Fiche 1.

M2A – Th´eorie alg´ebrique des nombres Fiche 1
Fiche 1.
Exercice 1. Calculer le polynˆome minimal des nombres alg´ebriques suivant
(1) √2 + √3 ; (2) 1 + √5
2; (3) i+√3
√5; (4) p1 + √7
3; (4) cos(2iπ/5).
Exercice 2. Soit Kun corps quadratique, c’est-`a-dire un corps de nombre de degr´e 2.
1. Montrer qu’il existe un entier d, sans facteur carr´e, tel que K=Q(√d).
2. Soit α=a+b√davec a, b ∈Q. Montrer que αest un entier alg´ebrique si et seulement si
2a∈Zet a2−b2d∈Z.
3. On suppose que d≡1 (mod 4).
OK=Z+1 + √d
2Zet disc(K) = d.
4. On suppose que d≡2,3 (mod 4). Montrer que
OK=Z+√dZet disc(K)=4d.
Exercice 3. Soit Kun corps de nombres de degr´e n. Un sous-anneau Rde Kest un ordre si R
est de type fini comme Z-module et de rang n. Soit Run ordre de K.
1. Montrer que Rest un Z-module libre.
2. Montrer que toute base de Rcomme Z-module est une base de Kcomme Q-espace vectoriel.
3. Montrer que tout ´el´ement de Rest un entier alg´ebrique. En d´eduire que OKest l’ordre
maximal de K.
Exercice 4 (D´eterminant de Vandermonde).Soit x0, . . . , xndes ind´etermin´ees. Montrer que
det
1x0··· xn
0
1x1··· xn
1
.
.
..
.
..
.
..
.
.
1xn··· xn
n
=Y
0≤i<j≤n
(xj−xi).
(Indication : utiliser le fait que le d´eterminant est un polynˆome en x0, . . . , xndivisible par le terme
de droite. Conclure en consid´erant les degr´es.)
Soit Kun corps de nombres. Supposons que OK=Z[α]. Montrer que le discriminant de Kest le
discriminant du polynˆome minimal de α.

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Exercice 5 (Polynˆomes d’Eisenstein).Soit pun nombre premier. Soit A(X)∈Z[X] un polynˆome
unitaire dont tous les coefficients, sauf le terme dominant, sont divisibles par pet dont le terme
constant n’est pas divisible par p2. Montrer que Aest irr´eductible.
Exercice 6. Soit αun nombre alg´ebrique et soit
A(X) = anXn+an−1Xn−1+··· +a1X+a0∈Z[X]
son polynˆome minimal. Montrer que
R=Z+ (anα)Z+ (anα2+an−1α)Z+··· + (anαn−1+··· +a1)Z
est un sous-anneau de Q(α). Montrer, de plus, que R=Z[α] si αest un entier alg´ebrique.
Exercice 7 (Round 2 et crit`ere de Dedekind).Soit Kun corps de nombres et soit Run ordre
de K. Pour pun nombre premier, on dit que Rest p-maximal si l’indice de Rdans OKn’est pas
divisible par p.
1. Montrer que l’ensemble des nombres premiers ppour lesquels Rn’est pas p-maximal est fini.
2. Montrer que si Rest p-maximal pour tout premier p, alors Rest l’anneau des entiers de K.
On explique `a pr´esent un proc´edure pour ´elargir Rjusqu’`a obtenir un ordre p-maximal. On pose
Ip={x∈R: il existe m≥1 avec xm∈pR}et Rp={x∈K:xIp⊂Ip}.
3. Montrer que Ipest un id´eal de Ket qu’il existe m≥1 tel que Im
p⊂pR.
4. Montrer que Rpest un anneau tel que R⊂Rp⊂(1/p)R.
En d´eduire que Rpest un ordre de K.
5. On suppose que Rp6=R. En d´eduire que l’indice de Rdans Rpest divisible par p.
6. On suppose que Rp=R. On montre que cela entraˆıne que Rest p-maximal. On d´efinit
ˆ
Rp={x∈ OK: il existe j≥1 avec pjx∈R}.
(a) Montrer que ˆ Rpest un ordre p-maximal de Kcontenant R.
(b) Montrer qu’il existe r≥1 tel que prˆ Rp⊂R. En d´eduire que Imr
pˆ
Rp⊂R.
(c) Supposons que ˆ Rp6=R.
Montrer qu’il existe 0 ≤n < mr tel que In
pˆ
Rp6⊂ Ret In+1
pˆ
Rp⊂R.
(d) Montrer que In+m+1
pˆ
Rp⊂pR. Soit x∈In
pˆ
Rpavec x6∈ R. Montrer que xIp⊂Ip.
(e) En d´eduire une contradiction.
On explique `a pr´esent comment calculer Ipet Rpdans le cas o`u R=Z[α] avec αun entier alg´ebrique
tel que K=Q(α). On note A(X)∈Z[X] le polynˆome minimal de α. On utilise la notation ¯ pour
repr´esenter la r´eduction modulo p. Soit
A(X)≡¯ A1(X)e1··· ¯ As(X)es(mod p)
la factorisation de Amodulo p. On pose G(X) = A1(X)···As(X) avec les Ai(X)∈Z[X] des
rel`evements unitaires arbitraires des ¯ Ai.

