Dérivation Étude de fonctions

Dérivation
Étude de fonctions
Christophe ROSSIGNOL∗
Année scolaire 2011/2012
Table des matières
1 Nombre dérivé et tangente
2
2 Fonction dérivée
3
2.1
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Dérivées des fonctions usuelles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.3
Opérations sur les fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.4
Fonctions composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3 Application de la dérivation
6
Table des figures
1
Tangente à une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Liste des tableaux
1
Dérivées des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∗ Ce
cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
3
En préliminaire au cours :
Activité : Activité 1 page 609 [Roche-Barny] : Les tangentes à une courbe et les approximations affines.
1
Nombre dérivé et tangente
Dans toute la suite, on considère
une fonction
f définie sur un intervalle I. On note Cf sa courbe
→
− →
−
représentative dans un repère O ; i ; j .
Définition : Soit a ∈ I.
Si la courbe Cf admet au point d’abscisse a une tangente non parallèle à l’axe des ordonnées (voir
figure 1), on dit que la fonction f est dérivable en a et on appelle nombre dérivé de f en a le
coefficient directeur de cette tangente.
Le nombre dérivé de f en a est noté f 0 (a).
Figure 1 – Tangente à une courbe
Remarques :
1. Attention ! Il ne faut pas confondre :
– f 0 (a) : nombre dérivé de f en a, coefficient directeur de la tangente au point de la courbe
d’abscisse a ;
– f (a) : image de a par f , ordonnée du point de la courbe d’abscisse a.
2. Si une fonction f est dérivable en a, l’équation de la tangente est de la forme y = mx + p.
– m = f 0 (a)
– pour déterminer p, on utilise le fait que la tangente passe par le point A (a ; f (a)).
3. L’équation de cette tangente peut être utilisée pour déterminer une approximation de f (x)
lorsque x est proche de a.
Cette approximation est appelé approximation affine.
Exercices : 1, 2, 3 page 85 1 [Roche-Barny]
1. Nombre dérivé et tangente.
2
2
Fonction dérivée
2.1
Définition
Définition : Si une fonction est dérivable pour tout réel a de l’intervalle I, on dit qu’elle est dérivable
sur l’intervalle I.
Dans ce cas, on appelle fonction dérivée de f sur l’intervalle I la fonction qui, à tout x de I, associe
le nombre dérivé f 0 (x). On note cette fonction f 0 .
Remarque : Dire qu’une fonction est dérivable signifie qu’il existe des tangentes à tout point de la
courbe la représentant. Par contre, la fonction dérivée n’a plus rien à voir avec une tangente. C’est
la fonction qui, à chaque valeur de x, associe le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse
x.
Définition : On dit que la fonction f est une primitive de la fonction f 0 .
Module : TP1 page 72 2 [Roche-Barny]
Exercice : 26, 27 page 87 ; 29, 30 page 88 et 3 page 94 3 [Roche-Barny]
2.2
Dérivées des fonctions usuelles
On démontre, et on admettra les résultats fournis dans le tableau 1 :
fonction f
f (x) = k (k constante)
f (x) = x
f (x) = x2
f (x) = x3
f (x) = xn (n entier >0)
dérivée f 0
f 0 (x) = 0
f 0 (x) = 1
f 0 (x) = 2x
f 0 (x) = 3x2
f 0 (x) = nxn−1
Intervalle de validité
R
R
R
R
R
f (x) =
1
x
f 0 (x) = −
1
x2
]−∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[
f (x) =
1
x2
f 0 (x) = −
2
x3
]−∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[
f (x) =
1
(n entier >0)
xn
f 0 (x) = −
n
xn+1
]−∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[
√
1
f 0 (x) = √
2 x
f (x) =
x
Table 1 – Dérivées des fonctions usuelles
2.3
Opérations sur les fonctions dérivables
Tous les résultats de cette sous-section sont admis.
Propriété 1 : Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
Alors la fonction (u + v) est dérivable sur I et sa dérivée est u0 + v 0 .
0
On note : (u + v) = u0 + v 0 .
Exemple : Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f (x) = x2 + x1 .
f = u + v avec u (x) = x2 et v (x) = x1 .
u et v sont dérivables sur ]0 ; +∞[, on a u0 (x) = 2x et v 0 (x) = − x12 .
Par suite f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et f 0 (x) = 2x − x12 .
2. Lecture graphique.
3. Lectures graphiques.
3
]0 ; +∞[
Propriété 2 : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et k un nombre réel.
Alors la fonction (ku) est dérivable sur I et sa dérivée est ku0 .
0
On note : (ku) = ku0 .
√
Exemple : Soit f (x) = 3x3 − x2 + x 2 − 1 définie sur R.
√
√
Alors f est dérivable sur R et f 0 (x) = 3 × 3x2 − 2x + 1 × 2 + 0 = 9x2 − 2x + 2.
