Statistiques 2009-2010 Cours 8 Bachelor 1ère année Unil, Ecole des HEC Probabilités (1) Introduction à la théorie probabiliste, combinaisons et permutations, probabilités conditionnelles, formule de Bayes Introduction • Probabilité que les ventes baissent si les prix augmentent ? • Probabilité que tel ou tel projet soit fini à temps ? • Probabilité qu’un nouvel investissement soit rentable ? • Probabilité que Manchester City gagne la Champions League ? => Probabilité = mesure numérique de la vraisemblance de l’occurrence d’un événement 3 1 Probabilités subjectives et objectives • Lu le 4 novembre 2008: «Bonne nouvelle pour le candidat démocrate: les Steelers de Pittsburgh ont écrasé hier les Redskins de Washington en NFL. Depuis près de 80 ans, la «Règle Redskins» est en vigueur: s’ils perdent c’est le candidat du parti qui a perdu les dernières élections qui est élu.» => probabilité objective? Probabilité subjective? 4 Théorie des probabilités, définitions (1) 5 Théorie des probabilités, définitions (2) 6 2 Théorie des probabilités, définitions (3) 7 Théorie des probabilités, définitions (4) S = « l’espace-échantillon », l’ensemble des résultats possibles 8 Théorie des probabilités, définitions (4) 9 3 Théorie des probabilités, définitions (4) 10 Théorie des probabilités, définitions (4) 11 12 4 Axiomatique de base 13 Exemple 14 Combinaisons et permutations • Identifier et dénombrer les résultats possibles de l’expérience est une étape nécessaire dans la détermination des probabilités. • Combinaisons => nombre de résultats obtenus en sélectionnant n objets parmi un ens. de N objets. • Permutation => combinaison + l’ordre des tirages compte! (les n objets tirées dans un ordre différent constituent un autre résultat de l’expérience) 15 5 Analyse combinatoire 16 Règle de comptage par combinaisons (1) • Le nombre de combinaisons avec n objets sélectionnés parmi N est : C nN = ( nN ) = N! n!( N − n)! • Exemple : Procédure de contrôle de qualité : ⇒ on tire au sort 2 pièces parmi 5. ⇒ Combien de combinaisons de 2 pièces différentes possibles? C 25 = ( 52 ) = 5! (5)( 4)(3)(2)(1) 120 = = = 10 2!(5 − 2)! (2)(1)(3)( 2)(1) 12 17 Règle de comptage par combinaisons (2) • Dans un échantillon issu d’une population de taille N, la règle de comptage par combinaisons permet de déterminer le nombre d’échantillons de taille n qui peuvent être sélectionnés. • Autre exemple : Soit une loterie où il faut trouver les 6 bons numéros parmi 47. Quelle est la probabilité d’avoir la bonne combinaison? C 647 = ( 47 6 ) = 47! ( 47)(46)(45)(44)(43)(42) = = 10737573 6!(47 − 6)! (6)(5)(4)(3)(2)(1) 18 6 Autres exemples 19 Permutations 20 Règle de comptage par permutations • Une expérience aura toujours plus de permutations que de combinaisons : pour chaque tirage de n objets, il y a n ! façons de les ordonner PnN = n!( nN ) = N! ( N − n)! • Si on reprend ainsi l’exemple du contrôle qualité P25 = 2!( 52 ) = 5! (5)(4)(3)(2)(1) = = (5)(4) = 20 (5 − 2)! (5)(4)(3) => si l’ordre de tirage est pris en compte il y a 20 résultats possibles. 21 7 Théorème du binôme 22 Evénements dépendants et probabilités conditionnelles • Les événements A et B sont dépendants : L’information sur A influence la probabilité d’avoir B et vice-versa • Probabilité conditionnelle : Probabilité qu’un événement survienne, étant donné l’information sur un autre événement Pr(A sachant B) = Pr(A | B) E.g. Pr(A se réalise SACHANT QUE B est réalisé) 23 Probabilité conditionnelle 24 8 Formule de Bayes • Pr(A ∩ B) Pr(A | B) = ------------Pr(B) • Pr(A ∩ B) = Pr(A | B) .Pr(B) = Pr(B | A) .Pr(A) • Si A et B sont indépendants : => Pr(A | B) = Pr(A) => Pr(A ∩ B) = Pr(A) Pr(B) 25 Théorème de multiplication 26 Arbre de probabilité 27 9 Formule de Bayes 28 Formule de Bayes 29 10