Algèbre linéaire Calcul matriciel.

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Algèbre linéaire Calcul matriciel.
1er mars 2017
1. C ou R espace vectoriel ? LIRE / ECRIRE
1.1. C est un C-espace vectoriel. En donner ’’ la base la plus naturelle ’’
1.2. C est un R-espace vectoriel. En donner ’’ la base la plus naturelle ’’
{
}
1.3. On se place dans C3. Démontrer que t (z1 , z 2 , z 3 ) ∈ C 3 , z1 + iz 2 − (1 + i) z 3 = 0 en est un sous-espace vectoriel. En
donner une base
1.4. Que penser de l’application
C2 → C3 : t(α, β) → t(α+βi, α−βi, α+β).
Est-elle linéaire ? Si oui, donner une base de son image et une base de son noyau.
2. Trace d’une matrice carrée
Définition La trace d'une matrice A de Mn(K) est la somme des éléments diagonaux de A :
tr ( A) =
∑ A [i, i]
1≤ i ≤ n
a) Démontrer que l'application tr qui à toute matrice A de Mn(K) associe sa trace est une forme linéaire sur Mn(K).
b) Démontrer que l’ensemble des matrices dont la trace est nulle est un sous-espace vectoriel de Mn(K).
c) Soit A, B deux matrices de Mn(K). Montrer que tr (A B) = tr (B A)
3. Calculs dans Mn(K)
Les exercices qui suivent s’inscrivent dans une perspective purement algébrique. Autrement dit, il se résolvent dans le
cadre dessiné par les règles de calcul de Mn(K). On pourra admettre qu’une matrice carrée est inversible dès qu’elle
est inversible à gauche OU à droite.
4.0. Pour rigoler … Soit A, B deux matrices de de Mn(K).telles que AB = A+B. Prouver que AB = BA.
Indication : il est bien connu que (In − A) (In − B) = In − A − B + AB ; donc (In − A) (In − B) = In ; bref In − A et In − B
sont inversibles ; par conséquent (In − B) (In − A) = In, ou encore In − A − B + BA = In ; on en déduit le résultat demandé.
4.1. Matrices nilpotentes  Une matrice non nulle A de Mn(K). est nilpotente s'il existe un entier k tel que Ak soit
nulle. Indice de nilpotence : etc
Exemple. Soit n un entier ≥ 2. Soit N la matrice de Mn(K) définie par
N [i, j ] = 1 si j = i+1, N [i, j ] = 0 sinon.
Calculer les puissances successives de N. Prouver que N est une matrice nilpotente d'indice égal à ???
On pourra commencer par examiner ce qu’il en est dans le cas où n=3,4, 5
Calcul général : on a pour tout (i,j) : N 2[i, j ] =
n
∑ N [i, k ]N [k , j ] ; il suffit alors d’observer que si j et différent de
i+2,
k =1
tous les produits intervenant dans cette somme sont égaux à 0 (A FAIRE) et que
N 2[i, i+2] =
n
∑ N [i, k ]N [k , i + 2] = N [i,i+1] N [i+1, i+2]
= 1 (pourquoi ?)
k =1
De proche en proche……
4.2. Matrices inversibles  Une matrice non nulle A de Mn(K). est inversible s'il existe une matrice A' de Mn(K)
telle que AA' = A'A = In ; dans ce cas il existe une seule matrice A' qui inverse A ; elle est notée A-1.
4.2.0. Soit A et B deux matrices de Mn(K). On suppose la matrice A B inversible. Prouver que A et B sont inversibles
4.2.1. On suppose N nilpotente ; prouver que N n' est pas inversible
4.2.2. On suppose N nilpotente ; prouver que In + N est inversible (Bernoulli for ever)
2
4.2.3. Soit A et B deux matrices de Mn(K).
4.2.3.1. On suppose que AB est une matrice nilpotente. Prouver que B A l’est également.
4.23.2. On suppose que A et B sont nilpotentes et que A B = B A. Démontrer que A + B est également nilpotente.
Donner un exemple prouvant que cela est faux sans l'hypothèse A B = B A.
4.2.3. Soit T et M les matrices triangulaires supérieures de Mn(K) définies par :
∀(i, j) ∈ [1 .. n ] 2, T [i, j ] = 1 si i ≤ j.
∀i ∈ [1 .. n ] , ∀k ∈ [0 .. n − i], M [i, i+k ] = k+1.
’’Dessiner’’ T et M. Prouver que T et M sont inversibles ; on donnera leurs inverses
3 mars 2017
Algèbre linéaire. Exercices
5. Calcul par blocs : LIRE/ECRIRE/ OBSERVER
5.1. {1, j, j 2} est le groupe des racines cubiques de l'unité. Rappelons que 1 + j + j 2 = 0.
On donne la matrice



