La dérivabilité en un point implique la continuité en un point

La dérivabilité en un point implique la continuité en
un point
Note : Ce résumé est écrit par T. Zwissig. Il est ce qu’attend cet enseignant lors de l’oral de maturité.
Ce résumé n’est pas une référence pour les autres enseignants, leurs attentes sont sans doute différentes.
Théorème Soit fune fonction définie sur un intervalle Iet a∈I.
Si fest dérivable en a
Alors f est continue en a.
Remarque : Si fest continue en aalors lim
x→af(x) = f(a)et réciproquement. Si f(a)existe,
c’est un nombre et lim
x→af(a) = f(a). Donc si fest continue en a,lim x→af(x)et lim x→af(a)existent et
sont égales, leur différence égale la limite de la différence et cette différence vaut 0:
lim
x→af(x) = f(a)⇔lim x→af(x) = lim x→af(a)
⇔lim
x→af(x)−lim x→af(a) = 0
⇔lim
x→a(f(x)−f(a)) = 0
Donc, démontrer qu’une fonction fsatisfait lim
x→a(f(x)−f(a)) = 0 revient à démontrer que
fest continue en a.
Démonstration du théorème :
0 = f0(a)·0comme fest dérivable en apar hypothèse, f0(a)a du sens
= lim
x→a
f(x)−f(a)
x−a·lim
x→a(x−a)par définition de la dérivabilité de fen aet
lim
x→a(x−a)=0
= lim
x→af(x)−f(a)
x−a·(x−a)puisque les deux limites ci-dessus existent, la limite du
produit existe et vaut le produit des limites
= lim
x→a(f(x)−f(a)) après simplification.
Nous avons donc établit que lim
x→a(f(x)−f(a)) = 0. En vertu de la remarque, fest donc continue
en a.

Remarque : La réciproque de ce théorème est fausse. La continuité en un point n’implique
pas la dérivabilité en ce point. La fonction valeur absolue en est un contre-exemple.
−3.−2.−1.1.2.3.4.
−2.
−1.
1.
2.
3.
4.
0
f(x) = |x|
En a= 0, la valeur absolue est continue en 0. En effet
1. |0|= 0
2. lim
x→0−
|x|= 0 = lim
x→0+|x|et donc lim
x→0|x|= 0
3. Comme lim
x→0|x|=|0|la fonction valeur absolue est continue en 0.
Par contre, elle n’est pas dérivable en 0. En effet :
1. lim
x→0−
|x|−|0|
x−0= lim
x→0−
−x
x=−1et
2. lim
x→0+
|x|−|0|
x−0= lim
x→0+
x
x= 1.
3. Comme ces deux limites sont différentes, lim
x→0
|x|−|0|
x−0n’existe pas. Il suit que la fonction
n’est pas dérivable en 0.