Exercices supplementaires geometrie dans l espace m iglesias ts

2 Géométrie dans l’espace
TS 2015/2016
Exercices
Exercice 2. 5 (page 308 n° 30) cf page 308 n° 29
Soit le cube
.
7
7
8
# = 555556 .
1. Représenter les points , " et # définis par 55556 = 555556 , 55556" = 555556 et 555556
Exercice 2. 1
est un cube (cf annexe). Les points , ", #, $, %, &, ', ( sont les milieux de
certaines arêtes du cube.
Dans chaque cas construire la section du cube
par le plan 0.
);
a. 0 = (
b. 0 = ( ") ;
c. 0 = (#$%) ;
(
(
0
=
%&)
;
0
=
'()
;
d.
e.
f. 0 = (# $).
Exercice 2. 2
1. a.
b.
c.
d.
2. a.
b.
9
Préciser la position relative de ( ") et ( ).
Préciser la position relative de ( ") et ( ).
).
Préciser la position relative de ( ") et (
).
Placer le point d’intersection de ( ") et (
)
Préciser la position relative de ( "#) et (
Tracer l’intersection de ces deux plans.
Exercice 2. 3
), ∈ (
) et
est un tétraèdre, (cf annexe) ∈ (
).
droite ( ) n’est pas parallèle au plan (
).
1. Placer le point d’intersection de ( ) et du plan (
).
2. Représenter la section du tétraèdre par le plan (
9
9
4. En déduire que les points , " et # sont alignés.
Exercice 2. 6
7
7
8
est un tétraèdre. , ", # sont les points définis par 55556 = 555556 , 555556
# = 555556, 55556" = 555556 .
8
9
2. Exprimer le vecteur 55556" en fonction des vecteurs 555556 , 555556 et 555556 .
55556 .
3. Même question avec le vecteur "#
:
et
est un tétraèdre, est le milieu de D
555556 + 5#
555556 + #
56
555556 + #
5555556 = 0
E, # est le point tel que #
56.
, c’est à dire le point tel que 555556 + 555556 + 555556 = 0
est le centre de gravité du triangle
1. Démontrer que 555556 + 555556 = 255556 . En déduire que les points ,
2. Démontrer que #, et sont alignés.
et sont alignés.
Exercice 2. 7
est un cube, et " sont les points tels que 355556 = 555556 et 355556" = 555556 .
1. Construire le point # intersection du plan ( ") et de la droite ( ).
# = R 555556.
2. Trouver le nombre R tel que 555556
3. En déduire que ( ) est parallèle au plan ( ").
∈(
Exercice 2. 8
ROC
On se propose de démontrer la théorème du toit. Soient '7 et '9 deux plans sécants suivant
une droite S et soient T7 et T9 deux droites parallèles telles que T7 ⊂ '7 et T9 ⊂ '9 .
1. Justifier que si T7 et T9 sont confondues alors T7 = T9 = S.
555567 un vecteur directeur de T7 et W
56
2. On suppose que T7 et T9 ne sont pas confondues. Soit W
un vecteur directeur de S.
555567 ; W
56) est un couple
a. En supposant que T7 et S ne sont pas parallèles démontrer que (W
de vecteurs directeurs de '7 . En déduire que '7 et '9 sont parallèles.
555567 et X6 sont colinéaires puis que T7 et T9 sont parallèles à S.
b. En déduire que W
). On suppose que la
Exercice 2. 4
est un tétraèdre (cf annexe). Les points , ", #, $ sont les milieux respectifs des
segments D E, D E, D E, D E et % est un point de la face
.
Dans chacun des cas, construire la section du tétraèdre
par le plan 0.
a. 0 = ( %) ;
b. 0 = ( "$) ;
c. 0 = (#$%) ;
d. 0 = ( $%) ;
e. 0 est le plan passant par et parallèle aux droites ( ) et ( ).
Exercice 9
Soient Y ∈ ℝ[ , ,
et
trois points de l’espace. On considère les points
555556
56 et 55556 + 255556 = 0
56.
égalités vectorielles :
+ 2555556 + Y 555556 = 0
1. Exprimer 55556 en fonction de 55556 et de Y.
^
2. Soit ] la fonction définie sur ℝ[ par ](Y) = 8[^.
13
et définis par les
a. Montrer que ∀ Y ∈ ℝ[ ; 0 ≤ ](Y) < 1.
b. Montrer que pour tout b ∈ D0 ; 1D il existe un réel positif Y tel que ](Y) = b.
c. Montrer que l’ensemble des points lorsque Y décrit ℝ[ est le segment D E privé de .
