Intégrales dépendant dBun paramEtre 1) Convergence dominée

Intégrales dépendant d’un paramètre
1) Convergence dominée appliquée aux intégrales dont le paramètre est continu (rappel )
Prop : Soit f : A
I ! R (x; t) 7 ! f (x; t) et a adhérent à A. On suppose :
- que f est continue par morceaux par rapport à t : Pour tout x 2 A, t 7 ! f (x; t) est continue par morceaux sur I
- que pour tout t 2 I, il existe (t) = limx!a f (x; t), et que
: I ! R est continue par morceaux
- qu’il existe ' : I ! R intégrable telle que 8x 2 A, 8t 2 I; jf (x; t)j
'(t)
(hypothèse de domination uniforme)
R
R
Alors, les applications t 7 ! f (x; t) et t 7 ! (t) sont intégrables, et limx!a I f (x; t) dt = I (t) dt :
Preuve : Il s’agit de prouver que pour toute suite (xn )n2N tendant vers a dans A, on a limn!+1
R
I
f (xn ; t) dt =
Pour (xn )n2N …xée, on applique le théorème de convergence dominée à la suite (fn )n2N , où fn (t) = f (xn ; t):
R
I
(t)dt.
Important : Il su¢ t que l’hypothèse de domination uniforme soit vraie au voisinage de a , c’est-à-dire qu’il existe un voisinage V de a tel que 8x 2 (V \ A), (8t 2 I; jf (x; t)j
'(t)).
2) Continuité des intégrales par rapport au paramètre
Prop : Soit f : A
I ! R (x; t) 7 ! f (x; t): On suppose :
- que f est continue par morceaux par rapport à t : Pour tout x 2 A, t 7 ! f (x; t) est continue par morceaux sur I
- que f est continue par rapport à x : Pour tout t 2 I, x 7 ! f (x; t) est continue sur A
- qu’il existe ' : I ! R une application intégrable telle que 8x 2 A; (8t 2 I; jf (x; t)j '(t)) :
R
Alors, pour tout x 2 A, t 7 ! f (x; t) est intégrable, et l’application x 7 ! I f (x; t) dt est dé…nie et continue sur A .
Remarque : Si f est continue sur A
I, les deux premières hypothèses sont immédiatement véri…ées.
Important : La continuité étant une notion locale, il su¢ t de véri…er l’hypothèse de domination localement ,
c’est-à-dire qu’il su¢ t de prouver que la propriété de domination est véri…ée au voisinage de tout x 2 A. Par exemple, il
su¢ t de véri…er que pour tout segment [a; b] de A, il existe ' : I ! R intégrable (dépendant souvent de a et b) telle que
8x 2 [a; b]; (8t 2 I; jf (x; t)j
'(t)).
Exemple : (|||) Soit h : [0; +1[! R continue par morceaux et bornée. On pose 8x > 0, L(x) =
R +1
0
h(t)e
Alors L est continue sur ]0; +1[: On va prouver l’hypothèse de domination sur tout intervalle [ ; +1[, avec
En e¤et, on a 8x 2 [ ; +1[, 8t
0, jh(t)e
tx
j
Me
t
tx
dt:
> 0:
= '(t), où M = sup[0;+1[ jhj.
Comme ' est intégrable, la restriction de L à [ ; +1[ est continue (donc L continue en tout point x 2] ; +1[).
Comme
> 0 est arbitraire, on en déduit que L est continue en tout point x > 0, c’est-à-dire continue sur ]0; +1[
2) Dérivation des intégrales par rapport au paramètre (dérivation sous le signe somme)
a) Prop : Soit f : A
I ! R (x; t) 7 ! f (x; t): On suppose :
@f
(x; t) sont continues par morceaux et intégrables sur I
@x
@f
- que pour tout t 2 I, l’application x 7 ! f (x; t) est de classe C 1 sur A (c’est-à-dire x 7 !
(x; t) continue)
@x
- que pour tout x 2 A, les applications t 7 ! f (x; t) et t 7 !
- qu’il existe ' : I ! R intégrable telle que 8x 2 A;
8t 2 I;
@f
(x; t)
@x
'(t)
:
Alors g : x 7 !
R
I
f (x; t) dt est de classe C 1 sur A, et 8x 2 A; g 0 (x) =
R @f
(x; t) dt (formule de Leibniz).
I @x
Important : Il su¢ t que la propriété de domination uniforme soit vraie au voisinage de tout point x 2 A , donc il su¢ t de
trouver une fonction t 7 ! '(t) dominant uniformément t 7 ! f (x; t) par rapport à x sur chaque segment de A.
Remarque : En fait, l’intégrabilité de t 7 !
@f
(x; t) sur I résulte de la propriété de domination, donc pourrait être supprimée
@x
dans la première hypothèse.
b) Prop (extension aux fonctions de classe C n ) : Soit f : A
- que pour tous x 2 A et 0
k
n, les applications t 7 !
