(L – y) g = g L (2L – 2y) + ½ (L – y)

NYA, ch 8
8.8
Ch. 8 Problème 7
Un pendule de longueur « L » a son mouvement interrompu par un clou placé à la verticale sous le point de
fixation du fil, à une distance y. On lâche la masse lorsque le fil est horizontal. Montrez que, pour que la masse
oscille en effectuant un cercle complet, la valeur minimale de y est 3L/5.
Il faut d’abord réaliser que la plus petite valeur pour «y» correspond à la plus petite valeur pour «vB». En
effet, à mesure que «y» diminue, la hauteur en «B» et par le fait même son énergie potentielle
gravitationnelle augmentent. Donc son énergie cinétique et sa vitesse diminuent.
r
r
Appliquons ΣF = ma au pendule en B pour établir la relation fixant la valeur de vB, la vitesse en B.
A
B
L
y
O
mg
TB
R
r
TB
+ TB
r
r
mg
=
ma
+ m g = m vB2 / R
+
⇒ OY : …………………………………………..
R (+ TB + m g ) / m
⇒ vB2 = …………………………………………...
Y
L–y
R = …………………………
0
⇒ Lorsque «vB» a sa valeur minimale, TB = …….
Rg
⇒ vB2 = ……………….…
= (L – y)g
Maintenant que nous connaissons la condition à laquelle doit satisfaire vB pour respecter la 2e loi de Newton,
l’application du principe de conservation de l’énergie à cette situation nous permettra d’établir la relation
entre la vitesse «vB» et la longueur «y» nécessaire pour répondre à la question.
A
hA = L
Principe de conservation de l’énergie
hB = 2R
B
EB
= EA
2
mghB + ½ m vB = mgha
⇒ …………………………………………………………
gh + ½ v
2
= gh
B
B
a
⇒ …………………………………………………………
h=0
g(2L – 2y) + ½ (L – y) g = g L
⇒ …………………………………………………………
(2L – 2y) + ½ (L – y) = L
⇒ …………………………………………………………
– 2y – ½ y = L – 2L – ½ L
⇒ …………………………………………………………
Paramètres :
vA = 0
vB2 = (L – y) g
hA = L
hB = 2R = 2(L – y) = 2L – 2y
– 2,5 y = – 1,5 L
⇒ ………………………………………………………
y = 1,5 L / 2,5
⇒ …………………………………………………………
y= 3L/5
⇒ …………………………………………………………
⇒
y = 3 L/5