Cours

Logique
IUT Villetaneuse
Département Informatique
30 juin 2014

Chapitre 1
Propositions
1.1 Historique
Le mot "logique" vient du grec "logos" qui signifie parole ou raison. Blaise Pascal au XVIIème siècle l’a défini
comme l’art de raisonner. Le raisonnement est le fait de tirer des conclusions à partir de faits observés, ou d’hypothèses
formulées. Le but de la logique est donc de définir des critères permettant de décider si un raisonnement est valide ou
pas.
1.1.1 Aristote
ARISTOTE, (-384,-322), disciple de Platon, est le premier philosophe grec à s’intéresser à la
logique. D’après celui-ci, tout discours doit être fondé sur un mode de déductions sans failles,
contrairement à la rhétorique, art du discours destiné à convaincre. On doit à Aristote :
•La notion de proposition, énoncé abstrait sur lequel on ne fait aucune hypothèse sur la valeur
de vérité.
•Le principe du tiers-exclu : tout énoncé est soit vrai, soit faux.
•Les syllogismes dont le célèbre : "Tout homme est mortel, Socrate est un homme, donc
Socrate est mortel".
•Les quantificateurs :
– Universel : Pour tout élément x, noté ∀x
– Existentiel : Il existe un élément x, noté ∃x
1.1.2 Les postulats d’Euclide
Au XIXème siècle, il s’agit enfin de donner des "fondations" aux mathématiques : en effet, on pensait jusque là que
celles-ci décrivaient parfaitement la réalité physique. Mais apparaissent les paradoxes de la théorie des ensembles et le
rejet du cinquième postulat d’Euclide.
Rappelons les cinq postulats d’Euclide, avec une formulation modernisée, base de départ de toute la géométrie :
•Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques.
•Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne droite.
•Étant donné un segment quelconque, un cercle peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et l’une de ses
extrémités comme centre.
•Tous les angles droits sont égaux entre eux.
•Si deux droites sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d’un côté est
inférieure à deux angles droits, alors ces deux droites sont sécantes de ce côté.
Les mathématiciens pensèrent que le cinquième postulat pouvait se déduire des quatre premiers. Devant l’échec des
nombreuses tentatives, l’idée fut tout simplement de réfuter ce cinquième postulat, ce qui donna lieu à la naissance
aux géométries non-euclidiennes.
1.1.3 Frege, Hilbert et l’axiomatisation
C’est Frege qui a posé les bases de la logique moderne. La différence essentielle par rapport à la logique d’Aristote est
que Frege a une approche mathématique de la logique. Il va ainsi développer la logique des propositions et la logique
des prédicats.
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David Hilbert, (1862-1943) améliore la méthode axiomatique d’Euclide et propose une axiomatique de la géométrie
indépendante de l’expérience. De la même manière, comme Euclide, il pense que toutes les mathématiques découlent
d’un nombre fini d’axiomes ( propositions vraies à-priori ) et de règles de déduction logique, permettant d’obtenir les
théorèmes à partir des axiomes. On doit aussi à Hilbert la théorie de la démonstration.
1.1.4 Le formalisme
Reprenons le syllogisme célèbre d’Aristote : "Tout homme est mortel. Socrate est un homme, donc Socrate est
mortel".
En notant : m(x)= "xest mortel", h(x)= "xest un homme", et Spour Socrate, on obtient :
• ∀x:h(x)⇒m(x)
•h(S) = 1, c’est à dire h(S)est vrai.
•De ces deux hypothèses, on déduit : m(S) = 1
1.1.5 Les applications de la logique mathématique
Elle a des applications directes dans les applications informatiques suivantes :
•Conception de circuits électroniques.
•Sémantique des langages de programmation.
•Modélisation de problèmes.
•Intelligence artificielle et systèmes experts.
1.2 Propositions
1.2.1 Introduction
Tous les langages de programmation contiennent des expressions du type :
IF(test)THEN{Instructions1...}ELSE{Instructions2...}
Il est donc nécessaire de savoir si le test est vrai pour pouvoir exécuter la suite d’instructions1ou s’il est faux pour
exécuter la suite d’instructions2.
1.2.2 Idée intuitive de proposition
Définition 1.2.1
Une proposition est un énoncé dont on peut dire sans ambiguïté qu’il prend l’une des deux "valeurs" : vrai ou
faux, mais jamais les deux à la fois.
On dit qu’on a attribué une valeur booléenne à la proposition :
•1 pour Vrai ou True
•0 pour Faux ou False
Remarques 1.2.1
•Nous sommes dans le cadre d’une logique binaire, mais il en existe d’autres : logique à trois valeurs, logique
probabiliste, logique floue, etc...
•Dans les langages de programmation, chaque proposition est stockée dans une variable booléenne.
1.2.3 Énoncés étant des propositions
•"Il pleut"
•"Le nombre réel 4 est inférieur à -3" = (4 ≤ −3)
•"πest un nombre rationnel" = (π∈Q)
•"Berlin est la capitale de la Norvège"
•"Dans le plan, la somme des angles d’un triangle est égale à π"
•"Henri IV a été assassiné en 1610"
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•En langage C, le test "i == 4"
Remarquons qu’on peut écrire des propositions, sans toutefois affirmer si elles sont vraies ou fausses, d’ailleurs la
vérité d’une proposition peut varier en fonction du temps, du contexte ou de la discipline. "La terre est ronde" est
une proposition vraie si on la considère comme la négation... de la phrase "La terre est plate". C’est une proposition
fausse dans le sens où sa forme est un ellipsoïde.
