La dérivabilité en un point implique la continuité en un point

La dérivabilité en un point implique la continuité en
un point
Note : Ce résumé est écrit par T. Zwissig. Il est ce qu’attend cet enseignant lors de l’oral de maturité.
Ce résumé n’est pas une référence pour les autres enseignants, leurs attentes sont sans doute différentes.
Théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I.
Si
f est dérivable en a
Alors f est continue en a.
Si f est continue en a alors lim f (x) = f (a) et réciproquement. Si f (a) existe,
Remarque :
x→a
c’est un nombre et lim f (a) = f (a). Donc si f est continue en a, lim f (x) et lim f (a) existent et
x→a
x→a
x→a
sont égales, leur différence égale la limite de la différence et cette différence vaut 0 :
lim f (x) = f (a) ⇔
x→a
⇔
⇔
lim f (x) = lim f (a)
x→a
x→a
lim f (x) − lim f (a) = 0
x→a
x→a
lim (f (x) − f (a)) = 0
x→a
Donc, démontrer qu’une fonction f satisfait lim (f (x) − f (a)) = 0 revient à démontrer que
x→a
f est continue en a.
Démonstration du théorème :
0
= f 0 (a) · 0
=
f (x) − f (a)
· lim (x − a)
x→a
x→a
x−a
lim
comme f est dérivable en a par hypothèse, f 0 (a) a du sens
par définition de la dérivabilité de f en a et
lim (x − a) = 0
x→a
=
lim
x→a
f (x) − f (a)
· (x − a)
x−a
puisque les deux limites ci-dessus existent, la limite du
produit existe et vaut le produit des limites
=
lim (f (x) − f (a))
x→a
après simplification.
Nous avons donc établit que lim (f (x) − f (a)) = 0. En vertu de la remarque, f est donc continue
x→a
en a. Remarque : La réciproque de ce théorème est fausse. La continuité en un point n’implique
pas la dérivabilité en ce point. La fonction valeur absolue en est un contre-exemple.
4.
f (x) = |x|
3.
2.
1.
−3.
−2.
−1.
0
1.
2.
3.
4.
−1.
−2.
En a = 0, la valeur absolue est continue en 0. En effet
1. |0| = 0
2. lim− |x| = 0 = lim+ |x| et donc lim |x| = 0
x→0
x→0
x→0
3. Comme lim |x| = |0| la fonction valeur absolue est continue en 0.
x→0
Par contre, elle n’est pas dérivable en 0. En effet :
−x
|x| − |0|
= lim−
= −1 et
1. lim−
x→0
x→0
x−0
x
x
|x| − |0|
= lim+ = 1.
2. lim+
x→0 x
x→0
x−0
|x| − |0|
n’existe pas. Il suit que la fonction
x→0 x − 0
3. Comme ces deux limites sont différentes, lim
n’est pas dérivable en 0.