M= 



j 0 j 2 0 
0 j 0 j2 
2
3
 . Calculer M , M .
j2 0 j 0 
0 j 2 0 j 
 I2
 jI 2
Solution : M = j 
jI 2 
 puis vogue la galère
I 2 
5.2.Matrices blocs triangulaires.
Soit T1 et T2 deux matrices bloc-triangulaires de Mp+q(K) définies comme indiqué ci-dessous
A C 
 A2 C2 
 , où les Ai, sont des matrices carrées de Mp(K), les Bi sont des matrices carrées de
T1 =  1 1  , T2 = 

 0 B1 
 0 B2 
Mq(K), les Ci des matrices de de Mp,q(K) et 0 la matrice nulle de Mq p(K). Calculer T1 T2.
5.3. Matrices carrées triangulaires inversibles
a c
 une matrice triangulaire supérieure de M2(K). On suppose a et b différents de 0.
 0 b
5.3.1 Introduction. Soit T = 
Prouver directement (de l’audace) que T est inversible et donner T -1. Que se passe-t-il si a = 0 ou b = 0 ?
1 / a x 
 réponde à la question
 0 1/ b 
Réponse : chercher x de manière à ce que 
5.3.2. Lemme  Soit A une matrice de Mp(K), B une matrice de Mq(K), C une matrice de Mp,q(K) et 0 la matrice
nulle de Mq p(K). Considérons la matrice
A C
 .
0 B
M = 
de Mp+q(K). On suppose que A et B sont inversibles. Prouver qu’il en est de même de M
5.3.3. La réciproque est facile à démontrer à partir du moment où l’on sait qu’une matrice carrée est inversible dès
qu’elle est inversible à gauche ou à droite. Faites le
5.3.4. Théorème  Soit T une matrice triangulaire supérieure (resp. inférieure) de Mp(K) ; T est inversible si et
seulement si aucun de ses termes diagonaux n’est nul ; T −1 est alors triangulaire supérieure (resp. inférieure). De plus,
T −1[i , i] = (T [i , i])− 1 pour tout i :
3
 t1,1

 0
Si T =  M

 M
 0

L L L t1, p 

O O
M 
O O O M  , alors T −1 =

O O M 
L L 0 t p, p 
 t1−,1! * L L * 


 0 O O
M 


 M O O O M .
 M
O O * 

−1 
 0 L L 0 t p, p 
Attention . Il n’y a pas de résultat comparable à propos des termes non diagonaux.
Démontrez le par récurrence sur p
Solution : Annexe du polycopié.
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6. Sous-espaces vectoriels. OBSERVER
6.1. A toute colonne t(a,b) de K2 on associe la colonne Ca,b t(a,b,b). On considère l’ensemble E des colonnes de
K3.obtenues de cette manière.
Démontrer que E est un sev de ???. En donner une base.
Que pensez vous de l’application : Φ : K2→ E : t(a,b) → Ca,b??
a b
 . On considère l’ensemble S des matrices de
6.2. A toute colonne t(a,b) de K2 on associe la matrice Sa,b = 
b a
M2(K).obtenues de cette manière. Démontrer que S est un sev de ???. En donner une base.
Que pensez vous de l’application : Φ : K2→ S : t(a,b) → Sa,b??
a b b


6.3. A toute colonne t(a,b) de K2 on associe la matrice Ta,b =  0 a b 
 0 0 a


On considère l’ensemble T des matrices de M2(K).obtenues de cette manière:
Démontrer que T est un sev de ???. En donner une base.
Que pensez vous de l’application : Φ : K2→ T : t(a,b) → Ta,b??
DNS pour le jeudi 9 mars 2017
7. Un ensemble intéressant de matrices de M2(K).
On s’intéresse à l’ensemble S décrit plus haut.
On posera H = S1,1 ; on observera que S1,0 = I2.
7.1 Est-ce que le produit matriciel laisse S stable ?
7.2. On suppose Sa,b inversible ; est ce que l’inverse de cette matrice appartient à S
Dans la suite on souhaite calculer Sa,bn pour tout n appartenant à N en évitant de faire un calcul ’’naïf’’.
7.3. Changement de base. Démontrer que (I2,H) est une base de S
Calculer Hn pour tout n. En déduire Sa,bn
1 1 
 . Vérifier que Pest inversible ; donner P-1.
1
−1


7.4. Diagonalisation (encore un gros mot). Soit P = 
Calculer la matrice D = P-1 Sa,bP ; après s’être émerveillé devant le résultat, donner une méthode de calcul de Sa,bn.
7.5. On s’intéresse au deux suites numériques (un)n et (vn)n déterminées par leurs premiers termes respectifs u0,v0 et
l’algorithme
∀n, un +1 = aun + bvn et vn +1 = bun + avn
Calculer un et vn en fonction de n.
8. Un ensemble intéressant de matrices de M3(K).
On s’intéresse à l’ensemble T décrit plus haut.
8.1. Est-ce que le produit matriciel laisse T stable ?
On suppose Ta,b inversible ; est ce que l’inverse de cette matrice appartient à T ?
8.2. Calculer Tà,bn pour tout n appartenant à N. Puis calculer Ta,bn pour tout n appartenant à N.