Exercice 1 - Sebjaumaths

Géométrie dans l’espace
Produit scalaire, équation de plan
Exercice 1 :
Fiche 17


On considère dans le parallélépipède ABCDEFGH le repère A; AB, AD, AE .
Soit I le milieu de [HF], et J le point symétrique de C par rapport à G.
1. Exprimer les coordonnées de tous les points de la figure.
2. Montrer que les points A, I et J sont alignés.
Exercice 2 :
On se place dans le repère O; i, j, k .


On considère les points : A 1; 2;1 , B  4; 4; 2  , C  2;1; 4  et D  6;7;0  .
1. Donner les coordonnées des vecteurs AB , AC et AD .
2. Exprimer AD en fonction de AB et AC .
3. En déduire que A,B,C et D sont coplanaires.
Exercice 3 :
L’espace E est rapporté à un repère orthonormé (O ; i , j , k ) . Les points A, B, C et D ont pour
coordonnées :
A(1 ; 0 ; 2), B(3 ; 2 ;  4), C(1 ;  4 ; 2), D(5 ;  2 ; 4)
On considère les points I, J, K définis par : I est le milieu du segment [AB], K est le milieu du
1
4
segment [CD] et J est tel que BJ  BC .
1. Déterminer les coordonnées des points I, J et K.
2. a. Montrer que I, J et K ne sont pas alignés.
b. Déterminer une représentation paramétrique du plan (IJK).
Montrer qu’une équation cartésienne du plan (IJK) est 8 x  9y  5 z  12  0 .
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AD) et montrer que (IJK)
et (AD) sont sécants en un point L dont on donnera les coordonnées.
d. Déterminer la valeur du réel k tel que AL  k AD .
Exercice 4 :
L’espace E est rapporté à un repère orthonormé (O ; i , j , k ) . Les points A, B et C ont pour
coordonnées :
A(1 ; 2 ;1), B(1 ;  6 ;  1), C(2 ; 2 ; 2) .
1
1 
1. Montrer que A, B et C ne sont pas alignés et que le vecteur n   1  est normal au plan
 3 


(ABC).
2. Déterminer une représentation paramétrique du plan (ABC).
3. Donner une équation cartésienne du plan (ABC).
4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (  ) orthogonale au plan
(ABC) passant par le point D(0 ; 1 ; −1).
Exercice 5 :
Soit ABCDEFGH un cube.
Montrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (CFH).
Exercice 6 :
P1, P2 et P3 sont trois plans d’équations cartésiennes :
P1 : x  2y  z  5  0
P2 : 3 x  5 y  7 z  4  0
P3 : y  z  3  0 .
1. Montrer que P1 et P2 sont perpendiculaires.
2. Déterminer une équation paramétrique de l’intersection D de P1 et P2.
3. En déduire que P1, P2 et P3 ont un unique point commun et calculer ses coordonnées.
Exercice 7 :
L’espace est rapporté à un repère orthonormé (O ; i , j , k ) . On appelle P le plan d’équation
2 x  y  5  0 et P’ celui d’équation 3 x  y  z  0 .
1. Montrer que P et P’ sont sécants suivant une droite D dont une représentation
xt
paramétrique est  y  5  2t où t est un réel quelconque.
 z  5  5t

2. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier précisément vos
réponses :
a. D est parallèle au plan R d’équation 5 x  5y  z  0 .
 x  3 u
b. Soit D’ la droite de représentation paramétrique  y  1  u où u est un réel
 z  2  2u

quelconque. Les droites D et D’ sont coplanaires.
2