Algèbre linéaire Calcul matriciel.

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Algèbre linéaire Calcul matriciel.
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er
mars 2017
1. C ou R espace vectoriel ? LIRE / ECRIRE
1.1. C est un C-espace vectoriel. En donner ’’ la base la plus naturelle ’’
1.2. C est un R-espace vectoriel. En donner ’’ la base la plus naturelle ’’
1.3. On se place dans C
3
. Démontrer que
(
)
{
}
0)1(,,,
321
3
321
=+−+∈ ziizzzzz
t
C en est un sous-espace vectoriel. En
donner une base
1.4. Que penser de l’application
C
2
→ C
3
:
t
( α , β ) →
t
( α + β i, α−β i, α + β ).
Est-elle linéaire ? Si oui, donner une base de son image et une base de son noyau.
2. Trace d’une matrice carrée
Définition La trace d'une matrice A de M
n
(K) est la somme des éléments diagonaux de A :
∑
≤≤
=
ni
iiAAtr
1
],[)(
a) Démontrer que l'application tr qui à toute matrice A de M
n
(K) associe sa trace est une forme linéaire sur M
n
(K).
b) Démontrer que l’ensemble des matrices dont la trace est nulle est un sous-espace vectoriel de M
n
(K).
c) Soit A, B deux matrices de M
n
(K). Montrer que tr (A B) = tr (B A)
3. Calculs dans M
n
(K)
Les exercices qui suivent s’inscrivent dans une perspective purement algébrique. Autrement dit, il se résolvent dans le
cadre dessiné par les règles de calcul de M
n
(K). On pourra admettre qu’une matrice carrée est inversible dès qu’elle
est inversible à gauche OU à droite.
4.0. Pour rigoler … Soit A, B deux matrices de de M
n
(K).telles que AB = A+B. Prouver que AB = BA.
Indication : il est bien connu que (I
n
− A) (I
n
− B) = I
n
− A − B + AB ; donc (I
n
− A) (I
n
− B) = I
n
; bref I
n
− A et I
n
− B
sont inversibles ; par conséquent (I
n
− B) (I
n
− A) = I
n
, ou encore I
n
− A − B + BA = I
n
; on en déduit le résultat demandé.
4.1. Matrices nilpotentes  Une matrice non nulle A de M
n
(K). est nilpotente s'il existe un entier k tel que A
k
soit
nulle. Indice de nilpotence : etc
Exemple. Soit n un entier ≥ 2. Soit N la matrice de M
n
(K) définie par
N [i, j ] = 1 si j = i+1, N [i, j ] = 0 sinon.
Calculer les puissances successives de N. Prouver que N est une matrice nilpotente d'indice égal à ???
On pourra commencer par examiner ce qu’il en est dans le cas où n=3,4, 5
Calcul général : on a pour tout (i,j) : N
2
[i, j ] =
∑
=
n
k
jkNkiN
1
],[],[ ; il suffit alors d’observer que si j et différent de i+2,
tous les produits intervenant dans cette somme sont égaux à 0 (A FAIRE) et que
N
2
[i, i+2] =
∑
=
+
n
k
ikNkiN
1
]2,[],[ = N [i,i+1] N [i+1, i+2] = 1 (pourquoi ?)
De proche en proche……
4.2. Matrices inversibles  Une matrice non nulle A de M
n
(K). est inversible s'il existe une matrice A' de M
n
(K)
telle que AA' = A'A = I
n
; dans ce cas il existe une seule matrice A' qui inverse A ; elle est notée A
-1
.
4.2.0. Soit A et B deux matrices de M
n
(K). On suppose la matrice A B inversible. Prouver que A et B sont inversibles
4.2.1. On suppose N nilpotente ; prouver que N n' est pas inversible
4.2.2. On suppose N nilpotente ; prouver que I
n
+ N est inversible (Bernoulli for ever)

