Dérivation Étude de fonctions

Dérivation
Étude de fonctions
Christophe ROSSIGNOL∗
Année scolaire 2011/2012
Table des matières
1 Nombre dérivé et tangente 2
2 Fonction dérivée 3
2.1 Définition ............................................. 3
2.2 Dérivées des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Opérations sur les fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.4 Fonctionscomposées....................................... 5
3 Application de la dérivation 6
Table des figures
1 Tangenteàunecourbe...................................... 2
Liste des tableaux
1Dérivées des fonctions usuelles ................................... 3
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1

En préliminaire au cours :
Activité : Activité 1 page 609 [Roche-Barny] : Les tangentes à une courbe et les approximations affines.
1 Nombre dérivé et tangente
Dans toute la suite, on considère une fonction fdéfinie sur un intervalle I. On note Cfsa courbe
représentative dans un repère O;−→ i;−→ j.
Définition : Soit a∈I.
Si la courbe Cfadmet au point d’abscisse aune tangente non parallèle à l’axe des ordonnées (voir
figure 1), on dit que la fonction fest dérivable en aet on appelle nombre dérivé de fen ale
coefficient directeur de cette tangente.
Le nombre dérivé de fen aest noté f0(a).
Figure 1 – Tangente à une courbe
Remarques :
1. Attention ! Il ne faut pas confondre :
–f0(a):nombre dérivé de fen a,coefficient directeur de la tangente au point de la courbe
d’abscisse a;
–f(a):image de apar f,ordonnée du point de la courbe d’abscisse a.
2. Si une fonction fest dérivable en a, l’équation de la tangente est de la forme y=mx +p.
–m=f0(a)
– pour déterminer p, on utilise le fait que la tangente passe par le point A(a;f(a)).
3. L’équation de cette tangente peut être utilisée pour déterminer une approximation de f(x)
lorsque xest proche de a.
Cette approximation est appelé approximation affine.
Exercices : 1, 2, 3 page 85 1[Roche-Barny]
1. Nombre dérivé et tangente.
2

2 Fonction dérivée
2.1 Définition
Définition : Si une fonction est dérivable pour tout réel ade l’intervalle I, on dit qu’elle est dérivable
sur l’intervalle I.
Dans ce cas, on appelle fonction dérivée de fsur l’intervalle Ila fonction qui, à tout xde I, associe
le nombre dérivé f0(x). On note cette fonction f0.
Remarque : Dire qu’une fonction est dérivable signifie qu’il existe des tangentes à tout point de la
courbe la représentant. Par contre, la fonction dérivée n’a plus rien à voir avec une tangente. C’est
la fonction qui, à chaque valeur de x, associe le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse
x.
Définition : On dit que la fonction fest une primitive de la fonction f0.
Module : TP1 page 72 2[Roche-Barny]
Exercice : 26, 27 page 87 ; 29, 30 page 88 et 3 page 94 3[Roche-Barny]
2.2 Dérivées des fonctions usuelles
On démontre, et on admettra les résultats fournis dans le tableau 1 :
fonction fdérivée f0Intervalle de validité
f(x) = k(kconstante) f0(x)=0 R
f(x) = x f0(x)=1 R
f(x) = x2f0(x)=2xR
f(x) = x3f0(x)=3x2R
f(x) = xn(nentier >0) f0(x) = nxn−1R
f(x) = 1
xf0(x) = −1
x2]−∞; 0[ ou ]0 ; +∞[
f(x) = 1
x2f0(x) = −2
x3]−∞; 0[ ou ]0 ; +∞[
f(x) = 1
xn(nentier >0) f0(x) = −n
xn+1 ]−∞; 0[ ou ]0 ; +∞[
f(x) = √xf0(x) = 1
2√x]0 ; +∞[
Table 1 – Dérivées des fonctions usuelles
2.3 Opérations sur les fonctions dérivables
Tous les résultats de cette sous-section sont admis.
Propriété 1 : Soit uet vdeux fonctions dérivables sur un intervalle I.
Alors la fonction (u+v)est dérivable sur Iet sa dérivée est u0+v0.
On note : (u+v)0=u0+v0.
Exemple : Soit fla fonction définie sur ]0 ; +∞[par f(x) = x2+1
x.
f=u+vavec u(x) = x2et v(x) = 1
x.
uet vsont dérivables sur ]0 ; +∞[, on a u0(x)=2xet v0(x) = −1
x2.
Par suite fest dérivable sur ]0 ; +∞[et f0(x)=2x−1
x2.
2. Lecture graphique.
3. Lectures graphiques.
3

