Les racines carrées (cours)

Pré requis : dft du carré d’un nombre, arrondi, troncature, Pythagore,
RACINES CARREES
I Introduction :
Dans quel chapitre a-t-on vu les racines carrés ? dans Pythagore
1) Quelle est l’aire d’un carré dont la longueur du côté est 7 cm ? L’aire est c × c = 7 × 7 = 49 cm².
2) Quelle est la longueur du côté d’un carré dont l’aire est 9 m² ? La longueur du côté est 3 m car 3 × 3 = 9.
3) Quelle est la longueur du côté d’un carré dont l’aire est 2 dm² ? Pour l’instant on ne peut pas répondre.
Les laisser chercher 1² ; 2² ; 1,1²…… Peut-on construire un tel carré ?
4) Objectif : construire un carré dont l’aire est 2 dm² .
a) Construis deux carrés dont la longueur d’un côté est 1 dm.
b) Partage ces deux carrés, puis les coller, de telle manière à obtenir un carré dont l’aire vaut 2 dm².
5) a) On note c la longueur en dm d’un côté du carré construit. On a : c > 0 et c² = 2.
b) Que vaut c ? Les laisser chercher 1² = 1 et 2² = 4 donc 1 < c < 2
1,4²=1,96 et 1,5²=2,25 donc 1,4 < c < 1,5
1,41²=1,9881 et 1,42 = 2,0164 donc 1,41 < c < 1,42……
c) Le nombre c est-il un entier ? Non
Oralement (pour information)
Si le dernier chiffre de l’écriture
décimale de x est : 123456789
Alors le dernier chiffre de
l’écriture décimale de x² est : 149656941
Donc c n’est pas un nombre décimal non entier car le dernier chiffre de l’écriture décimale de c² n’est pas 1 ; 4 ; 5 ou 9.
On admettra que la longueur de côté de ce carré (c) ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction et on le prouvera en
exercice.
On note c = 2 . Comment peut-on définir 2 ? C’est le nombre supérieur à zéro dont le carré est 2.
Remarque : 2 est un nombre irrationnel (à prouver en exo)
Exemples : La racine carrée de 100 est le nombre positif dont le carré est 100 c’est à dire 100 =10.
La racine carrée de 81 est le nombre positif dont le carré est 81 c’est à dire 81 =9.
La racine carrée de 5 est le nombre positif dont le carré est 5 c’est à dire 5 .
II La racine carrée :
1) Définition :
Soit a un nombre positif, la racine carré de a est le nombre positif dont le carré est a.
La racine carré de a se note a .
2) Remarques :
( a )² = a ; a² =a avec a un nombre positif.
3) Exemples :
0 = 0 ; 4 = 2 ; 9 = 3 ; 16 = 4 ; 64 = 8.
4) Tableau des carrés parfaits : A ABSOLUMENT ECRIRE
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a
x² 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 a
III Propriétés :
1) Racine carrée et multiplication :
Activité :
Sans la calculatrice : * calcule 9×4 , puis calcule 9 ×4 . * calcule 49×4 , puis calcule 49 × 4 .
9×4 = 36 =6 et 9 ×4 =3×2 = 6

49×4 = 196 =14 et 49 × 4 =7× 2 =14 on constate qu’il y a égalité.
Propriété n°1 :
Soient a et b deux nombres positifs on a : a×b = a ×b .
La racine carrée d’un produit est égale au produit des racines carrées.
Exercices types.
- Effectue les différents calculs et donne les résultats sous la forme la plus simple possible.
8 ×2 = 4 3 ×12 = 6 2 ×50 = 10 2,5 ×10 =5
10 ×1000 = 100 0,81 ×100 = 9 0,4 ×0,9 = 0,6 0,1 ×2,5 = 0,5
- « écrire sous la forme a b « Relie les écritures d’un même nombre.
8 =2 2 12 = 2 3 18 =3 2 27 = 3 3 32 = 4 2 48 = 4 3
car … 8 = 4 × 2 = 4 × 2 = 2 × 2 =2 2 ……
- « écrire sous la forme a b « Réduis A sous la forme a 2 et B sous la forme a 3
A = 8 + 2 − 3 32 = 2 2 + 2 − 3×16 ×2 = 2 2 +1 2 −12 2 = −9 2
B = 2 48 − 3 27 + 300 = 2× 4 3 -3× 3 3 +10 3 = 8 3 −9 3 +10 3 = 9 3
- Calcule mentalement.
25×36 =5×6 =30 100×49 =70 0,01×16 =0,4 2²×3²×5².=30
2) Racine carrée et division :
Activité :
Sans la calculatrice : *calcule 100
4 , puis calcule 100
4 = 10 2 =5 *calcule 36
9 , puis calcule 36
9 =6 3 =2
Propriété n°2 :
Soient a et b deux nombres positifs avec b ≠ 0 on a : a
b = a
b .
Exercices types :
- Calcule mentalement.
25
36 = 5 6 1 49 =1 7 100 81 =10 9 0,04 9 = 0,2 3 = 2 30 = 1 15
27
3 =3 28 7 =2 125 5 = 5 0,9 10 = 0,3 6,4 0,1. = 8
- Transformation d’écriture
Ecrire une expression sous la forme a b :
 Bien lire l’énoncé qui donne parfois l’indication du nombre b recherché.
 Décomposer le nombre situé sous chaque à l’aide d’un carré parfait : 4 − 9 − 16 − 25
− 36 − …… − 100 c’est à dire × b en mettant le carré en 1
er
 Casser la : c’est à dire × b
 La 1
ère
se simplifie et disparaît en laissant la 2
ème
b recherchée
 Ne pas oublier de multiplier les nombres devant la b : 3 × 2 × = 6
 Compter le nombre total de b
COIN
METHODE

Simplifier 4
3 = 2
3 7
25 = 7 5
Calculer 3
5 + 1
5 = 3
5 + 1
5 = 3
5 + 1 5 = 3 5 + 5 25 = 3 5 + 5
25 = 3
5 + 5 5 = 3 + 5 5
Au passage on fera remarquer que 1
5 = 5
5 et donc 1
2 = 2
2
IV Résolution de l’équation x² = a où a est un nombre positif :
1) Cas où a =0 :
Résous l’équation x² = 0. C’est chercher toutes les valeurs de x pour que x² =0.
0 est la solution de l’équation x² =0.
Propriété : L’équation x² = 0 admet une solution et une seule 0.
2) Cas où a >0 :
Résous l’équation x² = 9
On cherche par tâtonnement, il trouve 3 , on leur demande une autre solution
Propriété : L’équation x² = a où a > 0 admet deux solutions −a et a
3) Exercices types :
Résous les équations suivantes : x² =3 x² =81 x² = 18 et 2x² = 50
x = 3 ou − 3 ; x = 81 = 9 ou − 81 = − 9 ; x = 18 = 3 2 ou − 18 = − 3 2
x² = 50 : 2 = 25 et x = 5 ou x = −5
La résolution d’une équation : x² = a :
 Faire apparaître le x² seul de son côté
 Les solutions sont x = a ou x = − a
 Donner le résultat exact si possible ou simplifier la
COIN
METHODE