Théorie des Nombres - TD2 Corps finis - IMJ-PRG

Universit´ e Pierre & Marie Curie Master de math´ ematiques 1
Ann´ ee 2012-2013 Module MM020
Th´eorie des Nombres - TD2
Corps finis
Exercice 1 : Montrer les isomorphismes suivants et exhiber un g´en´erateur du groupe des ´el´ements
inversibles :
a) F4∼
=F2[X]/(X2+X+ 1).
b) F8∼
=F2[X]/(X3+X+ 1).
c) F16 ∼
=F2[X]/(X4+X+ 1).
d) F16 ∼
=F2[X, Y ]/(Y2+Y+ 1, X2+X+Y).
Exercice 2 : Montrer que dans un corps fini, tout ´el´ement est somme de deux carr´es.
Exercice 3 :
a) Soit q=pr,pun nombre premier impair. Montrer que x∈F∗
qest un carr´e si et seulement si
xq−1
2= 1.
b) En ´etudiant les diviseurs de (n!)2+ 1, montrer qu’il existe une infinit´e de nombres premiers de
la forme 4k+ 1 (k∈N).
Exercice 4 : Soit pun nombre premier impair. Montrer que 2 est un carr´e dans Fpsi et seulement
si p≡ ±1 [8].
[Indication : on pourra consid´erer ζune racine primitive 8-i`eme de l’unit´e dans Fpet ´etudier ζ+ζ−1.]
Exercice 5 :
a) Soit kun corps, a∈k,pun nombre premier. Montrer que Xp−aest irr´eductible dans k[X] si
et seulement si il n’admet pas de racine dans k.
[Indication : si Xp−aest r´eductible, on pourra ´ecrire une d´ecomposition de ce polynˆome dans
k[X], puis utiliser la d´ecomposition de Xp−aen facteurs de degr´e 1 sur k, pour en d´eduire que
aest une puissance p-i`eme dans k.]
b) Soient p, l deux nombres premiers tels que ldivise p−1. Soit n∈Ztel que la classe de nengendre
(Z/pZ)∗. Montrer que le polynome Xl+pXk−nest irr´eductible dans Z[X], pour tout 1 ≤k < l.
Exercice 6 :
a) Si pet lsont des nombres premiers, montrer qu’il existe un morphisme de corps Fpn→Flmsi
et seulement si p=let ndivise m.
b) Ce morphisme de corps est-il unique ?
c) Fixons, pour tout n, m tels que ndivise m, un morphisme Fpn→Fpm, de fa¸con compatible.
Montrer que Fp:= Sn≥1Fpn!est une clˆoture alg´ebrique de Fp.
Exercice 7 : Soit pun nombre premier. Montrer que le groupe F∗
pns’identifie `a un sous-groupe du
groupe GLn(Fp).
Exercice 8 :
a) Donner la liste de tous les polynˆomes irr´eductibles de degr´e ≤5 sur F2.
1

b) Donner la liste de tous les polynˆomes irr´eductibles unitaires de degr´e ≤3 sur F3.
c) Donner le nombre et la liste de tous les polynˆomes irr´eductibles unitaires de degr´e ≤2 sur F4.
Exercice 9 : Montrer (sans utiliser les r´esultats g´en´eraux sur les polynˆomes cyclotomiques) que le
polynˆome X4+ 1 est irr´eductible dans Q[X], et qu’il est r´eductible dans Fp[X] pour tout nombre
premier p.
Exercice 10 : Soit n≥2 un entier.
a) Soit pun nombre premier. Montrer que p≡1 [n] si et seulement si Fpcontient une racine
primitive n-i`eme de l’unit´e.
b) Soit k∈N, et pun diviseur premier de φn(k!). Montrer que p > k et soit pdivise n, soit p≡1 [n].
c) Montrer qu’il existe une infinit´e de nombres premiers p≡1 [n].
Exercice 11 : Soit Irr(n, q) l’ensemble des polynˆomes irr´eductibles unitaires de degr´e nsur Fqet
I(n, q) le cardinal de cet ensemble.
a) Montrer que si ddivise n, alors pour tout P∈Irr(d, q), Pdivise Xqn−X.
b) Montrer que si P∈Irr(d, q) divise Xqn−X, alors d divise n.
c) En d´eduire la formule
X
d|n
dI(d, q) = qn.
d) On d´efinit la fonction de M¨obius µ:N∗→ {−1,0,1}par µ(n)=(−1)rsi nest le produit
de rnombres premiers distincts, et par µ(n) = 0 si nadmet un facteur carr´e. Montrer que
si f, g :N∗→Csont deux fonctions, on a f(n) = Pd|ng(d) pour tout nsi et seulement si
g(n) = Pd|nµ(n
d)f(d) pour tout n.
e) En d´eduire la formule
I(n, q) = 1
nX
d|n
µn
dqd.
f) Montrer que pour tout n≥1, I(n, q)≥1.
g) Montrer le “th´eor`eme des nombres premiers pour les polynˆomes” :
I(n, q) = qn
n+O qn
2
n!
quand ntend vers +∞.
[remarque : si on pose x=qn, cette formule devient I(x, q) = x
logq(x)+O√x logq(x), qui est l’exacte
analogue de la forme pr´ecise (conjectur´ee !) du classique th´eor`eme des nombres premiers.]
Exercice 12 : Soient p, l deux nombres premiers impairs, tels que l≡2 [3] et la classe de pmodulo
lengendre (Z/lZ)∗.