Exercices : 5, 7 page 85 et 9 page 86 4 – 16 page 86 5 – 18, 20, 21 page 86 6 – 23 page 87 7 – 24 page
87 8 [Roche-Barny]
Propriété 3 : Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
Alors la fonction (uv) est dérivable sur I et sa dérivée est u0 v + uv 0 .
0
On note : (uv) = u0 v + uv 0 .
√
Exemple : Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par√f (x) = x x.
f est de la forme uv avec : u (x) = x et v (x) = x
1
u et v sont dérivables sur ]0 ; +∞[ et : u0 (x) = 1 et v 0 (x) = 2√
x
√
√
1
0
Par suite, f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et f (x) = 1 × x + x × 2√
= x+
x
√
√
√
x + 12 x = 32 x.
x
√
=
2 x
√
x+
√ 2
x)
√
2 x
(
=
Propriété 4 : Soit v une fonction dérivable sur un intervalle I, telle que, pour tout x de I, v (x) 6= 0.
0
Alors la fonction v1 est dérivable sur I et sa dérivée est − vv2 .
0
0
On note : v1 = − vv2 .
1
Exemple : Soit f (x) = 3x−1
définie sur 13 ; +∞ .
f est de la forme v1 , où v (x) = 3x − 1.
pas sur 13 ; +∞ et v 0 (x) = 3.
v est dérivable sur 13 ; +∞ , ne s’annule
3
Par suite, f est dérivable sur 13 ; +∞ et f 0 (x) = − (3x−1)
2.
Propriété 5 : Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I, telle que, pour tout x de I,
v (x) 6= 0.
0
0
.
Alors la fonction uv est dérivable sur I et sa dérivée est u v−uv
v2
0
0
0
On note : uv = u v−uv
.
v2
Exemple : Soit f la fonction définie sur ]2 ; +∞[ par f (x) = 4x+5
x−2 .
f est de la forme uv avec u (x) = 4x + 5 et v (x) = x − 2.
u et v sont dérivables sur ]2 ; +∞[, on a u0 (x) = 4 et v 0 (x) = 1. De plus, v ne s’annule pas sur
]2 ; +∞[.
Par suite, f est dérivable sur ]2 ; +∞[ et :
f 0 (x) =
4 × (x − 2) − (4x + 5) × 1
(x − 2)
2
=
4x − 8 − 4x − 5
(x − 2)
2
=−
13
2
(x − 2)
Module : TP3 page 74 9 [Roche-Barny]
Exercices : 10, 11, 12 page 86 et 1 page 94 10 – 13, 15 page 86 11 – 17 page 86 12 – 19 page 86 13 –25
page 87 14 [Roche-Barny]
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Calculs de dérivées.
Notion de primitive.
Dérivation et tangentes.
Détermination d’une fonction.
Approximation affine.
Calculons des dérivées.
Dérivée d’un quotient, d’un produit.
Calcul de deux façons différentes.
Notion de primitive.
Dérivation et tangentes.
Approximation affine.
4
2.4
Fonctions composées
Activité : Montage de fonctions (sur feuille polycopiée)
Définition : Soit u une fonction définie sur un intervalle I, à valeurs dans un intervalle J.
Soit v une fonction définie sur l’intervalle J.
On appelle composée de u suivie de v la fonction f définie sur l’intervalle I par : f (x) = v (u (x)).
Ceci peut se résumer par le schéma suivant :
I −→
x −→
f :
J
−→
X = u (x) −→
R
v (X) = v (u (x))
Exemples :
1. Soit u la fonction définie par f (x) =
– Composée de u suivie de v :
u
x −→ X =
√
√
x et v la fonction définie par v (x) = x2 + 2.
√ 2
x +2=x+2
v
x −→ v (X) = X 2 + 2 =
La composée de u suivie de v est f (x) = x + 2.
– Composée de v suivie de u :
y
v
x −→ X = x2 + 2 −→ u (X) =
√
La composée de v suivie de u est g (x) = x2 + 2.
√
X=
p
x2 + 2
4
2. Soit f (x) = (3x − 1) . On a :
u
v
x −→ X = 3x − 1 −→ v (X) = X 4 = (3x − 1)
4
Donc f est la composée de u (x) = 3x − 1 suivie de v (x) = x4 .
3. Soit g (x) =
1
.
(3x2 +1)3
On a :
u
v
x −→ X = 3x2 + 1 −→ v (X) =
1
1
=
3
X3
(3x2 + 1)
Donc g est la composée de u (x) = 3x2 + 1 suivie de v (x) =
Exercices : 41 page 89 et 43 page 90
15
1
x3
.
[Roche-Barny]
Théorème : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et v une fonction dérivable sur un intervalle
J telles que, pour tout x ∈ I, u (x) ∈ J.
