Modèle mathématique.

CHAPITRE 4 : Triangle rectangle et trigonométrie
I.
Vocabulaire
C
Dans le triangle ABC rectangle en A,
- l’hypoténuse est [BC]
- le côté adjacent à l’angle B est [AB]
B
B̂
- le côté opposé à l’angle B est [AC]
Remarque : B + C = 90°
II.
Définitions
On considère le triangle ABC rectangle en A.
a)
Rappel : cosinus
Définition : le cosinus de l’angle B, noté cosB, est le rapport
cos B =
AB
BC
b)
cosB =
côté adjacent à B
hypoténuse
Sinus
Définition : le sinus de l’angle B , noté sinB, est le rapport
sin B =
AB
:
BC
AC
BC
sin B =
AC
:
BC
côté opposé à B
hypoténuse
Remarque : le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont compris strictement entre 0 et 1.
pour tout angle aigu de mesure x°, on a : 0 < cos x < 1 et 0 < sin x < 1 .
c)
Tangente
Définition : la tangente de l’angle B, noté tanB, est le rapport
tanB =
AC
AB
tan B =
AC
:
AB
côté opposé à B
côté adjacent à B
Remarque : la tangente d’un angle aigu est un nombre positif.
pour tout angle aigu de mesure x°, on a : tan x 0.
 Exemple :
On considère le triangle ABC rectangle en A tel que : AB = 3 ; BC = 5 et AC = 4.
AB 3
AC 4
AC 4
cos B =
= .
sin B =
= .
tan B =
= .
BC 5
AB 3
BC 5
On a bien : 0 < cosB < 1 et 0 < sinB< 1 et tan B
III.
0
Relations trigonométriques
Propriétés : pour tout angle aigu de mesure x°, on a :
sin x
cos²x + sin²x = 1
et tan x =
cos x.
A
Activité 1
Les valeurs remarquables
Soit STU un triangle rectangle isocèle en S tel que ST=a. Quelle est la mesure de
l’angle TUS ?
En utilisant le théorème de Pythagore, calculer TU en fonction de A. En déduire les
valeurs exactes de cos 45° et sin 45°.
Soit EFG un triangle équilatéral de côté a. H est le pied de la hauteur issue de E.
Quelles sont les mesures des angles EFH et FEH ?
Exprime en fonction de a les longueurs FH et EH.
Trouve les valeurs exactes de cos 30° ; cos60° ; sin 30° et Sin 60°.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Activité 2
ACTIVITE : Relations entre sinus, cosinus et tangente
1.
2.
Tracer un triangle ABC rectangle en A.
Dans ce triangle, exprimer cos B, sin B et tan B en fonction de AC, AB et BC.
3. Exprimer en fonction de AB et AC le quotient
sin Bˆ
. Que constate-t-on ?
cos Bˆ
4. Exprimer en fonction de AC, AB et BC, (cos B)² + (sin B)².
5. Démontrer que (cos B)² + (sin B)²=1.
On retiendra :
tan B =
sin Bˆ
et
cos Bˆ
(cos B)² + (sin B)²=1.
Ce qu'il faut savoir en trigonométrie
1°) Calculer le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle (avec la calculatrice).
Exercice : Compléter avec des valeurs, arrondies au millième.
Angle x
6°
21°
30°
45°
cos x
60°
69°
84°
sin x
tan x
2°) Calculer un angle connaissant son cosinus, son sinus ou sa tangente (avec la calculatrice).
TOUJOURS VERIFIER QUE LA CALCULATRICE EST EN MODE DEGRE !
Exercice : Compléter avec des valeurs, arrondies au dixième de degré près.
sin x = 3
cos x = 0,23
cos x = 2,3
sin x = 0,678
tan x = 29
cos x = 0,5
7
Angle x
tan x = 1
sin x = 0,5
3°) Dans un triangle rectangle, exprimer le cosinus, le sinus ou la tangente d'un angle en fonction des bons côtés. ( FORMULES A CONNAITRE !!)
Le triangle ABC est rectangle en C
cos A
sin A
tan A
cos B
sin B
tan B
B
A
C
4°) Calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle, connaissant un angle et un côté.
Calculer NP
Calculer LP
(arrondir au dixième)
N
10 cm
L
P
P
Calculer PI
Calculer IH
(arrondir au dixième)
6 cm
35°
59°
I
H
5°) Même chose qu'au 4° , mais avec des valeurs exactes lorsque l'angle vaut 30°, 60° ou 45°.
6°) Calculer la mesure d'un angle d'un triangle rectangle , connaissant les longueurs de deux côtés.
Calculer la mesure de l'angle
au dixième de degré près.
Calculer la mesure de Â
au dixième de degré près.
Ĝ
A
30 cm
G
17 cm
B
Calculer la mesure de l'angle
au degré près.
Calculer la mesure de
au degré près.
E
L̂
5 cm
10 cm
L
O
7°) Connaître les relations entre cosinus, sinus et tangente (formules …)
a) Calculer le cosinus d'un angle connaissant son sinus sans calculer l'angle (cos ² x + sin ² x = 1)
Exercice : Calculer la valeur exacte du cosinus de l'angle x , tel que sin x =
1.
3
b) Calculer la tangente d'un angle connaissant son cosinus et son sinus, sans calculer l'angle (tan x =
Exercice : Calculer la valeur exacte de la tangente de l'angle x , sachant que cos x =
sin x
)
cos x
1 et sin x = 3 .
2
2
Et surtout
Savoir repérer les situations où on peut utiliser la trigonométrie (TRIANGLE RECTANGLE !!)
Vérifier la cohérence de ses résultats : pas un côté de triangle rectangle plus grand que l'hypoténuse, pas de sinus ou de cosinus plus grand que 1 …
solutions 4°) NP
16,6 cm ; LP
7°) b) tan x = 3
19,4 cm ; IP
4,9 cm ; IH
3,4 cm ; 6°) Ĝ
34,5° ; Â 55,5° ; L̂
63°;
Ô
27° 7°)a) cos x =
2 2
3