Spé PC* Mathématiques Ch. 1 : Algèbre linéaire (dém. :grandes

2014/2015
Spé PC*
Mathématiques
Semaine n2
Lundi 22 Septembre
Programme de colle
Ch. 1 : Algèbre linéaire
Exemples de K ev et de sev. Dans Mn (K) exemple des matrices symétriques, antisymétriques. Ces
deux espaces sont supplémentaires. Produit cartésien de p espaces vectoriels sur un même corps
K. Structure
d'ev. Si tous les espaces sont de dimension nie le produit l'est aussi et
( p
) naturelle
p
∏
∑
dim
Ei =
dim(Ei ). Construction d'une base du produit à partir de bases de chacun des
i=1
i=1
espaces. Somme de p sev de E . C'est un sev de E . Application naturelle de ∏pi=1 Ei dans ∑pi=1 Ei .
p
∑
Cette application, φ : (x1 , . . . , xp ) 7→ xi , est toujours surjective. Somme directe de p sev : c'est
i=1
le cas où φ est injective (et donc dans ce cadre bijective). D'où les deux dénitions équivalents
:
∑r
F1 , . . . , Fr sont en somme directe ssi ∀x ∈ F1 +· · ·+Fr , ∃ ! (x1 , . . . , xr ) ∈ F1 ×· · ·×Fr / x = i=1 xi
ou bien dénition équivalente
r
∑
−
→
→
−
F1 , . . . , Fr en somme directe ssi ∀(x1 , . . . , xr ) ∈ F1 × · · · × Fr ,
xi = 0 ⇔ ∀i ∈ [[1, r]], xi = 0 .
( r
∑
)
r
∑
i=1
Fi ≤
dim(Fi ) avec égalité ssi la somme est directe
Cas de la dimension nie : on a dim
i=1
i=1
(dém. ). Base adaptée à un sous-espace F de E . Si B, base de E est la réunion de deux familles
non vides B1 et B2 avec B1 ∩ B2 = ∅ alors B1 est une base adaptée à V ect(B1 ) (dém.). Fractionnement d'une base en r sous-familles et somme directe associée. Factorisation des applications
linéaires. Théorème de factorisation : si E est la somme directe des espaces E1 , ..., Er et si, pour
tout i ∈ {1, ..., r}, ui est une application linéaire de Ei dans F , autre K-ev, il existe une unique application linéaire f de E dans F telle que, pour tout i, tout x de Ei , f (x) = ui (x), c.a.d. f/E = ui
(dém. :grandes étapes de la démonstration dans le cas r = 2).
i
Ch. 2 : Matrices et endomorphismes
Quelques calculs matriciels : rappels en utilisant les bases canoniques de Mn (K) et Mn,1 (K).
Matrices de rang 1. Hyperplans. Formes linéaires. Les hyperplans sont exactement les noyaux des
formes linéaires non nulles. Équations d'un hyperplan. Pour deux formes linéaires non nulles φ et
ψ on a l'équivalence φ = ψ ⇔ ∃k ∈ K, k ̸= 0 / ψ = kφ (dém.). Sous-espace stable par un endomorphisme. Si u, v sont deux endomorphismes de E qui commutent, alors ker v et Im(v) sont stables
par u (dém.). Caractérisation matricielle de la stabilité par u d'un sev F en utilisant une base
adaptée à F . Généralisation à p sev stables en somme directe. Matrices triangulaires supérieures :
en notant f l'endomorphisme de Kn canoniquement associé à T ∈ Mn (K), on a la caractérisation
T triangulaire supérieure ssi les espaces V ect(e1 ),V ect(e1 , e2 ),...,V ect(e1 , . . . en ) sont stables par
f . Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure.
Idem pour l'inverse. Matrices semblables de Mn (K). Elles représentent le même endomorphisme
dans deux bases diérentes. Formule de changement- de base. Trace d'une matrice carrée : c'est une
forme linéaire qui vérie de plus tr(AB) = tr(BA). (dém.). Trace d'un endomorphisme. Polynôme
de matrice, polynôme annulateur : présentation rapide. Exemple de calcul des puissances d'une
matrice si on connaît un polynôme annulateur. Calcul matriciel par blocs.
Révision de première année : Algèbre linéaire.