M205 : Algèbre bilinéaire

M205 : ALGÈBRE BILINÉAIRE
Notes de cours de Clément BOULONNE
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Université des Sciences et Technologies de Lille
U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées
L2 Mathématiques

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Table des matières
Chapitre I Rappels 1
I.1 Théorème de la base incomplète ...................... 1
I.2 Sous-espace vectoriel engendrée par une partie .............. 1
I.3 Quotient d’espaces vectoriels ........................ 2
Chapitre II Dualité 5
II.1 Ensemble des applications linéaires ..................... 5
II.2 Espace dual .................................. 5
II.3 Transposée d’une applicaion linéaire .................... 6
II.4 Base duale .................................. 8
II.5 Bidual ..................................... 9
II.6 Relations d’orthogonalité .......................... 10
Chapitre III Formes bilinéaires 15
III.1 Définitions .................................. 15
III.2 Écriture matricielle ............................. 17
III.3 Formes bilinéaires non dégénérées ..................... 19
III.4 Formes bilinéaires symétriques ....................... 19
III.5 Formes quadratiques ............................. 21
III.6 Produit scalaire ............................... 22
Chapitre IV Espaces euclidiens 25
IV.1 Généralités .................................. 25
IV.2 Adjoint d’un endomorphisme ........................ 27
IV.3 Automorphismes orthogonaux ....................... 30
IV.4 Décomposition canonique d’une forme quadratique ............ 31
IV.5 Classification des isométries ......................... 36
Chapitre V Formes hermitiennes 41
V.1 Formes et espaces hermetiens ........................ 41
V.2 Automorphismes unitaires .......................... 51
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iv TABLE DES MATIÈRES
Chapitre VI Complexification d’un espace euclidien 53
VI.1 Complexifié d’un espace vectoriel réel ................... 53
VI.2 Complefixiée d’une forme bilinéaire symétrique .............. 57
VI.3 Complexifié d’un espace euclidien ...................... 57
VI.4 Orientation d’un espace vectoriel réel et angle de rotation ........ 60

CHAPITRE I
RAPPELS
La première étape de ce cours sera de démontrer le théorème suivant :
Théorème I.1. Soit Kun corps, A∈Mn,m(K). On note la transposée de A,AT(si(1)
K=R). Alors rg A = rg AT.
Mais avant de commencer à travailler, on n’échappe pas à quelques rappels d’algèbre
linéaire.
I.1 Théorème de la base incomplète
Théorème I.2 (Théorème de la base incomplète).Soient I,J⊂Ndeux ensembles d’in-
dices, (ei)i∈Iun système libre de vecteurs d’un espace vectoriel Vet (fj)j∈Jun système
générateur de Valors il existe J0⊂Jtel que le système (ei)i∈I∪(fk)k∈J0soit une base de
V.
Exemple I.3. Soit V = R3. On se fixe e1= (1,1,1),f1= (1,0,0),f2= (0,0,1),f3=
(0,0,1) et f4= (1,2,3). Une base de Vserait (e1, f1, f2)ou encore (e1, f1, f4).
Corollaire I.4. Tout espace vectoriel admet une base. On prend, dans le théorème I.2,
C = ∅.
Théorème I.5. Toutes les bases d’un espace vectoriel Vont le même cardinal.
I.2 Sous-espace vectoriel engendrée par une partie
Soit Vun espace vectoriel sur le corps Ket S⊂V.
Proposition I.6. Une intersection de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel.
Proposition I.7. Il existe un plus petit sous-espace Vcontenant Squ’on note hSi(ou
Vect(S)). Ce sous-espace admet les descriptions suivantes :
(1)On verra, par la suite, comment on nomme la transposée d’une matrice quand K=C
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