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7. Montrer que pZ[α] + G(α)Z[α]⊂Ip.
8. Montrer que Z[α]/pZ[α] est un Fp-espace vectoriel de dimension do`u d= [K:Q].
En d´eduire que Ip⊂pZ[α] + G(α)Z[α] et donc qu’on a l’´egalit´e Ip=pZ[α] + G(α)Z[α].
Soit H(X) un rel`evement unitaire de ¯ A(X)/¯ G(X)∈Fp[X]. On pose
F(X) = G(X)H(X)−A(X)
p∈Z[X].
Soit β∈(1/p)Z[α], disons β=B(α)/p avec B(X)∈Z[X].
9. Montrer que pβ ∈Ipsi et seulement si ¯ Gdivise ¯ B.
10. Soit ¯ Vun rel`evement unitaire de ¯ G/PGCD( ¯ F , ¯ G).
Montrer que G(α)β∈Ipsi et seulement si ¯ H¯ Vdivise ¯ B.
11. Soit Uun rel`evement unitaire du PGCD de ¯ A/PGCD( ¯ F , ¯ G, ¯ H). En d´eduire que
Rp=Z[α] + 1
pU(α)Z[α].
12. En d´eduire le crit`ere de Dedekind : Z[α] est p-maximal si et seulement si F,Get Hn’ont
pas de facteur commun modulo p.
Exercice 8. Soit A(X) = X4−3X+ 3.
1. Montrer que Aest irr´eductible.
On pose K=Q(α) o`u αest une racine de A.
2. Calculer le discriminant de A. (Indication : calculer, par exemple, NK/Q(A0(α)).)
3. En d´eduire que Z[α] est p-maximal pour tout premier pdistinct de 3 et 5.
4. En utilisant l’exercice pr´ec´edent, calculer l’anneau des entiers de K.
Exercice 9. Soit Run anneau euclidien, c’est-`a-dire un anneau int`egre muni d’une fonction
(stathme) φ:R\ {0} → Ntelle que :
(i) Pour tous a, b ∈Ravec b6= 0, il existe deux ´el´ements qet rdans Rtels que a=bq +ret
r= 0 ou φ(r)< φ(b).
(ii) Pour tous a, b ∈Ravec b6= 0, φ(a)≤φ(ab).
1. Soit Iun id´eal non nul de R. Montrer que Iest engendr´e par tout ´el´ement non nul de Idont
le stathme est minimal. En d´eduire que Rest principal.
Application : Montrer que Q(√5) est principal. (Utiliser la norme.)
2. Soit R∗le sous-groupe des unit´es de R. Montrer qu’il existe un ´el´ement x∈R\R∗tel que la
restriction `a R∗de la projection canonique de Rsur R/(x) est surjective.
Application : En d´eduire que l’anneau des entiers de Q(i√19) n’est pas euclidien.
Exercice 10. On travaille dans le corps de nombres K=Q(i).

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1. D´eterminer le degr´e de K/Qet l’anneau des entiers OKde K.
2. Soit n≥2. Montrer qu’on a l’isomorphisme d’anneau
Z[i]/nZ[i]'(Z/nZ)[X]
(X2+ 1) .
3. Soit NK/Qla norme de l’extension K/Q.
(a) Soient α, β ∈ OK,β6= 0. Montrer qu’il existe γ∈ OKtel que
NK/Q(α/β −γ)≤1/2.
En d´eduire que OKest euclidien et donc principal.
(b) Montrer que les seules unit´es de OKsont ±1 et ±i.
4. Soit pun nombre premier impair.
(a) Montrer que pest premier dans OKsi et seulement si le polynˆome X2+1 est irr´eductible
modulo p.
(b) Montrer que pest irr´eductible dans OKsi et seulement si il n’existe pas α∈ OKtel que
NK/Q(α) = p.
(c) En d´eduire le r´esultat suivant
Le nombre premier ps’´ecrit comme somme de deux carr´es d’entiers
si et seulement si p= 2 ou pest congru `a 1 modulo 4.
Exercice 11. Soit Run anneau int`egre. On rappelle qu’un ´el´ement πde Rest premier si ce n’est
pas une unit´e et si, pour tous ´el´ements a, b ∈R, on a πdivise ab implique πdivise aou πdivise
b. Un ´el´ement κde Rest irr´eductible si ce n’est pas une unit´e et, pour tous ´el´ements c, d ∈Rtels
que κ=cd, alors cou dest une unit´e de R.
1. Montrer que tout ´el´ement premier de Rest irr´eductible.
2. On suppose que l’anneau Rest principal.
(i) Soient a, b ∈R. Soit d∈Rtel que (a, b)=(d). Montrer que dest le PGCD de aet b.
(ii) Soit κun ´el´ement irr´eductible de R. Soient a, b ∈Rtels que κdivise ab. On suppose
que κne divise pas a. En d´eduire que κdivise bet donc que κest premier.
3. Soit Kun corps de nombres d’anneau des entiers OK. Montrer qu’un ´el´ement ude OKest
une unit´e si et seulement si NK/Q(u) = ±1.
4. Soit κun ´el´ement de OKtel que |NK/Q(κ)|est un nombre premier. Montrer que κest un
irr´eductible de OK.
5. Montrer que 2, 3 et 1 ±√−5 sont des ´el´ements irr´eductibles de Q(√−5). En d´eduire que
Q(√−5) n’est pas principal.