Modèle mathématique.

CHAPITRE 4 : Triangle rectangle et trigonométrie
I. Vocabulaire
Dans le triangle ABC rectangle en A,
- l’hypoténuse est [BC]
- le côté adjacent à l’angle B est [AB]
- le côté opposé à l’angle B est [AC]
Remarque : B + C = 90°
II. Définitions
On considère le triangle ABC rectangle en A.
a) Rappel : cosinus
Définition : le cosinus de l’angle B, noté cosB, est le rapport AB
BC :
cos B = AB
BC cosB = côté adjacent à B hypoténuse
b) Sinus
Définition : le sinus de l’angle B , noté sinB, est le rapport AC
BC :
sin B = AC
BC sin B = côté opposé à B hypoténuse
Remarque : le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont compris strictement entre 0 et 1.
pour tout angle aigu de mesure x°, on a : 0 < cos x < 1 et 0 < sin x < 1 .
c) Tangente
Définition : la tangente de l’angle B, noté tanB, est le rapport AC
AB :
tanB = AC
AB tan B = côté opposé à B
côté adjacent à B
Remarque : la tangente d’un angle aigu est un nombre positif.
pour tout angle aigu de mesure x°, on a : tan x 0.
 Exemple :
On considère le triangle ABC rectangle en A tel que : AB = 3 ; BC = 5 et AC = 4.
cos B = AB
BC = 3 5. sin B = AC
BC = 4 5. tan B = AC AB = 4 3.
On a bien : 0 < cosB < 1 et 0 < sinB< 1 et tan B 0
III. Relations trigonométriques
Propriétés : pour tout angle aigu de mesure x°, on a :
cos²x + sin²x = 1 et tan x = sin x
cos x.
B
ˆ
C
B
A

Activité 1
Les valeurs remarquables
Soit STU un triangle rectangle isocèle en S tel que ST=a. Quelle est la mesure de
l’angle TUS ?
En utilisant le théorème de Pythagore, calculer TU en fonction de A. En déduire les
valeurs exactes de cos 45° et sin 45°.
Soit EFG un triangle équilatéral de côté a. H est le pied de la hauteur issue de E.
Quelles sont les mesures des angles EFH et FEH ?
Exprime en fonction de a les longueurs FH et EH.
Trouve les valeurs exactes de cos 30° ; cos60° ; sin 30° et Sin 60°.
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Activité 2
ACTIVITE : Relations entre sinus, cosinus et tangente
1. Tracer un triangle ABC rectangle en A.
2. Dans ce triangle, exprimer cos B, sin B et tan B en fonction de AC, AB et BC.
3. Exprimer en fonction de AB et AC le quotient
B
B
ˆ
cos
ˆ
sin
. Que constate-t-on ?
4. Exprimer en fonction de AC, AB et BC, (cos B)² + (sin B)².

I
H
P
6 cm
35°
P
L
N
10 cm
59°
5. Démontrer que (cos B)² + (sin B)²=1.
On retiendra : tan B =
B
B
ˆ
cos
ˆ
sin
et (cos B)² + (sin B)²=1.
1°) Calculer le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle (avec la calculatrice).
Exercice : Compléter avec des valeurs, arrondies au millième.
Angle x
6°
21°
30°
45°
60°
69°
84°
cos x
sin x
tan x
2°) Calculer un angle connaissant son cosinus, son sinus ou sa tangente (avec la calculatrice).
TOUJOURS VERIFIER QUE LA CALCULATRICE EST EN MODE DEGRE !
Exercice : Compléter avec des valeurs, arrondies au dixième de degré près.
cos x = 0,23
cos x = 2,3
sin x = 0,678
sin x =
7
3
tan x = 29
cos x = 0,5
tan x = 1
sin x = 0,5
Angle x
3°) Dans un triangle rectangle, exprimer le cosinus, le sinus ou la tangente d'un angle en fonction des bons côtés. ( FORMULES A CONNAITRE !!)
Le triangle ABC est rectangle en C
cos A
sin A
tan A
cos B
sin B
tan B
4°) Calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle, connaissant un angle et un côté.
5°) Même chose qu'au 4° , mais avec des valeurs exactes lorsque l'angle vaut 30°, 60° ou 45°.
6°) Calculer la mesure d'un angle d'un triangle rectangle , connaissant les longueurs de deux côtés.
Ce qu'il faut savoir en trigonométrie
Calculer PI
Calculer IH
(arrondir au dixième)
Calculer NP
Calculer LP
(arrondir au dixième)
Calculer la mesure de l'angle
G
ˆ
au dixième de degré près.
Calculer la mesure de
A
ˆ
au dixième de degré près.
Calculer la mesure de l'angle
L
ˆ
au degré près.
Calculer la mesure de
au degré près.
A
C
B
G
B
A
30 cm
17 cm
L
O
E
10 cm
5 cm

7°) Connaître les relations entre cosinus, sinus et tangente (formules …)
a) Calculer le cosinus d'un angle connaissant son sinus sans calculer l'angle (cos ² x + sin ² x = 1)
Exercice : Calculer la valeur exacte du cosinus de l'angle x , tel que sin x =
3
1
.
b) Calculer la tangente d'un angle connaissant son cosinus et son sinus, sans calculer l'angle (tan x = sin x
cos x)
Exercice : Calculer la valeur exacte de la tangente de l'angle x , sachant que cos x =
2
1
et sin x =
2
3
.
Et surtout
solutions 4°) NP 16,6 cm ; LP 19,4 cm ; IP 4,9 cm ; IH 3,4 cm ; 6°)
G
ˆ
34,5° ;
A
ˆ
55,5° ;
L
ˆ
63°;
O
ˆ
27° 7°)a) cos x = 2 2
3
7°) b) tan x = 3
Savoir repérer les situations où on peut utiliser la trigonométrie (TRIANGLE RECTANGLE !!)
Vérifier la cohérence de ses résultats : pas un côté de triangle rectangle plus grand que l'hypoténuse, pas de sinus ou de cosinus plus grand que 1 …