Montrer que Xl+1 −X+pest irr´eductible dans Z[X].
[Indication : on pourra consid´erer les r´eductions de ce polynˆome modulo 2 et p.]
Exercice 13 : Soit Fun corps fini de cardinal q=pr. Pour tout Q∈F[X1, . . . , Xn], on pose
S(Q) := Px∈FnQ(x)∈F.
a) Pour a1, . . . , an∈N, calculer S(Xa1
1. . . Xan
n).
b) Soient P1, . . . , Prdes polynˆomes de F[X1, . . . , Xn], de degr´es d1, . . . , dr. On note Z:= {x∈Fn:
P1(x) = · · · =Pr(x) = 0}.
Si P(x) := Qr
i=1(1 −Pi(x)q−1), exprimer S(P) en fonction du cardinal #Zde Z.
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c) En d´eduire que si d1+· · ·+dr< n, alors #Zest multiple de p(th´eor`eme de Chevalley-Warning).
d) En d´eduire que si les Pisont des polynˆomes homog`enes non constants (ou au moins si les Pi
sont sans terme constant) et si d1+· · · +dr< n, alors le syst`eme P1(x) = · · · =Pr(x) = 0 a une
solution non nulle dans Fn.
On dit que le corps Fest un corps C1.
e) Montrer l’application suivante (th´eor`eme de Erd¨os-Ginzburg-Ziv) : pour tout n≥1, pour tout
a1, . . . , a2n−1∈Z, il existe un sous-ensemble I⊂ {1, . . . , 2n−1}de cardinal exactement ntel
que Pi∈Iai≡0 [n].
Exercice 14 : On appelle “alg`ebre `a division” (ou “corps gauche”) tout anneau non nul A(pas
forc´ement commutatif) dans lequel tout ´el´ement non nul est inversible.
Dans tout l’exercice, on fixe une alg`ebre `a division finie A. On souhaite montrer que Aest commutatif,
c’est-`a-dire que Aest un corps (th´eor`eme de Wedderburn).
a) Montrer que le centre Zde Aest un corps fini de cardinal q, et que Aest un Z-espace vectoriel
de dimension n.
b) Supposons n > 1, i.e. Anon commutative. ´ Ecrire l’´equation aux classes pour l’action de A∗sur
lui-mˆeme par conjugaison. En d´eduire que qn−1 = q−1 + Pqn−1
qd−1, la somme portant sur un
certain nombre de diviseurs stricts de n.
c) En d´eduire que φn(q) divise q−1, o`u φnest le n-i`eme polynˆome cyclotomique.
d) En d´eduire une contradiction.
e) Conclure.
Exercice 15 : L’objectif de cet exercice est de montrer une partie du r´esultat suivant.
Soit (Pi)i∈Iune famille de polynˆome de Z[X1, . . . , Xn]. Alors les assertions suivantes sont ´equivalentes :
– les polynˆomes (Pi)i∈Iont un z´ero commun dans Cn.
– il existe un ensemble infini de nombres premiers ptels que les (Pi)i∈Iaient un z´ero commun dans
Fn
p.
– pour tout nombre premier passez grand, il existe un corps de caract´eristique po`u les (Pi)i∈Iont
un z´ero commun.
On va montrer que la deuxi`eme assertion implique la premi`ere, et que la troisi`eme implique ´egalement
la premi`ere.
Pour ce faire, on r´epondra aux questions suivantes :
a) (Nullstellensatz faible) : soient (Qj)j∈Jdes polynˆomes dans C[X1, . . . , Xn], sans z´ero commun
dans Cn.
i) Montrer que, pour tout (a1, . . . , an)∈Cn, l’id´eal (X1−a1, . . . , Xn−an)⊂C[X1, . . . , Xn]
est maximal.
[Indication : on pourra comparer cet id´eal avec le noyau du morphisme C[X1, . . . , Xn]→C
d´efini par P7→ P(a1, . . . , an)]
ii) Soit m⊂C[X1, . . . , Xn] un id´eal maximal. D´efinissons pour 1 ≤i≤n,φi:C[Xi]→
C[X1, . . . , Xn]/m=: K. Montrer que K=C, puis que Ker(φi) est un id´eal premier non nul,
donc maximal. En d´eduire qu’il existe (a1, . . . , an)∈Cntels que m= (X1−a1, . . . , Xn−an).
iii) En d´eduire que l’id´eal engendr´e par les (Qj)j∈Jest C[X1, . . . , Xn] tout entier.
b) Soit K/k une extension de corps. Soient (ai,j )0≤i≤n,1≤j≤ndes ´el´ements de k. Supposons qu’il
existe (x1, . . . , xn)∈Kntels que Pn
i=1 ai,j xi=a0,j pour tout 1 ≤j≤n.
Montrer qu’il existe (y1, . . . , yn)∈kntels que Pn
i=1 ai,j yi=a0,j pour tout 1 ≤j≤n.
c) Soient (Pi)i∈Iune famille de polynˆome de Z[X1, . . . , Xn] sans z´ero commun dans Cn. En utilisant
le Nullstellensatz, montrer qu’il existe un ensemble fini Ede nombres premiers tel que pour tout
p /∈E, pour tout corps Fde caract´eristique p, les (Pi)i∈In’aient pas de z´ero commun dans F.
d) En d´eduire la r´eponse `a la question initiale.
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