E - LPSC

Johann Collot Cours de physique des particules du master recherche de physique subatomique et d'astroparticule
( UJF Grenoble / U. de Savoie )
Année : 2005-2006
Cinématique, taux de désintégrations
et sections efficaces de réactions
Table des matières
1 Transformée de Lorentz :............................................................................................................................2
2 Rapidité :.....................................................................................................................................................2
2.1 Transformée de Lorentz selon (0,z) en fonction de la rapidité :.........................................................3
2.2 Pseudorapidité : .................................................................................................................................3
3 Centre de masse :........................................................................................................................................3
3.1 Énergie totale dans le centre de masse :..............................................................................................3
3.2 Quantité de mouvement dans le centre de masse pour une expérience sur cible fixe :......................4
4 Désintégrations de particules :....................................................................................................................4
4.1 Désintégrations en deux corps :..........................................................................................................5
4.2 Désintégrations en trois corps et diagrammes de Dalitz :...................................................................5
5 Section efficace :.........................................................................................................................................6
5.1 Réactions à deux particules dans la voie de sortie et variables de Mandelstam : .............................7
5.2 Réactions inclusives :..........................................................................................................................9
5.3 Canaux croisés :..................................................................................................................................9
6 Pour en savoir plus :..................................................................................................................................11
7 Exercices :................................................................................................................................................12
7.1 Exercice 3 : .......................................................................................................................................12
7.2 Exercice 4 : .......................................................................................................................................12
7.3 Exercice 5 : .......................................................................................................................................12
7.4 Exercice 6 : .......................................................................................................................................12
1

Johann Collot Cours de physique des particules du master recherche de physique subatomique et d'astroparticule
( UJF Grenoble / U. de Savoie )
Année : 2005-2006
1 Transformée de Lorentz :
Le quadrivecteur énergie-quantité de mouvement
P= E , p
d'une particule de masse m se
déplaçant à une vitesse
= p/E
(dans le système d'unités naturelles
ℏ=c=1
) par rapport à un
référentiel galiléen R, examiné dans un deuxième référentiel Rf se mouvant avec la vitesse relative
constante
f
par rapport à R, est obtenu en appliquant la transformée de Lorentz suivante :
E*
p//
*
=
f− ff
−fff
E
p//
, p⊥
*=p⊥
, où
p// et p⊥
sont les composantes parallèle et orthogonale
à
f
de
p
, et
f= 1− f
2−1/2
. Tout autre quadrivecteur se transforme de la même manière. De plus
le produit scalaire de deux quadrivecteurs est un invariant de Lorentz ce qui a pour conséquences que :
•
P⋅P=E2−p2=m2=E*2−p* 2 =cte
, la masse d'une particule est un invariant relativiste ;
•le produit scalaire de deux quadrivecteurs énergie-quantité de mouvement de deux particules
P1 ⋅P2=E1E2− p1 ⋅ p2=cte
.
Si Rf coïncide avec le référentiel au repos d'une particule, dans lequel le quadrivecteur énergie-quantité de
mouvement se réduit à
P*= m , 0
, ce qui signifie que
f=
, on obtient alors dans R :
E
p
=
m
0
⇒E= m ; p= m =E
.
2 Rapidité :
Dans un repère cartésien lié au référentiel R, on choisit de placer l'axe (o,z) dans une direction
particulière, qui s'avère très souvent être la direction d'un faisceau de particules. La masse transverse mT
d'une particule de masse m est définie à partir de la projection orthogonale à (o,z) de sa quantité de
mouvement
p
par la relation suivante :
mT
2=m2pT 2=m2px 2py 2
, ou encore :
m2=mT
2−pT 2
.
On peut montrer que :
E2−p2=E2−pz
2−pT 2=m2=mT 2−pT 2⇒mT 2=E2−pz 2
.
En utilisant la trigonométrie hyperbolique (
cosh2x−sinh2x=1
), on peut alors exprimer les
coordonnées du quadrivecteur
P= E , p
de la façon suivante :
P= E=mTcosh , pT= px
2py 2, pz=mTsinh 
,
où : , la rapidité, est une grandeur donnée par :
 = tanh−1z = tanh−1pz/E = ln Epz
mT
 = 1
2ln Epz
E−pz
.
C'est une grandeur sans unité qui varie de
−∞
à
∞
.
2