Propriété 2 : Soit uune fonction dérivable sur un intervalle Iet kun nombre réel.
Alors la fonction (ku)est dérivable sur Iet sa dérivée est ku0.
On note : (ku)0=ku0.
Exemple : Soit f(x)=3x3−x2+x√2−1définie sur R.
Alors fest dérivable sur Ret f0(x)=3×3x2−2x+ 1 ×√2 + 0 = 9x2−2x+√2.
Exercices : 5, 7 page 85 et 9 page 86 4– 16 page 86 5– 18, 20, 21 page 86 6– 23 page 87 7– 24 page
87 8[Roche-Barny]
Propriété 3 : Soit uet vdeux fonctions dérivables sur un intervalle I.
Alors la fonction (uv)est dérivable sur Iet sa dérivée est u0v+uv0.
On note : (uv)0=u0v+uv0.
Exemple : Soit fla fonction définie sur [0 ; +∞[par f(x) = x√x.
fest de la forme uv avec : u(x) = xet v(x) = √x
uet vsont dérivables sur ]0 ; +∞[et : u0(x)=1et v0(x) = 1
2√x
Par suite, fest dérivable sur ]0 ; +∞[et f0(x) = 1 ×√x+x×1
2√x=√x+x 2√x=√x+(√x)2 2√x=
√x+1
2√x=3 2√x.
Propriété 4 : Soit vune fonction dérivable sur un intervalle I, telle que, pour tout xde I,v(x)6= 0.
Alors la fonction 1
vest dérivable sur Iet sa dérivée est −v0 v2.
On note : 1
v0=−v0 v2.
Exemple : Soit f(x) = 1
3x−1définie sur 1 3; +∞.
fest de la forme 1
v, où v(x)=3x−1.
vest dérivable sur 1
3; +∞, ne s’annule pas sur 1 3; +∞et v0(x)=3.
Par suite, fest dérivable sur 1
3; +∞et f0(x) = −3
(3x−1)2.
Propriété 5 : Soit uet vdeux fonctions dérivables sur un intervalle I, telle que, pour tout xde I,
v(x)6= 0.
Alors la fonction u
vest dérivable sur Iet sa dérivée est u0v−uv0 v2.
On note : u
v0=u0v−uv0 v2.
Exemple : Soit fla fonction définie sur ]2 ; +∞[par f(x) = 4x+5
x−2.
fest de la forme u
vavec u(x)=4x+ 5 et v(x) = x−2.
uet vsont dérivables sur ]2 ; +∞[, on a u0(x)=4et v0(x)=1. De plus, vne s’annule pas sur
]2 ; +∞[.
Par suite, fest dérivable sur ]2 ; +∞[et :
f0(x) = 4×(x−2) −(4x+ 5) ×1
(x−2)2=4x−8−4x−5 (x−2)2=−13 (x−2)2
Module : TP3 page 74 9[Roche-Barny]
Exercices : 10, 11, 12 page 86 et 1 page 94 10 – 13, 15 page 86 11 – 17 page 86 12 – 19 page 86 13 –25
page 87 14 [Roche-Barny]
4. Calculs de dérivées.
5. Notion de primitive.
6. Dérivation et tangentes.
7. Détermination d’une fonction.
8. Approximation affine.
9. Calculons des dérivées.
10. Dérivée d’un quotient, d’un produit.
11. Calcul de deux façons différentes.
12. Notion de primitive.
13. Dérivation et tangentes.
14. Approximation affine.
4

2.4 Fonctions composées
Activité : Montage de fonctions (sur feuille polycopiée)
Définition : Soit uune fonction définie sur un intervalle I,à valeurs dans un intervalle J.
Soit vune fonction définie sur l’intervalle J.
On appelle composée de usuivie de vla fonction fdéfinie sur l’intervalle Ipar : f(x) = v(u(x)).
Ceci peut se résumer par le schéma suivant :
f:I−→ J−→ R
x−→ X=u(x)−→ v(X) = v(u(x))
Exemples :
1. Soit ula fonction définie par f(x) = √xet vla fonction définie par v(x) = x2+ 2.
– Composée de usuivie de v:
xu −→ X=√xv −→ v(X) = X2+ 2 = √x2+ 2 = x+ 2
La composée de usuivie de vest f(x) = x+ 2.
– Composée de vsuivie de u:
xv −→ X=x2+ 2 y −→ u(X) = √X=px2+ 2
La composée de vsuivie de uest g(x) = √x2+ 2.
2. Soit f(x) = (3x−1)4. On a :
xu −→ X= 3x−1v −→ v(X) = X4= (3x−1)4
Donc fest la composée de u(x)=3x−1suivie de v(x) = x4.
3. Soit g(x) = 1
(3x2+1)3. On a :
xu −→ X= 3x2+ 1 v −→ v(X) = 1
X3=1
(3x2+ 1)3
Donc gest la composée de u(x)=3x2+ 1 suivie de v(x) = 1
x3.
Exercices : 41 page 89 et 43 page 90 15 [Roche-Barny]
Théorème : Soit uune fonction dérivable sur un intervalle Iet vune fonction dérivable sur un intervalle
Jtelles que, pour tout x∈I,u(x)∈J.
Alors la fonction fdéfinie par f(x) = v(u(x)) est dérivable sur Iet, pour tout x∈I:
f0(x) = u0(x)×v0(u(x))
Exemples :
1. f(x) = (3x−1)4
fest la composée de u(x)=3x−1suivie de v(x) = x4.
On a u0(x)=3et v0(x)=4x3donc f0(x)=3×4×(3x−1)3= 12 (3x−1)3
2. g(x) = 1
(3x2+1)3
gest la composée de u(x)=3x2+ 1 suivie de v(x) = 1
x3.
On a u0(x)=6xet v0(x) = −4
x4donc g0(x)=6x×−4
(3x2+1)4=−24x (3x2+1)4
Quelques cas particuliers importants :
Soit uune fonction dérivable sur un intervalle I.
– Pour tout entier naturel nnon nul, la fonction unest dérivable sur Iet (un)0=nu0un−1.
– Si pour tout x∈I,u(x)6= 0, La fonction 1
unest dérivable sur Iet 1 un0=−nu0 un+1 .
– Si pour tout x∈I,u(x)>0, La fonction √uest dérivable sur Iet (√u)0=u0
2√u.
15. Composition de fonctions.
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