1.2.4 Énoncés n’étant pas des propositions
•L’imprécision : "Le paquet pèse environ 2 kg"
•Les énoncés hypothétiques : "L’été sera exceptionnellement chaud"
•La morale ou l’arbitraire : "On doit conduire à droite"
•Les interrogations : "Doit-on aimer la marche à pied ?"
•L’impératif : "Fermez la porte de l’amphithéâtre !"
•Les sujets à discussion : "J’adore la peinture abstraite"
•Énoncés contenant une variable non quantifiée : "Le carré de xest plus grand que x"
•Énoncés dépourvus de sens : "Oiseau livre la dans penser pourquoi horloge habilement" ou "(= 325+)"
•La poésie : "Le bureau chante dans la raquette verte" ...
•L’auto-référence : "Cette phrase est un mensonge". Déclarer cette phrase comme étant vraie ou fausse conduit à
une contradiction.
1.2.5 Objet de la logique
Ce n’est pas l’objet de la logique de décider si une proposition est vraie ou fausse, c’est l’objet de la discipline dans
laquelle la logique s’applique : mathématiques, histoire, informatique, droit, etc ... Par contre, les valeurs de certaines
propositions ayant été fixées, la logique nous permettra de savoir si les expressions composées à partir de celles-ci et
des connecteurs logiques sont vraies ou fausses.
1.2.6 Modèle physique
On peut associer très facilement les propositions et les circuits électriques : Une proposition ppouvant être soit vraie,
soit fausse, on considère les deux états d’un circuit électrique muni d’un interrupteur :
•Le courant passe dans le circuit quand l’interrupteur est fermé : p= 1
•Le courant ne passe pas : l’interrupteur est ouvert : p= 0
• • p= 0
• •
Ip= 1
1.3 Connecteurs logiques
1.3.1 Connecteurs logiques
On définit dans l’ensemble des propositions P, des lois de composition internes ou connecteurs logiques binaires
en faisant correspondre au couple (p, q), une proposition définie par les valeurs de vérité qu’elle prendra en fonction
de celles de pet q.
∗: (p, q)→p∗q
Le tableau donnant les valeurs de cette nouvelle proposition est une table de vérité.
Les trois connecteurs logiques de base sont :
•la négation de p, notée ¬p
•La conjonction de pet q, notée p∧q
•La disjonction inclusive de pet q, notée p∨q
Cependant, on peut former 16 propositions à partir du couple (p, q). Les tables de vérité des 16 connecteurs logiques
sont données en annexe.
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1.3.2 Les trois connecteurs logiques de base
Définition 1.3.1
•La négation de pest la proposition, notée ¬pqui est vraie si pest fausse et fausse si pest vraie.
•La conjonction de pet qest la proposition, notée p∧q, lue "pet q", qui est vraie si pet qsont vraies
simultanément et fausse sinon.
•La disjonction de pet qest la proposition, notée p∨q, lue "pou q", qui est vraie si pest vraie ou si qest vraie
et fausse sinon.
Ces connecteurs ont pour table de vérité :
p¬p
0 1
1 0
p q p ∧q
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
p q p ∨q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
En langage C, le connecteur ∧est noté &&, le connecteur ∨est noté || et la négation est notée ! .
1.3.3 Modèle physique
On peut associer aux deux connecteurs logiques ∧et ∨un montage électrique :
•La conjonction ∧est réalisée par le montage de deux interrupteurs en série.
•La disjonction ∨est réalisée par le montage de deux interrupteurs en parallèle.
• • • • p∧q
•
•
•
•
p∨q
1.3.4 Connecteurs logiques et langage courant
Remarques 1.3.1
Il ne faut pas donner au connecteur ∧toutes les interprétations du "et" dans le langage courant :
•Le connecteur ∧est commutatif, mais la phrase : "Gérard se leva et partit" ne présente aucune idée de commutativité.
•La phrase "Jean possède un pull bleu et rouge" est différente de "Jean possède un pull bleu et jean possède un pull
rouge".
•La phrase "Geneviève et Françoise ont un chien" est différente de "Geneviève a un chien et Françoise a un chien".
•Les phrases "Pierre se sentit triste et but beaucoup" et "Pierre but beaucoup et se sentit triste" n’ont pas le même
sens.
Il ne faut pas donner au connecteur ∨toutes les interprétations du "ou" dans le langage courant :
•La disjonction ∨est inclusive, à la différence de la disjonction exclusive : soit ... soit ... "La porte est ouverte ou
fermée", mais ne peut être les deux à la fois.
•Il y a un connecteur pour la disjonction exclusive noté ∨∨
•La phrase "La bourse ou la vie" n’a pas le sens du "ou" inclusif mais doit être comprise comme "Si tu ne me donne
pas ta bourse, je te prends la vie".
1.4 Propriétés
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