M2A – Théorie algébrique des nombres Fiche 1 Fiche 1. Exercice 1. Calculer le polynôme minimal des nombres algébriques suivant p √ √ √ √ √ 1+ 5 i+ 3 1+ 7 √ (1) 2 + 3 ; (2) ; (3) ; (4) ; (4) cos(2iπ/5). 2 3 5 Exercice 2. Soit K un corps quadratique, c’est-à-dire un corps de nombre de degré 2. √ 1. Montrer qu’il existe un entier d, sans facteur carré, tel que K = Q( d). √ 2. Soit α = a + b d avec a, b ∈ Q. Montrer que α est un entier algébrique si et seulement si 2a ∈ Z et a2 − b2 d ∈ Z. 3. On suppose que d ≡ 1 (mod 4). OK = Z + √ 1+ d Z 2 et 4. On suppose que d ≡ 2, 3 (mod 4). Montrer que √ OK = Z + dZ et disc(K) = d. disc(K) = 4d. Exercice 3. Soit K un corps de nombres de degré n. Un sous-anneau R de K est un ordre si R est de type fini comme Z-module et de rang n. Soit R un ordre de K. 1. Montrer que R est un Z-module libre. 2. Montrer que toute base de R comme Z-module est une base de K comme Q-espace vectoriel. 3. Montrer que tout élément de R est un entier algébrique. En déduire que OK est l’ordre maximal de K. Exercice 4 (Déterminant de Vandermonde). 1 x0 · · · 1 x1 · · · det . .. .. .. . . 1 xn ··· Soit x0 , . . . , xn des indéterminées. Montrer que xn0 Y xn1 (xj − xi ). .. = . xnn 0≤i<j≤n (Indication : utiliser le fait que le déterminant est un polynôme en x0 , . . . , xn divisible par le terme de droite. Conclure en considérant les degrés.) Soit K un corps de nombres. Supposons que OK = Z[α]. Montrer que le discriminant de K est le discriminant du polynôme minimal de α. M2A – Théorie algébrique des nombres Fiche 1 Exercice 5 (Polynômes d’Eisenstein). Soit p un nombre premier. Soit A(X) ∈ Z[X] un polynôme unitaire dont tous les coefficients, sauf le terme dominant, sont divisibles par p et dont le terme constant n’est pas divisible par p2 . Montrer que A est irréductible. Exercice 6. Soit α un nombre algébrique et soit A(X) = an X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 ∈ Z[X] son polynôme minimal. Montrer que R = Z + (an α)Z + (an α2 + an−1 α)Z + · · · + (an αn−1 + · · · + a1 )Z est un sous-anneau de Q(α). Montrer, de plus, que R = Z[α] si α est un entier algébrique. Exercice 7 (Round 2 et critère de Dedekind). Soit K un corps de nombres et soit R un ordre de K. Pour p un nombre premier, on dit que R est p-maximal si l’indice de R dans OK n’est pas divisible par p. 1. Montrer que l’ensemble des nombres premiers p pour lesquels R n’est pas p-maximal est fini. 2. Montrer que si R est p-maximal pour tout premier p, alors R est l’anneau des entiers de K. On explique à présent un procédure pour élargir R jusqu’à obtenir un ordre p-maximal. On pose Ip = {x ∈ R : il existe m ≥ 1 avec xm ∈ pR} et Rp = {x ∈ K : xIp ⊂ Ip }. 3. Montrer que Ip est un idéal de K et qu’il existe m ≥ 1 tel que Ipm ⊂ pR. 4. Montrer que Rp est un anneau tel que R ⊂ Rp ⊂ (1/p)R. En déduire que Rp est un ordre de K. 5. On suppose que Rp 6= R. En déduire que l’indice de R dans Rp est divisible par p. 6. On suppose que Rp = R. On montre que cela entraı̂ne que R est p-maximal. On définit R̂p = {x ∈ OK : il existe j ≥ 1 avec pj x ∈ R}. (a) Montrer que R̂p est un ordre p-maximal de K contenant R. (b) Montrer qu’il existe r ≥ 1 tel que pr R̂p ⊂ R. En déduire que Ipmr R̂p ⊂ R. (c) Supposons que R̂p 6= R. Montrer qu’il existe 0 ≤ n < mr tel que Ipn R̂p 6⊂ R et Ipn+1 R̂p ⊂ R. (d) Montrer que Ipn+m+1 R̂p ⊂ pR. Soit x ∈ Ipn R̂p avec x 6∈ R. Montrer que xIp ⊂ Ip . (e) En déduire une contradiction. On explique à présent comment calculer Ip et Rp dans le cas où R = Z[α] avec α un entier algébrique tel que K = Q(α). On note A(X) ∈ Z[X] le polynôme minimal de α. On utilise la notation ¯ pour représenter la réduction modulo p. Soit A(X) ≡ Ā1 (X)e1 · · · Ās (X)es (mod p) la factorisation de A modulo p. On pose G(X) = A1 (X) · · · As (X) avec les Ai (X) ∈ Z[X] des relèvements unitaires arbitraires des Āi . M2A – Théorie algébrique des nombres Fiche 1 7. Montrer que pZ[α] + G(α)Z[α] ⊂ Ip . 