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Exercice 2. 10 cf page 310 n° 44 à 47
Dans un repère cd ; e6, f6, R56 g on donne les points (5 ; 0 ; 0), (2 ; −1 ; 1), (10 ; 1 ; −2) et
(3 ; 2 ; 1).
56 = 555556 , X6 = 555556 et i
556 = 555556 . Démontrer que ( ; W
56, X6, i
556) est un repère de l’espace.
1. On pose W
(
D E, $ est le point tel
On
se
place
dans
le
repère
;
W
5
6,
X
6,
i
5
56).
est
le
milieu
du
segment
2.
555556
555556
et est le centre de gravité du triangle
. Démontrer que les droites
que 3 $ =
( ) et ( $) sont parallèles.
3. Soit " le point tel que 355556" = 555556 . Démontrer que la droite (" ) est parallèle au plan (
Exercice 2. 11
On considère un cube
1.
2.
3.
4.
5.
5.
6.
)
.
555556
555556
555556
Justifier que j = c ; , , g est un repère de l’espace.
Dans la suite de l’exercice l’espace est rapporté au repère j.
Donner sans justification les coordonnées des sommets du cube.
Déterminer les coordonnées des points , " et #, milieux respectifs des faces
,
et
.
a. Démontrer que les points , , " et # sont coplanaires.
par le plan ( "#).
b. Tracer la section du cube
est également le centre de
a. Démontrer que le centre de gravité $ du triangle
gravité du triangle "#.
b. Démontrer que les points , et $ sont alignés.
a. Quelle est la nature du triangle "# ?
b. Démontrer que ( ) est perpendiculaire au plan ( "#).
Calculer le volume du tétraèdre "#.
Exercice 2. 13 cf page 315 n° 85 à 88, 91 à 93
1. Donner un point et un vecteur directeur de la droite T de représentation
o = 2Y + 1
r où Y ∈ ℝ.
paramétrique np = 3Y
q=2
2. Donner une représentation paramétrique de la droite passant par (1 ; −3 ; 4) dirigée par
le vecteur W
56(4 ; 6 ; −8).
(2
; 1 ; −1) et (2 ; −1 ; 1).
3. Soient
a. Donner une représentation paramétrique de la droite ( ).
b. Donner une représentation paramétrique du segment D E.
c. Donner une représentation paramétrique de la demi-droite D ).
o=4
r où Y ∈ ℝ.
4. Soit la droite de représentation paramétrique np = −3Y
q = 1 + 12Y
a. Le point (1 ; −3 ; 13) appartient-il à ?
56(0 ; −1 ; −4) dirige-t-il ?
b. Le vecteur W
c. Déterminer les coordonnées du point de de paramètre 0.
5. Soient (−2 ; 0 ; −2) et (13 ; −10 ; 3).
o = 1 − 3Y
a. La droite ( ) admet-elle pour représentation paramétrique np = −2 + 2Y r où Y ∈ ℝ ?
q = −1 − Y
b. Déterminer les coordonnées du point de ( ) d’abscisse −5.
Exercice 2. 12 (Centres étrangers, juin 2011)
14
c. La droite (
) passe-t-elle par le point
u−10 ;
7v
8
7:
; − w?
8
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o 1 3 N 2Y
o 1 7 h 4Y
np 1 5 h 2Y r où Y ∈ Z et np 1 1 N 4Yr où Y ∈ Z.
q 11NY
q 1 3 h 2Y
Exercice 2. 14 cf page 315 n° 64
L’espace est rapporté à un repère orthonormé cd ; e6, f6, R56 g.. On note T la droite passant par
1 ; h2 ; h1 et 3 ; h5 ; h2 .
o 1 1 N 2Y
1. Démontrer qu’une représentation paramétrique de T est np 1 h2
2 h 3Yr où Y ∈ Z.
q 1 h1
1hY
o 1 2 h Yx
2. Tx est la droite de représentation paramétrique np 1 1 N 2Y x r où Y x ∈ Z.
q 1 Yx
x
Démontrer que les droites T et T ne sont pas coplanaires.
0 ; h3 ; 0 et dirigé par les
3. On considère le plan ' passant par le point
vecteurs W
56 1 ; h4 ; 0 et X6 0 ; h5 ; 1 .
a. Démontrer que ' contient T.
b. Démontrer que le plan ' et la droite Tx se coupent en un point dont on déterminera
les coordonnées.