I ! R (x; t) 7 ! f (x; t): On suppose :
@kf
(x; t) sont continues par morceaux et intégrable sur I.
@xk
- que pour tout t 2 I, l’application x 7 ! f (x; t) est de classe C n sur A:
- que pour tout k 2 f1; 2; :::; ng, il existe 'k : I ! R intégrable telle que 8x 2 A;
Alors g : x 7 !
Remarques :
R
I
8t 2 I;
f (x; t) dt est de classe C n , et 8k 2 f1; 2; :::; ng, 8x 2 A; g (k) (x) =
- L’hypothèse de domination uniforme porte sur les dérivées
k
@ f
(x; t) sur I, avec 1
@xk
dans la première hypothèse.
- L’intégrabilité des t 7 !
k
@kf
, avec 1
@xk
k
@kf
(x; t)
@xk
R @kf
(x; t) dt.
I @xk
n (mais pas pour k = 0).
n résulte de la propriété de domination, donc pourrait être supprimée
- L’application x 7 ! f (x; t) est de classe C n sur A, d’où l’existence et la continuité des x 7 !
c) Prop (extension aux fonctions de classe C 1 ) : Soit f : A
- que pour tous x 2 A et n 2 N, les applications t 7 !
'k (t) :
@kf
(x; t) à t …xé.
@xk
I ! R (x; t) 7 ! f (x; t): On suppose :
@nf
(x; t) sont continues par morceaux et intégrables sur I.
@xn
- que pour tout t 2 I, l’application x 7 ! f (x; t) est de classe C 1 sur A:
- que pour tout n 2 N , il existe 'n : I ! R intégrable telle que 8x 2 A;
Alors g : x 7 !
R
f (x; t) dt est de classe C 1 , et 8n 2 N, 8x 2 A; g (n) (x) =
I
Exemple : (|||) La fonction , dé…nie par 8x > 0, (x) =
On considère ici 8x > 0; 8t > 0; f (x; t) = tx
@nf
(x; t) = (ln t)n tx
@xn
On a 8n 2 N, 8x 2 [a; b]; 8t > 0
Donc
1
e
t
= e(x
R +1
1) ln t
0
tx
1
@nf
(x; t)
@xn
'n (t) :
R @nf
(x; t) dt.
I @xn
e t dt:
e t.
@nf
e t . Les fonctions
sont continues sur ]0; +1[ ]0; +1[.
@xn
(
n
jln tj ta 1 e t si t < 1
]0; +1[: On considère 'n :]0; +1[! R par 'n (t) =
(ln t)n tb 1 e t si t 1
Pour tout n 2 N, on a
Soit [a; b]
8t 2 I;
est de classe C 1
1
@nf
(x; t)
@xn
'n (t), et les 'n sont intégrables sur ]0; +1[.
R +1
sur ]0; +1[, et (n) (x) = 0 (ln t)n tx 1 e t dt:
3) Cas des intégrales paramétrées de fonctions dé…nies sur un segment
Rappel : Toute fonction continue sur un compact (de R2 ) est bornée et atteint ses bornes.
a) On considère le cas où I est un segment et où f : A
I ! (x; t) ! f (x; t) est de classe C n sur A
I:
Dans ce cas, l’hypothèse de domination sur K
I est évidente pour tout segment K de A : il su¢ t en e¤et de considérer
la borne supérieure des jf (x; t)j où (x; t) décrit le compact K
compact K
I (en supposant par exemple f de classe C n sur A
I, et plus généralement la borne supérieure de
@nf
@xn
I). D’où :
Prop : Soit I est un segment et f : A I ! (x; t) ! f (x; t) de classe C n sur A I:
R
R
Alors g : x 7 ! I f (x; t) dt est de classe C n sur A, et pour tout 0 k n, on a 8x 2 A, g (k) (x) = I
@k f
(x; t)
@xk
dt.
Remarque : L’énoncé n’étant pas au programme, donc il faut refaire la preuve à chaque fois.
Pour tout segment K de A, K
I est compact, et on peut donc considérer donc 'k (t) = sup(x;t)2K
b) Exemple : (|) Soit f : [0; +1[! R de classe C 1 . Considérons 8x
La fonction h : (t; x) 7 ! f (tx) est de classe C 1 sur [0; 1]
0, g(x) =
[0; +1[.
R1
0
I
@nf
(x; t) :
@xn
f (tx) dt.
A fortiori, les deux premières hypothèses du 2) c) sont véri…ées.
@nh
(x; t) = tn f (n+1) :
@xn
@nh
Donc pour tout segment [a; b] de [0; +1[,
(x; t)
@xn
D’autre part, on a 8x 2 [a; b],
La borne sup existe car [a; b]
sup(x;t)2[a;b]
[0;1]
tn f (n) (tx) = 'n (t):
[0; 1] est compact et que toute fonction continue sur un compact est bornée.
