Exercice 1 - Sebjaumaths

1
Exercice 1 :
On considère dans le parallélépipède ABCDEFGH le repère
; , ,A AB AD AE
.
Soit I le milieu de [HF], et J le point symétrique de C par rapport à G.
1. Exprimer les coordonnées de tous les points de la figure.
2. Montrer que les points A, I et J sont alignés.
Exercice 2 :
On se place dans le repère
; , ,O i j k
.
On considère les points :
1;2;1A
,
4;4;2B
,
2;1;4C
et
6;7;0D
.
1. Donner les coordonnées des vecteurs
AB
,
AC
et
AD
.
2. Exprimer
AD
en fonction de
AB
et
AC
.
3. En déduire que A,B,C et D sont coplanaires.
Exercice 3 :
L’espace E est rapporté à un repère orthonormé
( ; , , )O i j k
. Les points A, B, C et D ont pour
coordonnées :
( 1;0 ;2), (3 ;2 ; 4), (1; 4 ;2), (5 ; 2 ;4)A B C D   
On considère les points I, J, K définis par : I est le milieu du segment [AB], K est le milieu du
segment [CD] et J est tel que
1
4
BJ BC
.
1. Déterminer les coordonnées des points I, J et K.
2. a. Montrer que I, J et K ne sont pas alignés.
b. Déterminer une représentation paramétrique du plan (IJK).
Montrer qu’une équation cartésienne du plan (IJK) est
8 9 5 12 0x y z   
.
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AD) et montrer que (IJK)
et (AD) sont sécants en un point L dont on donnera les coordonnées.
d. Déterminer la valeur du réel k tel que
AL kAD
.
Exercice 4 :
L’espace E est rapporté à un repère orthonormé
( ; , , )O i j k
. Les points A, B et C ont pour
coordonnées :
( 1;2;1), (1; 6 ; 1), (2;2 ;2)A B C  
.
Géométrie dans l’espace
Produit scalaire, équation de plan
Fiche 17

2
1. Montrer que A, B et C ne sont pas alignés et que le vecteur
1
1
3
n
est normal au plan
(ABC).
2. Déterminer une représentation paramétrique du plan (ABC).
3. Donner une équation cartésienne du plan (ABC).
4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite ( ) orthogonale au plan
(ABC) passant par le point D(0 ; 1 ; −1).
Exercice 5 :
Soit ABCDEFGH un cube.
Montrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (CFH).
Exercice 6 :
P1, P2 et P3 sont trois plans d’équations cartésiennes :
P1 :
2 5 0x y z   
P2 :
3 5 7 4 0x y z   
P3 :
30yz  
.
1. Montrer que P1 et P2 sont perpendiculaires.
2. Déterminer une équation paramétrique de l’intersection D de P1 et P2.
3. En déduire que P1, P2 et P3 ont un unique point commun et calculer ses coordonnées.
Exercice 7 :
L’espace est rapporté à un repère orthonormé
( ; , , )O i j k
. On appelle P le plan d’équation
2 5 0xy  
et P’ celui d’équation
30x y z  
.
1. Montrer que P et P’ sont sécants suivant une droite D dont une représentation
paramétrique est
52
55
xt
yt
zt
où t est un réel quelconque.
2. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier précisément vos
réponses :
a. D est parallèle au plan R d’équation
5 5 0x y z   
.
b. Soit D’ la droite de représentation paramétrique
3
1
22
xu
yu
zu
où u est un réel
quelconque. Les droites D et D’ sont coplanaires.