2
4.2.3. Soit A et B deux matrices de M
n
(K).
4.2.3.1. On suppose que AB est une matrice nilpotente. Prouver que B A l’est également.
4.23.2. On suppose que A et B sont nilpotentes et que A B = B A. Démontrer que A + B est également nilpotente.
Donner un exemple prouvant que cela est faux sans l'hypothèse A B = B A.
4.2.3. Soit T et M les matrices triangulaires supérieures de M
n
(K) définies par :
∀(i, j) ∈ [1 .. n ]
2
, T [i, j ] = 1 si i ≤ j.
∀i ∈ [1 .. n ] , ∀k ∈ [0 .. n − i], M [i, i+k ] = k+1.
’’Dessiner’’ T et M. Prouver que T et M sont inversibles ; on donnera leurs inverses
3 mars 2017
Algèbre linéaire. Exercices
5. Calcul par blocs : LIRE/ECRIRE/ OBSERVER
5.1. {1, j, j
2
} est le groupe des racines cubiques de l'unité. Rappelons que 1 + j + j
2
= 0.
On donne la matrice
M =
jj jj jj jj 00 00 00 00
2
2
2
2
. Calculer M
2
, M
3
.
Solution : M = j
22
22
IjI
jII
puis vogue la galère
5.2.Matrices blocs triangulaires.
Soit T
1
et T
2
deux matrices bloc-triangulaires de M
p+q
(K) définies comme indiqué ci-dessous
T
1
=
1
11
0B
CA
, T
2
=
2
22
0B
CA
, où les A
i
, sont des matrices carrées de M
p
(K), les B
i
sont des matrices carrées de
M
q
(K), les C
i
des matrices de de Mp,q (K) et 0 la matrice nulle de Mq p (K). Calculer T
1
T
2
.
5.3. Matrices carrées triangulaires inversibles
5.3.1 Introduction. Soit T =
b
ca
0
une matrice triangulaire supérieure de M
2
(K). On suppose a et b différents de 0.
Prouver directement (de l’audace) que T est inversible et donner T
-1
. Que se passe-t-il si a = 0 ou b = 0 ?
Réponse : chercher x de manière à ce que
b
xa
/10
/1
réponde à la question
5.3.2. Lemme  Soit A une matrice de Mp (K), B une matrice de Mq (K), C une matrice de Mp,q (K) et 0 la matrice
nulle de Mq p (K). Considérons la matrice
M =
B
CA
0
.
de Mp+q (K). On suppose que A et B sont inversibles. Prouver qu’il en est de même de M
5.3.3. La réciproque est facile à démontrer à partir du moment où l’on sait qu’une matrice carrée est inversible dès
qu’elle est inversible à gauche ou à droite. Faites le
5.3.4. Théorème  Soit T une matrice triangulaire supérieure (resp. inférieure) de Mp (K) ; T est inversible si et
seulement si aucun de ses termes diagonaux n’est nul ; T
−1
est alors triangulaire supérieure (resp. inférieure). De plus,
T
− 1
[i , i] = (T [i , i])
− 1
pour tout i :

3
Si T =
pp
p
t
tt
,
,11,1
00
0
LL
MOOM
MOOOM
MOO
LLL
, alors T
− 1
=
−
−
1
,
!
1,1
00 *
0**
pp
t
t
LL
OOM
MOOOM
MOO
LL
.
Attention . Il n’y a pas de résultat comparable à propos des termes non diagonaux.
Démontrez le par récurrence sur p
Solution : Annexe du polycopié.

4
6. Sous-espaces vectoriels. OBSERVER
6.1. A toute colonne
t
(a,b) de K
2
on associe la colonne C
a,b
t
(a,b,b). On considère l’ensemble E des colonnes de
K
3
.obtenues de cette manière.
Démontrer que E est un sev de ???. En donner une base.
Que pensez vous de l’application : Φ : K
2
→ E :
t
(a,b) → C
a,b
??
6.2. A toute colonne
t
(a,b) de K
2
on associe la matrice S
a,b
=
ab
ba
. On considère l’ensemble S des matrices de
M
2
(K).obtenues de cette manière. Démontrer que S est un sev de ???. En donner une base.
Que pensez vous de l’application : Φ : K
2
→ S :
t
(a,b) → S
a,b
??
6.3. A toute colonne
t
(a,b) de K
2
on associe la matrice T
a,b
=
a
ba
bba
00
0
On considère l’ensemble T des matrices de M
2
(K).obtenues de cette manière:
Démontrer que T est un sev de ???. En donner une base.
Que pensez vous de l’application : Φ : K
2
→ T :
t
(a,b) → T
a,b
??
DNS pour le jeudi 9 mars 2017
7. Un ensemble intéressant de matrices de M
2
(K).
On s’intéresse à l’ensemble S décrit plus haut.
On posera H = S
1,1
; on observera que S
1,0
= I
2
.
7.1 Est-ce que le produit matriciel laisse S stable ?
7.2. On suppose S
a,b
inversible ; est ce que l’inverse de cette matrice appartient à S
Dans la suite on souhaite calculer S
a,bn
pour tout n appartenant à N en évitant de faire un calcul ’’naïf’’.
7.3. Changement de base. Démontrer que (I
2
,H) est une base de S
Calculer H
n
pour tout n. En déduire S
a,bn
7.4. Diagonalisation (encore un gros mot). Soit P =
−11
11
. Vérifier que Pest inversible ; donner P
-1
.
Calculer la matrice D = P
-1
S
a,b
P ; après s’être émerveillé devant le résultat, donner une méthode de calcul de S
a,bn
.
7.5. On s’intéresse au deux suites numériques (u
n
)
n
et (v
n
)
n
déterminées par leurs premiers termes respectifs u
0
,v
0
et
l’algorithme
nnnnnn
avbuvetbvauun +=+=∀
++ 11
,
Calculer u
n
et v
n
en fonction de n.
8. Un ensemble intéressant de matrices de M
3
(K).
On s’intéresse à l’ensemble T décrit plus haut.
8.1. Est-ce que le produit matriciel laisse T stable ?
On suppose T
a,b
inversible ; est ce que l’inverse de cette matrice appartient à T ?
8.2. Calculer T
à,bn
pour tout n appartenant à N. Puis calculer T
a,bn
pour tout n appartenant à N.