Introduction `a la théorie des nombres Série 6

EPFL -Section de Math´ ematiques
Introduction
`a la th´eorie des nombres
Semestre Printemps 2009 Prof. Eva Bayer-Fluckiger
26.03.2009
S´erie 6
Exercice 1
1. Montrer que tout facteur premier impair d’un nombre entier de la forme n2+1 est congru
`a 1 modulo 4.
2. En d´eduire qu’il existe une infinit´e de nombres premiers congrus `a 3 modulo 4.
Exercice 2
L’anneau Z[√−2]... suite
Consid´erons l’anneau Z[√−2] := {a+b√−2 ; a, b ∈Z}. Rappelons (voir s´erie 5) que cet
anneau est principal et euclidien pour l’application norme :
N:Z[√−2] −→ N
a+b√−27→ a2+ 2b2.
1. (a) Montrer qu’un ´el´ement α∈Z[√−2] est inversible si et seulement si N(α) = 1.
(b) En d´eduire que les seuls ´el´ements inversibles de l’anneau Z[√−2] sont pr´ecis´ement
1 et −1.
2. Soit pun nombre premier impair.
(a) Montrer l’existence d’un isomorphisme d’anneaux :
Z[√−2]/pZ[√−2] 'Fp[X]/(X2+ 2)Fp[X].
(b) En d´eduire que l’´el´ement pest irr´eductible dans l’anneau Z[√−2] si et seulement si
p≡5 ou 7 (mod 8).
On rappelle que, dans un anneau Aint`egre, un ´el´ement p6= 0 est dit irr´eductible s’il
est non inversible et si p=ab avec a, b ∈Aimplique aou binversible. Si p∈Aest
irr´eductible, l’id´eal pA est maximal. Notons que lorsque l’anneau Aest principal, un
´el´ement p6= 0 est irr´eductible si et seulement si l’id´eal pA est premier.
3. D´eduire des questions pr´ec´edentes le r´esultat suivant, pour un nombre premier pimpair :
∃a, b ∈Z:p=a2+ 2b2⇔p≡1 ou 3 (mod 8).

Exercice 3
Corps quadratiques
1. Soit Kun corps de nombres de degr´e 2 sur Q.
(a) Montrer qu’il existe m∈Qtel que K=Q(√m).
Indication : si x∈K\Q, alors xest de degr´e 2 sur Q. Soit F(X) = X2+bX +c
son polynˆome minimal sur Q. En r´esolvant F(x) = 0, on pourra trouver un nombre
rationnel m∈Qtel que K=Q(√m).
(b) En d´eduire qu’il existe un entier d∈Z, sans facteur carr´e, tel que K=Q(√d).
2. Soient met ndeux entiers distincts, sans facteur carr´e. Montrer que les corps Q(√m)
et Q(√n) ne sont pas isomorphes.
Indication : on pourra consid´erer l’´equation √m=a+b√navec a, b ∈Q.
Exercice 4
1. Donner l’anneau des entiers de Q(√2) et celui de Q(√3).
2. Montrer que l’anneau Z[√2 + √3] n’est pas l’anneau des entiers de Q(√2 + √3).
Indication : on pourra consid´erer l’´el´ement √2 + √6
2.