Alors la fonction f définie par f (x) = v (u (x)) est dérivable sur I et, pour tout x ∈ I :
f 0 (x) = u0 (x) × v 0 (u (x))
Exemples :
4
1. f (x) = (3x − 1)
f est la composée de u (x) = 3x − 1 suivie de v (x) = x4 .
3
3
On a u0 (x) = 3 et v 0 (x) = 4x3 donc f 0 (x) = 3 × 4 × (3x − 1) = 12 (3x − 1)
2. g (x) =
1
(3x2 +1)3
g est la composée de u (x) = 3x2 + 1 suivie de v (x) = x13 .
On a u0 (x) = 6x et v 0 (x) = − x44 donc g 0 (x) = 6x × − (3x24+1)4 = − (3x24x
2 +1)4
Quelques cas particuliers importants :
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
0
– Pour tout entier naturel n non nul, la fonction un est dérivable sur I et (un ) = nu0 un−1 .
0
1
1 0
– Si pour tout x ∈ I, u (x) 6= 0, La fonction un est dérivable sur I et un = − unu
n+1 .
√
√ 0
0
– Si pour tout x ∈ I, u (x) > 0, La fonction u est dérivable sur I et ( u) = 2u√u .
15. Composition de fonctions.
5
Remarque : Dans le tableau des dérivées usuelles, on remplace x par u et on multiplie par u0 .
Module : TP 4 page 75 16 [Roche-Barny]
Exercices : 45, 46, 47 page 90 17 [Roche-Barny]
3
Application de la dérivation
Théorème fondamental (admis)
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
– Si, pour tout x de I, f 0 (x) ≥ 0 alors f est croissante sur I.
– Si, pour tout x de I, f 0 (x) ≤ 0 alors f est décroissante sur I.
– Si, pour tout x de I, f 0 (x) = 0 alors f est constante sur I.
Remarques :
1. On a aussi : f 0 (x) > 0 donne f strictement croissante, etc.
2. Pour étudier les variations d’une fonction, il suffit donc d’étudier le signe de sa dérivée.
Exemples :
1. f définie sur I = [0 ; 10] par f (x) = x2 + 2x − 3.
f est une fonction polynôme donc est dérivable sur [0 ; 10].
f 0 (x) = 2x + 2.
Il faut déterminer le signe de f 0 .
−∞
x
Signe de 2x + 2
−
−1
0
+∞
+
Or, ici, x ∈ [0 ; 10]. On en déduit le tableau de variations de f :
x
Signe de f 0 (x)
0
10
+
117
%
Variations de f (x)
−3
Avec :
f (0) = 02 + 2 × 0 − 3 = −3
f (10) = 102 + 2 × 10 − 3 = 100 + 20 − 3 = 117
2. g définie sur I = [−5 ; 5] par g (x) = x3 − 12x + 5
g est une fonction polynôme donc est dérivable sur [−5 ; 5].
g 0 (x) = 3x2 − 12 = 3 x2 − 4 = 3 (x − 2) (x + 2).
Il faut déterminer le signe de g 0 .
x
Signe de x − 2
Signe de x + 2
Signe de g 0 (x)
−5
−2
−
−
+
0
0
−
+
−
2
0
0
5
+
+
+
On en déduit le tableau de variations de g :
x
Signe de g 0 (x)
−5
+
%
Variations de g (x)
−60
16. Composons et décomposons.
17. Dérivation de fonctions composées.
6
−2
0
21
−
2
0
5
+
70
&
%
−11
Avec :
3
g (−5) = (−5) − 12 × (−5) + 5 = −125 + 60 + 5 = −60
3
g (−2) = (−52) − 12 × (−2) + 5 = −8 + 24 + 5 = 21
g (2) = 23 − 12 × 2 + 5 = 8 − 24 + 5 = −11
g (5) = 53 − 12 × 5 + 5 = 125 − 60 + 5 = 70
Remarque : On peut remarquer que lorsque la dérivée s’annule en changeant de signe, la fonction admet
un extremum local.
Module : TP 5 page 76 18 ; TP6 page 76 19 et TP7 page 77 20 [Roche-Barny]
Exercices : 32, 33 page 88 et 34 page 89 21 – 35, 37 page 89 22 – 40 page 89 23 – 48, 49 page 90 24 – 51,
52 page 91 ; 54 page 92 et 56 page 93 25 [Roche-Barny]
Références
[Roche-Barny] Mathématiques Terminale STG, F. Roche et F. Barny, Hachette Éducation, 2006.
2, 3, 4, 5, 6, 7
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Étude de fonction et représentation graphique.
Recherche d’extremums.
Étude d’une fonction et son application économique.
Étude de fonctions.
Recherche d’extremums.
Tracé de courbes.
Fonctions composés.
Applications économiques.
7