L’application 'n est intégrable car toute fonction constante est intégrable sur un segment.
R1
Donc l’application f est de classe C 1 sur [0; +1[, et on a 8n 2 N, g (n) (x) = 0 tn f (n) (tx) dt:
sur le
Fonctions dé…nies par une intégrale à bornes variables
Théorème fondamental du calcul di¤érentiel (rappel )
Soit f : [a; b] ! R continue.
Pour toute primitive F de f , on a
Rb
a
f (t) dt = F (b)
F (a):
1) Etude des fonctions dé…nie par une intégrale à bornes variables
R v(x)
On considère les fonctions g de la forme g(x) = u(x) f (t) dt
Soit f : I ! R continue, et u et v : J ! I de classe C 1 :
R v(x)
Alors g : J ! R x 7 ! u(x) f (t) dt est de classe C 1 .
En e¤et, en notant F une primitive de f , on a g(x) = F (v(x))
F (u(x)) :
Comme f est continue, alors F est de classe C 1 : Donc g est de classe C 1 (comme somme de composées de fonctions de classe
C 1 ), et on a : g 0 (x) = v 0 (x)f (v(x))
u0 (x)f (u(x)):
Exemple : (|||) Soit f : [a; b] ! R continue. Alors F : x 7 !
Rx
a
f (t) dt est une primitive de f:
Exemple : (|||) Soit f : [0; +1[! R continue et intégrable.
R +1
Alors g : x 7 ! x f (t) dt est de classe C 1 , et g 0 (x) = f (x):
Rx
R +1
On peut d’ailleurs le voir directement en écrivant g(x) = K
f (t) dt, où K = 0 f (t) dt:
0
R x+T
RT
Exemple : (|||) Soit f : R ! R continue et T -périodique. Alors x
f (t) dt = 0 f (t) dt:
R x+T
En e¤et, ' : x 7 ! x
f (t) dt est de classe C 1 , et '0 (x) = f (x + T ) f (x) = 0, donc '(x) = '(0):
R x2 dt
:
x ln t
x 1
:
Alors f , qui est dé…nie sur ]0; 1[[]1; +1[, de classe C 1 , et f 0 (x) =
ln x
1
En e¤et, si on note F une primitive de x 7 !
, on a f (x) = F (x2 ) F (x):
ln x
x
1
x 1
Donc f 0 (x) = 2xf (x2 ) f (x) =
=
. En particulier, on a f 0 (x) > 0:
ln(x2 ) ln(x2 )
ln x
Remarque : Pour que f doit dé…nie, on doit avoir [x; x2 ] ]0; 1[[]1; +1[, donc Df =]0; 1[[]1; +1[:
Exemple : (|||) On considère f : x 7 !
2) Etude des fonctions dé…nies par une intégrable doublement paramétrée (totalement hp)
R v(x)
Il s’agit des fonctions de la forme g(x) = u(x) f (x; t) dt
L’idée est de considérer h(x; y) =
R v(x)
u(x)
f (y; t) dt. On a ainsi g(x) = h(x; x) :
J ! R (x; t) ! f (x; t) de classe C 1 , et deux applications u et v : I ! J de classe C 1 :
R v(x)
R v(x)
On considère g(x) = u(x) f (x; t) dt: Alors g est de classe C 1 , et g 0 (x) = f (x; v(x)) f (x; u(x)) + u(x) @f
@x (x; t) dt:
R v(x)
Preuve abrégée : On considère h(x; y) = u(x) f (y; t) dt:
Prop : Soient f : I
@h
(x; y) = v 0 (x)f (y; v(x)) u0 (x)f (y; u(x)):
@x
R v(x) @f
@h
En raisonnant à x …xé, on a
(x; y) = u(x)
(y; t) dt:
@y
@y
@h
@h
Comme
et
sont continues, alors h est de classe C 1 :
@x
@y
En raisonnant à y …xé, on a
Comme g(x) = h(x; x), alors g est de classe C 1 , et on conclut avec g 0 (x) =
@h
@h
(x; x) +
(x; x) :
@x
@y
Rx
Exemple : (||) Soit f : R ! C de classe C 2 . On considère g(x) = a sin(x t)f (t) dt: Alors g 00 (x) + g(x) = f (x):
Rx
Rx
En e¤et, on a g 0 (x) = sin(x x)f (x) + a cos(x t)f (t) dt = a cos(x t)f (t) dt:
Rx
D’où g 00 (x) = cos(x x)f (x)
sin(x t)f (t) dt = f (x) g(x):
a
Remarque anecdotique : On peut aussi parfois se ramener à des intégrales simples à bornes …xes via un changement de variable
Rx
R1
a¢ ne. Par exemple g(x) = 0 f (x; t) dt = x 0 f (x; ux) du, avec le changement de variable t = ux: