Intégrales dépendant dBun paramEtre 1) Convergence dominée

Intégrales dépendant d’un paramètre
1) Convergence dominée appliquée aux intégrales dont le paramètre est continu (rappel)
Prop : Soit f:AI!R(x; t)7! f(x; t)et aadhérent à A. On suppose :
- que fest continue par morceaux par rapport à t: Pour tout x2A,t7! f(x; t)est continue par morceaux sur I
- que pour tout t2I, il existe (t) = limx!af(x; t), et que :I!Rest continue par morceaux
- qu’il existe ':I!Rintégrable telle que 8x2A,8t2I; jf(x; t)j  '(t)(hypothèse de domination uniforme)
Alors, les applications t7! f(x; t)et t7! (t)sont intégrables, et limx!aRIf(x; t)dt =RI(t)dt :
Preuve : Il s’agit de prouver que pour toute suite (xn)n2Ntendant vers adans A, on a limn!+1RIf(xn; t)dt =RI(t)dt.
Pour (xn)n2N…xée, on applique le théorème de convergence dominée à la suite (fn)n2N, où fn(t) = f(xn; t):
Important : Il su¢ t que l’hypothèse de domination uniforme soit vraie au voisinage de a, c’est-à-dire qu’il existe un voisi-
nage Vde atel que 8x2(V\A),(8t2I; jf(x; t)j  '(t)).
2) Continuité des intégrales par rapport au paramètre
Prop : Soit f:AI!R(x; t)7! f(x; t):On suppose :
- que fest continue par morceaux par rapport à t: Pour tout x2A,t7! f(x; t)est continue par morceaux sur I
- que fest continue par rapport à x: Pour tout t2I,x7! f(x; t)est continue sur A
- qu’il existe ':I!Rune application intégrable telle que 8x2A; (8t2I; jf(x; t)j  '(t)) :
Alors, pour tout x2A,t7! f(x; t)est intégrable, et l’application x7! RIf(x; t)dt est dé…nie et continue sur A.
Remarque : Si fest continue sur AI, les deux premières hypothèses sont immédiatement véri…ées.
Important : La continuité étant une notion locale, il su¢ t de véri…er l’hypothèse de domination localement ,
c’est-à-dire qu’il su¢ t de prouver que la propriété de domination est véri…ée au voisinage de tout x2A. Par exemple, il
su¢ t de véri…er que pour tout segment [a; b]de A, il existe ':I!Rintégrable (dépendant souvent de aet b) telle que
8x2[a; b];(8t2I; jf(x; t)j  '(t)).
Exemple : (|||) Soit h: [0;+1[!Rcontinue par morceaux et bornée. On pose 8x > 0,L(x) = R+1
0h(t)etx dt:
Alors Lest continue sur ]0;+1[:On va prouver l’hypothèse de domination sur tout intervalle [; +1[, avec  > 0:
En e¤et, on a 8x2[; +1[,8t0,jh(t)etxj  Met ='(t), où M= sup[0;+1[jhj.
Comme 'est intégrable, la restriction de Là[; +1[est continue (donc Lcontinue en tout point x2]; +1[).
Comme  > 0est arbitraire, on en déduit que Lest continue en tout point x > 0, c’est-à-dire continue sur ]0;+1[
2) Dérivation des intégrales par rapport au paramètre (dérivation sous le signe somme)
a) Prop : Soit f:AI!R(x; t)7! f(x; t):On suppose :
- que pour tout x2A, les applications t7! f(x; t)et t7! @f
@x (x; t)sont continues par morceaux et intégrables sur I
- que pour tout t2I, l’application x7! f(x; t)est de classe C1sur A(c’est-à-dire x7! @f
@x (x; t)continue)
- qu’il existe ':I!Rintégrable telle que 8x2A; 8t2I; 
@f
@x (x; t)'(t):

Alors g:x7! RIf(x; t)dt est de classe C1sur A, et 8x2A; g0(x) = RI
@f
@x (x; t)dt (formule de Leibniz).
Important : Il su¢ t que la propriété de domination uniforme soit vraie au voisinage de tout point x2A, donc il su¢ t de
trouver une fonction t7! '(t)dominant uniformément t7! f(x; t)par rapport à xsur chaque segment de A.
Remarque : En fait, l’intégrabilité de t7! @f
@x (x; t)sur Irésulte de la propriété de domination, donc pourrait être supprimée
dans la première hypothèse.
b) Prop (extension aux fonctions de classe Cn) : Soit f:AI!R(x; t)7! f(x; t):On suppose :
- que pour tous x2Aet 0kn, les applications t7! @kf
@xk(x; t)sont continues par morceaux et intégrable sur I.
- que pour tout t2I, l’application x7! f(x; t)est de classe Cnsur A:
- que pour tout k2 f1;2; :::; ng, il existe 'k:I!Rintégrable telle que 8x2A; 8t2I; 
@kf
@xk(x; t)'k(t):
Alors g:x7! RIf(x; t)dt est de classe Cn, et 8k2 f1;2; :::; ng,8x2A; g(k)(x) = RI
@kf
@xk(x; t)dt.
Remarques :
- L’hypothèse de domination uniforme porte sur les dérivées @kf
@xk, avec 1kn(mais pas pour k= 0).
- L’intégrabilité des t7! @kf
@xk(x; t)sur I, avec 1knrésulte de la propriété de domination, donc pourrait être supprimée
dans la première hypothèse.
- L’application x7! f(x; t)est de classe Cnsur A, d’où l’existence et la continuité des x7! @kf
@xk(x; t)àt…xé.
c) Prop (extension aux fonctions de classe C1) : Soit f:AI!R(x; t)7! f(x; t):On suppose :
- que pour tous x2Aet n2N, les applications t7! @nf
@xn(x; t)sont continues par morceaux et intégrables sur I.
- que pour tout t2I, l’application x7! f(x; t)est de classe C1sur A:
- que pour tout n2N, il existe 'n:I!Rintégrable telle que 8x2A; 8t2I; 
@nf
@xn(x; t)'n(t):
Alors g:x7! RIf(x; t)dt est de classe C1, et 8n2N,8x2A; g(n)(x) = RI
@nf
@xn(x; t)dt.
Exemple : (|||) La fonction , dé…nie par 8x > 0,(x) = R+1
0tx1etdt:
On considère ici 8x > 0;8t > 0; f(x; t) = tx1et=e(x1) ln tet.
Pour tout n2N, on a @nf
@xn(x; t) = (ln t)ntx1et. Les fonctions @nf @xnsont continues sur ]0;+1[]0;+1[.
Soit [a; b]]0;+1[:On considère 'n:]0;+1[!Rpar 'n(t) = (jln tjnta1etsi t < 1
(ln t)ntb1etsi t1
On a 8n2N,8x2[a; b];8t > 0
@nf
@xn(x; t)'n(t), et les 'nsont intégrables sur ]0;+1[.
Donc est de classe C1sur ]0;+1[, et (n)(x) = R+1
0(ln t)ntx1etdt:
3) Cas des intégrales paramétrées de fonctions dé…nies sur un segment
Rappel : Toute fonction continue sur un compact (de R2) est bornée et atteint ses bornes.
a) On considère le cas où Iest un segment et où f:AI!(x; t)!f(x; t)est de classe Cnsur AI:

Dans ce cas, l’hypothèse de domination sur KIest évidente pour tout segment Kde A: il su¢ t en e¤et de considérer
la borne supérieure des jf(x; t)joù (x; t)décrit le compact KI, et plus généralement la borne supérieure de @nf
@xnsur le
compact KI(en supposant par exemple fde classe Cnsur AI). D’où :
Prop : Soit Iest un segment et f:AI!(x; t)!f(x; t)de classe Cnsur AI:
Alors g:x7! RIf(x; t)dt est de classe Cnsur A, et pour tout 0kn, on a 8x2A,g(k)(x) = RI
@kf
@xk(x; t)dt.
Remarque : L’énoncé n’étant pas au programme, donc il faut refaire la preuve à chaque fois.
Pour tout segment Kde A,KIest compact, et on peut donc considérer donc 'k(t) = sup(x;t)2KI
@nf
@xn(x; t):
b) Exemple : (|) Soit f: [0;+1[!Rde classe C1. Considérons 8x0,g(x) = R1
0f(tx)dt.
La fonction h: (t; x)7! f(tx)est de classe C1sur [0;1] [0;+1[.
A fortiori, les deux premières hypothèses du 2) c) sont véri…ées.
D’autre part, on a 8x2[a; b],@nh
@xn(x; t) = tnf(n+1):
Donc pour tout segment [a; b]de [0;+1[,
@nh
@xn(x; t)sup(x;t)2[a;b][0;1] tnf(n)(tx)='n(t):
La borne sup existe car [a; b][0;1] est compact et que toute fonction continue sur un compact est bornée.
L’application 'nest intégrable car toute fonction constante est intégrable sur un segment.
Donc l’application fest de classe C1sur [0;+1[, et on a 8n2N,g(n)(x) = R1
0tnf(n)(tx)dt:

Fonctions dé…nies par une intégrale à bornes variables
Théorème fondamental du calcul di¤érentiel (rappel)
Soit f: [a; b]!Rcontinue.
Pour toute primitive Fde f, on a Rb
af(t)dt =F(b)F(a):
1) Etude des fonctions dé…nie par une intégrale à bornes variables
On considère les fonctions gde la forme g(x) = Rv(x)
u(x)f(t)dt
Soit f:I!Rcontinue, et uet v:J!Ide classe C1:
Alors g:J!Rx7! Rv(x)
u(x)f(t)dt est de classe C1.
En e¤et, en notant Fune primitive de f, on a g(x) = F(v(x)) F(u(x)) :
Comme fest continue, alors Fest de classe C1:Donc gest de classe C1(comme somme de composées de fonctions de classe
C1), et on a : g0(x) = v0(x)f(v(x)) u0(x)f(u(x)):
Exemple : (|||) Soit f: [a; b]!Rcontinue. Alors F:x7! Rx
af(t)dt est une primitive de f:
Exemple : (|||) Soit f: [0;+1[!Rcontinue et intégrable.
Alors g:x7! R+1
xf(t)dt est de classe C1, et g0(x) = f(x):
On peut d’ailleurs le voir directement en écrivant g(x) = KRx
0f(t)dt, où K=R+1 0f(t)dt:
Exemple : (|||) Soit f:R!Rcontinue et T-périodique. Alors Rx+T
xf(t)dt =RT 0f(t)dt:
En e¤et, ':x7! Rx+T
xf(t)dt est de classe C1, et '0(x) = f(x+T)f(x) = 0, donc '(x) = '(0):
Exemple : (|||) On considère f:x7! Rx2
x
dt
ln t:
Alors f, qui est dé…nie sur ]0;1[[]1;+1[, de classe C1, et f0(x) = x1
ln x:
En e¤et, si on note Fune primitive de x7! 1
ln x, on a f(x) = F(x2)F(x):
Donc f0(x) = 2xf(x2)f(x) = x
ln(x2)1 ln(x2)=x1 ln x. En particulier, on a f0(x)>0:
Remarque : Pour que fdoit dé…nie, on doit avoir [x; x2]]0;1[[]1;+1[, donc Df=]0;1[[]1;+1[:
2) Etude des fonctions dé…nies par une intégrable doublement paramétrée (totalement hp)
Il s’agit des fonctions de la forme g(x) = Rv(x)
u(x)f(x; t)dt
L’idée est de considérer h(x; y) = Rv(x)
u(x)f(y; t)dt. On a ainsi g(x) = h(x; x):
Prop :Soient f:IJ!R(x; t)!f(x; t)de classe C1, et deux applications uet v:I!Jde classe C1:
On considère g(x) = Rv(x)
u(x)f(x; t)dt: Alors gest de classe C1, et g0(x) = f(x; v(x)) f(x; u(x)) + Rv(x) u(x)
@f
@x (x; t)dt:
Preuve abrégée : On considère h(x; y) = Rv(x)
u(x)f(y; t)dt:
En raisonnant à y…xé, on a @h
@x (x; y) = v0(x)f(y; v(x)) u0(x)f(y; u(x)):
En raisonnant à x…xé, on a @h
@y (x; y) = Rv(x)
u(x)
@f
@y (y; t)dt:
Comme @h
@x et @h @y sont continues, alors hest de classe C1:
Comme g(x) = h(x; x), alors gest de classe C1, et on conclut avec g0(x) = @h
@x (x; x) + @h @y (x; x):
Exemple : (||) Soit f:R!Cde classe C2. On considère g(x) = Rx
asin(xt)f(t)dt: Alors g00(x) + g(x) = f(x):
En e¤et, on a g0(x) = sin(xx)f(x) + Rx
acos(xt)f(t)dt =Rx acos(xt)f(t)dt:
D’où g00(x) = cos(xx)f(x)Rx
asin(xt)f(t)dt =f(x)g(x):
Remarque anecdotique : On peut aussi parfois se ramener à des intégrales simples à bornes …xes via un changement de variable
a¢ ne. Par exemple g(x) = Rx
0f(x; t)dt =xR1 0f(x; ux)du, avec le changement de variable t=ux: