercle trigonométrique permet de retrouver les relations suivantes :
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cos
2
= – sin
sin
2
= cos
cos
=
sin (
+
) =
cos–
=
sin  –
=
cos–
=
sin –
=
cos
2−
= sin
sin
2−
= cos

d) Equations sin x = a et cos x = a pour a ∈ [–1 ; 1 ]
Pour résoudre de telles équations, on commence par rechercher un angle tel que a=cos ou
a=sin puis on applique les règles suivantes :
sin x = sin
⇔
{
x= 2 k 
x= –2 k 
k ∈ ℤ cos x = cos a
⇔
{
x= 2 k 
x=–2 k 
k ∈ ℤ
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