Fonctions dérivables — diaporama

Fonctions dérivables
février 2017
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Dans tout ce chapitre I est un intervalle non vide de R et non
réduit à un point, x0 est un point de I et f : I −→ R.
On note Cf la courbe représentative de f dans un repère
orthonormé donné.
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Corde, tangente et dérivabilité
y
M
M0
M
M
x
Cf
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Nombre dérivé d’une fonction en un point
La fonction f est dérivable en x0 si et seulement
si le taux d’accroissement
f (x) − f (x0 )
x − x0
admet une limite finie en x0 .
Dans ce cas, cette limite se note f 0 (x0 ) et s’appelle le nombre
dérivé de f en x0 .
f 0 (x0 ) = lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
= lim
h→0
x − x0
h
(sous réserve d’existence)
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Tangente en un point de Cf
La fonction f est dérivable en x0 si et seulement si Cf admet
une tangente non verticale au point (x0 , f (x0 )).
f (x) − f (x0 )
−−−→ ∞ si et seulement si Cf
x→x0
x − x0
admet une tangente verticale en x0 .
Par ailleurs lim
x→x0
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La fonction présente un
brusque changement de
direction, un « rebond ». Le
taux d’accroissement à une
limite différente à gauche et
à droite.
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La fonction présente une déchirure. Le taux d’accroissement a une limite infinie à
droite (mais finie à gauche).
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La tangente est verticale en
un point. Le taux d’accroissement admet des limites infinies à gauche et à droite.
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Dérivable implique continue
Si f est dérivable en x0 alors f est continue en x0 .
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Si une fonction f est dérivable sur un domaine D alors elle est
continue sur D.
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Dérivabilité sur un intervalle – Fonction
dérivée
Si f est dérivable en tout point de I on dit que f est dérivable
sur I.
La fonction f 0 définie par f 0 : I −→ R
est la fonction
0
x 7−→ f (x)
dérivée de f .
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Fonction de classe Cn sur I
Une fonction f est de classe Cn sur I si et seulement si f est
dérivable n fois sur I et que la dérivée n–ième de f est continue
sur I. L’ensemble des fonctions de classe Cn sur I se note Cn (I).
La fonction f est de classe C∞ sur I si et seulement si f est
dérivable n fois, pour tout entier naturel n. L’ensemble des
fonctions de classe C∞ sur I se note C∞ (I).
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Opérations algébriques (I)
Soit f et g deux fonctions dérivables sur I, et λ ∈ R.
1) La fonction λ f est dérivable sur I, de fonction dérivée λ f 0 ;
2) la fonction f + g est dérivable sur I, de
fonction dérivée f 0 + g0 ;
3) la fonction f × g est dérivable sur I, de
fonction dérivée f × g0 + f 0 × g.
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Opérations algébriques (II)
Soit f et g deux fonctions n fois dérivable sur I, et λ ∈ R.
1) La fonction λ f est n fois dérivable sur I et
(λ f )(n) = λ f (n) ;
2) la fonction f + g est n fois dérivable sur I
et (f + g)(n) = f (n) + g(n) ;
3) la fonction f × g est n fois dérivable.
De même si f et g sont de classe C∞ alors f + g, λ f et f × g sont
de classe C∞ .
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Dérivée de la composée
Soit f : I −→ R, g : J −→ R, x0 ∈ I tel que f (x0 ) ∈ J. Si f est
dérivable en x0 et g est dérivable en f (x0 ) alors g ◦ f est
dérivable en x0 et
(g ◦ f )0 (x0 ) = f 0 (x0 ) × g0 (f (x0 ))
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Dérivée d’un quotient
Soient f et g deux fonctions dérivables sur I.
Si la fonction f /g est définie sur I, alors f /g est dérivable sur I,
de fonction dérivée
f 0 g − g0 f
.
g2
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Dérivée de la bijection réciproque
Soit f : I −→ R, dérivable et strictement monotone (dans ce
cas f est bijective). Soit y0 = f (x0 ) ∈ f ⟨I⟩.
Si f 0 (x0 ) 6= 0 alors f −1 est dérivable en y0 et
0
f −1 (y) =
1
f 0 (f −1 (y))
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Cf
M
Cf −1
M
0
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Extrema locaux
On dit que f admet un maximum local (resp. un minimum
local) en x0 si et seulement si il existe un réel α > 0 tel que
∀x ∈ ]x0 − α ; x0 + α[ ∩ I,
f (x) ¶ f (x0 )
(resp. f (x) ¾ f (x0 ))
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Extrema locaux
y
Cf
below left:O
x
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Extrema locaux
y
below left:O
non
Cf
ok
ok
non
x
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Démonstration du théorème de Rolle
M0
N
M
x
Cf
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Soit f une fonction de I dans R et x0 un point intérieur de I
(c’est-à-dire pas une borne de I). Si f admet un extremum local
en x0 et si f est dérivable en x0 alors f 0 (x0 ) = 0.
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Théorème de Rolle
Soit I un intervalle non vide et non réduit à un point, f une
fonction dérivable de I dans R et (a, b) ∈ I2 avec a < b.
Si f (a) = f (b) alors il existe c ∈ ]a ; b[ tel que f 0 (c) = 0.
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Formule des accroissements finis
Soit (a, b) ∈ R2 avec a < b.
Soit f une fonction continue sur [ a ; b ] et dérivable sur ] a ; b [.
Il existe c ∈ ]a ; b[ tel que
f 0 (c) =
f (b) − f (a)
b−a
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Inégalité des accroissements finis - I
Soit (a, b) ∈ R2 avec a < b. Soit f une fonction continue sur
[ a ; b ] et dérivable sur ] a ; b [. Si il existe deux réels m et M
tels que
∀x ∈ ] a ; b [ ,
alors
m ¶f 0 (x) ¶ M
m(b − a) ¶f (b) − f (a) ¶ M(b − a)
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Soit f : Df −→ R une fonction dérivable. La fonction f 0 est
nulle sur un intervalle I si et seulement si f est constante sur I.
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Si f 0 est positive (resp. négative) sur I alors f est croissante
(resp. décroissante) sur I.
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Si f 0 est positive (resp. négative) et ne s’annule sur aucun
intervalle inclus dans I alors f est strictement croissante sur I
(resp. strictement décroissante).
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Inégalité des accroissements finis – II
Soit (a, b) ∈ R2 avec a < b.
Soit f une fonction continue sur [ a ; b ] et dérivable sur ] a ; b [.
Si il existe un réel M tel que
f 0 (x) ¶ M |f (b) − f (a)|
alors
∀x ∈ ] a ; b [ ,
¶ M |b − a|
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Formule de Taylor–Lagrange
Soit f une fonction de I dans R, de classe Cn+1 . Pour tout réels
distincts a et b dans I, il existe un réel c strictement compris
entre a et b tel que :
n
X
(b − a)n+1 (n+1)
(b − a)k (k)
f (b) =
f (a) +
f
(c)
k!
(n + 1)!
k=0
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Formule de Taylor–Young
Soit f une fonction de I dans R, de classe Cn+1 . Pour tout a et x
dans I, il existe une fonction ε telle que
n
X
(x − a)k (k)
(x − a)n
f (x) =
f (a) +
ε (x)
k!
n!
k=0
avec ε (x) −−→ 0.
x→a
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