8. Montrer que Z[α]/pZ[α] est un Fp -espace vectoriel de dimension d où d = [K : Q]. En déduire que Ip ⊂ pZ[α] + G(α)Z[α] et donc qu’on a l’égalité Ip = pZ[α] + G(α)Z[α]. Soit H(X) un relèvement unitaire de Ā(X)/Ḡ(X) ∈ Fp [X]. On pose F (X) = G(X)H(X) − A(X) ∈ Z[X]. p Soit β ∈ (1/p)Z[α], disons β = B(α)/p avec B(X) ∈ Z[X]. 9. Montrer que pβ ∈ Ip si et seulement si Ḡ divise B̄. 10. Soit V̄ un relèvement unitaire de Ḡ/PGCD(F̄ , Ḡ). Montrer que G(α)β ∈ Ip si et seulement si H̄ V̄ divise B̄. 11. Soit U un relèvement unitaire du PGCD de Ā/PGCD(F̄ , Ḡ, H̄). En déduire que 1 Rp = Z[α] + U (α)Z[α]. p 12. En déduire le critère de Dedekind : Z[α] est p-maximal si et seulement si F , G et H n’ont pas de facteur commun modulo p. Exercice 8. Soit A(X) = X 4 − 3X + 3. 1. Montrer que A est irréductible. On pose K = Q(α) où α est une racine de A. 2. Calculer le discriminant de A. (Indication : calculer, par exemple, NK/Q (A0 (α)).) 3. En déduire que Z[α] est p-maximal pour tout premier p distinct de 3 et 5. 4. En utilisant l’exercice précédent, calculer l’anneau des entiers de K. Exercice 9. Soit R un anneau euclidien, c’est-à-dire un anneau intègre muni d’une fonction (stathme) φ : R \ {0} → N telle que : (i) Pour tous a, b ∈ R avec b 6= 0, il existe deux éléments q et r dans R tels que a = bq + r et r = 0 ou φ(r) < φ(b). (ii) Pour tous a, b ∈ R avec b 6= 0, φ(a) ≤ φ(ab). 1. Soit I un idéal non nul de R. Montrer que I est engendré par tout élément non nul de I dont le stathme est minimal. En déduire que R est principal. √ Application : Montrer que Q( 5) est principal. (Utiliser la norme.) 2. Soit R∗ le sous-groupe des unités de R. Montrer qu’il existe un élément x ∈ R \ R∗ tel que la restriction à R∗ de la projection canonique de R sur R/(x) est surjective. √ Application : En déduire que l’anneau des entiers de Q(i 19) n’est pas euclidien. Exercice 10. On travaille dans le corps de nombres K = Q(i). M2A – Théorie algébrique des nombres Fiche 1 1. Déterminer le degré de K/Q et l’anneau des entiers OK de K. 2. Soit n ≥ 2. Montrer qu’on a l’isomorphisme d’anneau Z[i]/nZ[i] ' (Z/nZ)[X] . (X 2 + 1) 3. Soit NK/Q la norme de l’extension K/Q. (a) Soient α, β ∈ OK , β 6= 0. Montrer qu’il existe γ ∈ OK tel que NK/Q (α/β − γ) ≤ 1/2. En déduire que OK est euclidien et donc principal. (b) Montrer que les seules unités de OK sont ±1 et ±i. 4. Soit p un nombre premier impair. (a) Montrer que p est premier dans OK si et seulement si le polynôme X 2 + 1 est irréductible modulo p. (b) Montrer que p est irréductible dans OK si et seulement si il n’existe pas α ∈ OK tel que NK/Q (α) = p. (c) En déduire le résultat suivant Le nombre premier p s’écrit comme somme de deux carrés d’entiers si et seulement si p = 2 ou p est congru à 1 modulo 4. Exercice 11. Soit R un anneau intègre. On rappelle qu’un élément π de R est premier si ce n’est pas une unité et si, pour tous éléments a, b ∈ R, on a π divise ab implique π divise a ou π divise b. Un élément κ de R est irréductible si ce n’est pas une unité et, pour tous éléments c, d ∈ R tels que κ = cd, alors c ou d est une unité de R. 1. Montrer que tout élément premier de R est irréductible. 2. On suppose que l’anneau R est principal. (i) Soient a, b ∈ R. Soit d ∈ R tel que (a, b) = (d). Montrer que d est le PGCD de a et b. (ii) Soit κ un élément irréductible de R. Soient a, b ∈ R tels que κ divise ab. On suppose que κ ne divise pas a. En déduire que κ divise b et donc que κ est premier. 3. Soit K un corps de nombres d’anneau des entiers OK . Montrer qu’un élément u de OK est une unité si et seulement si NK/Q (u) = ±1. 4. Soit κ un élément de OK tel que |NK/Q (κ)| est un nombre premier. Montrer que κ est un irréductible de OK . √ √ 5. Montrer que 2, 3 et 1 ± −5 sont des éléments irréductibles de Q( −5). En déduire que √ Q( −5) n’est pas principal.