Johann Collot Cours de physique des particules du master recherche de physique subatomique et d'astroparticule
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Année : 2005-2006
2.1 Transformée de Lorentz selon (0,z) en fonction de la rapidité :
Les paramètres de la transformée de Lorentz qui permet de calculer les coordonnées de P dans le
référentiel Rf se mouvant à la vitesse constante
f=0,0 ,f
par rapport à R , sont :
f= 1−f
2−1/2= cosh2f−sinh2f
cosh2f
−1/2
=cosh f
,
ff=cosh ftanh f=sinh f
, ce qui conduit à :
E*
pz
*
=
cosh f−sinh f
−sinh fcosh f
E
pz
, p⊥
*=p⊥
.
La rapidité est un grandeur additive selon (o,z). Une particule animée d'une vitesse , voit la
composante longitudinale de sa vitesse se transformer dans le repère Rf selon la loi relativiste :
z
*=z− f
1−zf
, soit
tanh *=tanh −tanh f
1−tanh tanh f
=tanh− f ⇒ *= − f
.
On retrouve alors le caractère additif de la loi de composition des vitesses de la mécanique classique
newtonienne (selon l'axe (o,z)), d'où l'origine du nom «rapidité».
On peut noter que
f
étant constant, on a :
d*=d
.
2.2 Pseudorapidité :
Lorsqu'une particule se situe dans un régime de mouvement dit ultra-relativiste, sa masse devient
négligeable devant sa quantité de mouvement
p
. On obtient alors :
E≈p et mT=ET≈pT
, ce qui
implique que :
 = 1
2lnEpz
E−pz
≈ 1
2lnppcos 
p−pcos = 1
2lncos2/2
sin2/2 = −lntan /2 = 
, que l'on appelle la
pseudorapidité. La pseudorapidité d'une particule est directement reliée à son angle polaire et dans la
limite ultra-relativiste, elle se confond avec sa rapidité.
On peut également montrer que :
sinh  = cot 
,
cosh  = 1/sin 
et
tanh  = cos 
.
3 Centre de masse :
3.1 Énergie totale dans le centre de masse :
Dans la collision de deux particules décrite sur la figure précédente, l'énergie totale disponible dans le
centre de masse - c'est-à-dire là où se juge le seuil d'une réaction - est donnée par :
3

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Ecm = P1P22= P1cmP2cm 2= E1cmE2cm 2= m1
2m2 22E1E21−12cos 1/2
.
Si m2 est au repos (expérience sur cible fixe), l'expression précédente se réduit à :
Ecm = m1
2m2 22E1m21/2
.
De laquelle on peut tirer que :
Ecm d Ecm =m2d E1=m21d P1
.
Par contre si l'on travaille sur un collisionneur, c'est-à-dire si
cos =−1
, on a alors:
Ecm = m1
2m2 22E1E21121/2
;
et si celui-ci est ultra-relativiste ,
Ecm =2 E1E2
.
3.2 Quantité de mouvement dans le centre de masse pour une expérience
sur cible fixe :
La masse m2 étant au repos, la vitesse du centre de masse est donnée par :
cm =
p1
E1m2
, à l'aide de laquelle on peut déduire que :
cm = 1−cm
2−1/2=E1m2
Ecm
.
La norme de la quantité de mouvement dans le centre de masse de m1 et m2 et alors donnée par :
pcm=p1
m2
Ecm
(qui est une formule équivalente à ce qu'on obtient en mécanique classique, mais dans
laquelle la somme des masses est remplacée par l'énergie totale disponible dans le centre de masse).
4 Désintégrations de particules :
Le taux de désintégration partiel d'une particule de masse m en n corps, exprimé dans son référentiel au
repos, est donné par :
d = 24
2m∣M∣2dnP ; P1,, Pn
, où :
• M est l'élément de matrice invariant de la désintégration considérée ;
•
dnP ; P1, , Pn
est l'élément de l'espace de phase à 3n dimensions qui est donné par :
dnP ; P1, , Pn = 4P−∑
i=1
n
Pi∏
i=1
nd3pi
232Ei
, où
P=m ,0
et
Pi= Ei,pi;i=1, n
sont respectivement les quadrivecteurs énergie-quantité de mouvement de m et des n produits de
masses
mi
de la désintégration.
Le temps de vie moyen d'une particule s'obtient en intégrant pour chacune des voies son taux de
désintégration partiel sur le domaine ouvert de l'espace des phases, en sommant les k voies possibles et
en inversant le tout :
 = 1/
avec
 = ∑
j=1
k
k=∑
j=1
k∫dk
.
4

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Pour une particule de masse m ayant un temps propre moyen de vie (c'est-à-dire mesuré dans un
référentiel lié à cette particule) et possédant un quadrivecteur énergie-quantité de mouvement
PE ,  p
,
la probabilité que celle-ci vive un temps supérieur ou égal à
t0
avant de se désintégrer est :
Pt0 = e
−m
E
t0
=e
−m
E
x0
  =e
−m
p
x0
=Px0
ce qui est également la probabilité qu'elle parcourt une
distance
x0= t0
avant de décroître.
4.1 Désintégrations en deux corps :
En utilisant les notations du schéma de désintégration donné ci-dessus dans le référentiel au repos de la
particule de masse m , on obtient :
E1=m2m1
2−m2 2
2m
,
E2=m2m2
2−m1 2
2m
et
p1=p2= m2−m1m22 m2−m1−m22 1/2
2m
.
Le taux de désintégration différentiel se réduit alors à :
d = 1
322∣M∣2p1 m2d1
, expression dans
laquelle
d1
est l'élément d'angle solide de la particule 1.
Exercice 1 : Démontrer les relations précédentes ; astuce : utiliser la relation
E= p2m2
pour obtenir l'expression simplifiée du taux de désintégration .
4.2 Désintégrations en trois corps et diagrammes de Dalitz :
5