3e Calculer la probabilité d`un évènement Objectif 15

3e Calculer la probabilité d’un évènement
Objectif 15
Livre 14.3
Mots clefs.
 Expérience aléatoire
 Issue
 Évènement
 Probabilité
 Évènement impossible
 Évènement certain
 Évènements contraires
 Évènements incompatibles
 Arbre des possibles (arbre de probabilité).
I. Notion de probabilité (révisions de 5e).
1. Définitions. Expérience aléatoire, issue, événement.
Une expérience est dite aléatoire lorsque l’on connaît tous les résultats possibles mais que l’on ne
peut pas prévoir avec certitude lequel se produira. Autrement dit, lorsque son résultat est
déterminé par le hasard.
2. Définition. Issue.
Chaque résultat d’une expérience aléatoire est aussi appelé issue (ou éventualité ou événement
élémentaire).
Exemples.
 On lance un dé cubique non truqué à six faces numérotées de 1 à 6. On regarde le numéro de
la face du dessus.
C’est une expérience aléatoire car le résultat est dû au hasard. Six issues permettent de réaliser
cette expérience : 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
 Chaque jour on note si le soleil se lève ou pas.
Ce n’est pas une expérience aléatoire car on peut prévoir à l’avance le résultat, à savoir que le soleil
se lève.
3. Définition. Évènement.
Un événement est constitué d’une ou plusieurs issues.
Exemples.
Dans l’expérience aléatoire du jet de dé,
 « obtenir un nombre pair » est un évènement qui se réalise avec les trois issues « obtenir 2 »,
« obtenir 4 » et « obtenir 6 ».
 « obtenir un multiple de 5 » est un évènement qui se réalise avec une seule issue :
« obtenir 5 ».
4. Définition. Équiprobabilité.
Si toutes les issues d’une expérience aléatoire ont la même chance de se produire, on dit qu’il s’agit
d’une situation d’équiprobabilité.
Exemple.
L’expérience aléatoire du jet de dé est une situation d’équiprobabilité car toutes les faces ont la
même chance de sortir.
5. Définition. Événement impossible.
Un événement est dit impossible s’il ne peut pas se produire. Il n’a aucune chance de se réaliser.
Exemple.
Dans l’expérience aléatoire du jet de dé, « obtenir le chiffre 7 » est un évènement impossible.
6. Définition. Événement certain.
Un événement est dit certain s’il se réalise nécessairement. Il a 100 % de chance de se réaliser.
Exemple.
Dans l’expérience aléatoire du jet de dé, « obtenir un nombre décimal » est un évènement certain.
II. Évènements incompatibles. Évènements contraires (révisions de 4e).
1. Définition. Évènements incompatibles.
Deux évènements sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.
Exemple.
Au jeu du « pile ou face », les évènements « obtenir pile » et « obtenir face » sont incompatibles car
ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.
2. Définition. Évènements contraires.
L’évènement contraire d’un évènement A est celui qui se réalise lorsque A ne se réalise pas. On le
note non A (ou Ā).
Autrement dit, l’évènement non A est constitué de toutes les issues qui ne réalisent pas A.
Exemple.
Dans l’expérience aléatoire du jet de dé, l’évènement contraire de l’évènement « obtenir un nombre
supérieur ou égal à 5 » est « obtenir un nombre inférieur ou égal à 4 ».
3. Remarque.
Par définition, deux évènements contraires sont incompatibles.
III. Calculer la probabilité d’une issue (révisions de 4e).
1. Propriété.
 La probabilité d’une issue est un nombre compris entre 0 et 1.
 La somme des probabilités de toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire est égale
à 1.
2. Définition. Arbre des possibles ou arbre de probabilité.
L’arbre des possibles (ou arbre de probabilité) d’une expérience aléatoire est la représentation
schématique de cette expérience, dans laquelle, chacune des issues est représentée par une
branche.
Quand on fait figurer sur chaque branche la probabilité associée, on dit que cet arbre est pondéré.
Exemple.
Voici l’arbre de probabilité de l’expérience aléatoire qui consiste à noter le sexe d’un enfant à sa
naissance :
Garçon
0,485
0,515
Fille
IV. Calculer la probabilité d’un évènement.
1. Propriété. Probabilité d’un événement.
La probabilité d’un évènement est égale à la somme des probabilités de toutes les issues qui
réalisent cet évènement.
Avec un arbre, la probabilité d’un événement est la somme des probabilités écrites sur les branches
conduisant aux issues qui réalisent cet événement.
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2. Propriétés.
Tout événement a une probabilité comprise entre 0 et 1.
La probabilité d’un évènement certain est 1.
La probabilité d’un évènement impossible est 0.
La somme des probabilités de deux évènements contraires est égale à 1. Autrement dit, si A
est un évènement, alors :
𝑝(𝐴) + 𝑝(𝑛𝑜𝑛 𝐴) = 1.
Si A et B sont deux évènements incompatibles, la probabilité que A ou B se réalise est égale à
la somme des probabilités de A et de B.
Exemple.
Dans l’expérience aléatoire du jet de dé, l’évènement A = « obtenir un nombre pair » se réalise avec
les issues « obtenir 2 », « obtenir 4 » et « obtenir 6 ».
Donc
1 1 1 3 1
𝑝(𝐴) = 𝑝("obtenir 2") + 𝑝("obtenir 4") + 𝑝("obtenir 6") = + + = =
6 6 6 6 2
L’évènement contraire de A est non A = « obtenir un nombre impair ».
Sa probabilité est :
1 1
𝑝(𝑛𝑜𝑛 𝐴) = 1 − 𝑝(𝐴) = 1 − =
2 2