Le théorème de Gauss

LethéorèmedeGauss
I–Fluxduchampélectrostatique
Définition:
Soitunchampélectrostatiquedéfinidansundomainedel’espace.
SoitΣunesurfacedontlecontourestorientédemanièrearbitraire.Lechoixdecette
orientationconditionnelechoixduvecteurnormalunitaireàlasurfaceélémentaire
centréeen(règledutire‐bouchonoudelamaindroite).
OnappellefluxélémentaireΦduchampàtraverslasurfaceorientéelaquantité:
Φ
.
Lefluxtotalduchampàtraverstoutelasurfaceestalors:
Φ 
.
Intérêtphysiqueduflux:
Φ.
Leflux«compte»leslignesdechampquitraversentlasurface(lefluxestmaximallorsque
0etnulpour
).

Casd’unesurfacefermée:
Exemplesdesurfacesfermées(ellesdélimitentunvolumefini):
Levecteurnormalnestchoisi,parconvention,dirigéversl’extérieurduvolumedélimitépar
lasurfacefermée.
Ondéfinitalorslefluxsortantàtraverslasurfacefermée,quel’onnote:
Φ 
.
II–LethéorèmedeGauss
LethéorèmedeGausspermetd’évaluerlefluxduchampélectrostatiquesortantd’une
surfacefermée,enfonctiondeschargescontenuesàl’intérieurdecettesurface.
Onconsidèreunechargeponctuelleplacéeenetonchoisitcommesurfaceferméela
sphèreΣ,decentreOetderayon.
OnévaluelefluxsortantduchampélectriqueàtraversΣ,.

Enintégrantsurtoutelasphère(surlaquelleestconstant):
Φ 
. .
1
4
Φ1
4
Enintégrantsurtoutelasphère(surlaquelleestconstant):
Φ1
4
è 1
4
4Φ
Généralisation:Onconsidèredeschargesponctuellesplacéesàl’intérieurd’unvolume
délimitéparunesurfaceferméeΣquelconque.
Φ 
.
Φ1
Casdechargesextérieuresàlasurfacefermée:
Lefluxsortantduchampcrééparlachargeàtraverslasurfaceferméeestnul(lesflux
àtraversetsecompensentdeuxàdeux:leschampsdiminuentcomme
maisles
surfacesaugmententcomme).

ÉnoncéduthéorèmedeGauss:
Leschargesetcréentunchampentoutpointdel’espace.
Φ 
.
Φ1
Lefluxduchampsortantd’unesurfaceferméeestégalauproduitpar 
delasommedes
chargesintérieuresàlasurface;cefluxestindépendantdeleurpositionetdelaprésence
dechargesextérieures.
Casd’unerépartitionvolumiquedecharges:
Soitladensitévolumiquedecharges.
Φ 
.
1

III–ApplicationsduthéorèmedeGauss
Méthodederaisonnement:choixd’unesurfacedeGaussΣpuis:
Φ 
.
 1
CalculdirectdufluxenutilisantlespropriétésCalculdeschargesintérieuresàla
surfacedesymétriefortesduchampGausschoisie.
(siellesexistent!)
L’identificationdesdeuxexpressionsdufluxsortantdonneensuitelavaleurduchampen
toutpointdel’espace.
1–SphèreΣ,uniformémentchargéeenvolume:
Si:
 4
3
Si
 4
3
QdésignantlachargetotaleportéeparlasphèreΣ,.
L’applicationduthéorèmedeGaussdonnealors:
Pour:
1
4
1
4
C’estéquivalentauchampdûàunechargeponctuelleplacéeen.
Φ 
.
Φ 
.
Φ 
,
Φ4