Exercice 2. 17 Amérique du nord 05.14 n° 3
Exercice 2. 15 cf page 313 n° 66 à 76, page 315 n° 82 à 84
1. Déterminer un vecteur normal de chacun des plans suivants :
a. ' ∶ o N p N 2 1 0 ;
b. ' ∶ q 1 2o h 1.
2. ' est le plan passant par 3 ; 1 ; h2 et de vecteur normal z56 4 ; 6 ; 3 .
a. Déterminer une équation cartésienne de '.
b. Le point 0 ; 2 ; 0 appartient-il à ' ?
5. a. Justifier que les points 0 ; h2 ; h1 , 2 ; 7 ; 2 et 1 ; 4 ; 2 définissent un plan.
admet pour équation cartésienne 3o N p h 5q h 3 1 0.
b. Démontrer que le plan
?
c. Le vecteur z56 h6 ; h2 ; 10 est-il normal au plan
Exercice 2. 16
1. Dans chacun des cas suivants donner une représentation paramétrique de la droite |
parallèle à T et passant par h4 ; 5 ; h2 .
où h1 ; 3 ; h8 et h3 ; 3 ; h4 .
a. T 1
o12
b. T a pour représentation paramétrique np 1 h2Y r où Y ∈ Z.
q 1 2 h 5Y
2. On donne les droites T et Tx de représentations paramétriques :
o 1 h3 N Y
o 1 6 h 3Y
r où Y ∈ Z
n p 1 h7 N 2Y r où Y ∈ Z, n p 1 h3
Z.
q 1 h1 N Y
q 1 h5 N 2Y
a. Démontrer que ces droites sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point
d’intersection.
b. T et Tx sont-elles perpendiculaires ?
3. Montrer que les systèmes d’équations suivants déterminent une même droite.
15
Exercice 2. 18
1. Dire si les plans sont parallèles, perpendiculaires ou ni l’un ni l’autre.
5 N410;
a. ' ∶ o N 3p h q 1 0 et ' x : ho N 2p N 5q
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~
•
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€
b. ' ∶ 8 + 8 + q + 1 1 0 et ' x ∶ h3o h p h q N 9 1 0 ;
c. ' ∶ o h p N q N 1 1 0 et ' x ∶ o 1 p ;
d. ' ∶ o h 2p N q 1 3 et ' x ∶ q 1 ho N 2p h 5.
2. a. Justifier que les plans ' ∶ o h 3p N 2q 1 5 et ' x ∶ 2o N p N 7q 1 1 sont sécants et
donner une représentation paramétrique de leur intersection.
b. Même question avec ' ∶ o N 2p N q 1 1 et ' x ∶ o N p N q 1 2..
3. Donner une équation du plan ' x parallèle à ' d’équation h2o N q h 1 1 0 et passant par
le point h5 ; 0 ; 7 .
Exercice 2. 20 cf page 316 n° 94 à 102
1. Etudier les positions relatives du plan ' et de la droite T.
o 1 2Y N 1
a. ' ∶ o h p N q 1 0 et T ∶ np 1 hY h 1r où Y ∈ Z ;
q 1YN2
o 1 hY N 1
r où Y ∈ Z.
b. ' ∶ o N 2p N q 1 h1 et T ∶ n p 1 2
q 1 YN3
o 1 hY h Y x
r où Y ; Y x ∈ Z9 .
2. Soient 0 ; 3 ; h4 , 4 ; 2 ; 1 et ' ∶ n p 1 hY x N 1
x
q 1 2Y N 3Y h 2
.
a. Donner une représentation paramétrique de la droite
b. Vérifier que 2o N p N q N 1 1 0 est une équation de '.
et ' sont sécants et préciser les coordonnées de leur point
c. Démonter que
d’intersection.
o 11NY
3. Quelle est l’intersection du plan ' ∶ 2o N p h 2q 1 8 et de la droite T ∶ np 1 4 N 2Y r Y ∈ Z.
q 1 3 N 2Y
4. Dans chaque cas dire si le plan ' et la droite T sont perpendiculaires.
o 1YN1
r où Y ∈ Z ;
a. ' ∶ o N 2p 1 4 et T ∶ np 1 Y
q 1 2Y h 1
b. ' ∶ o h p h q 1 1 et T passant par 0 ; 1 ; 2 et 2 ; h1 ; 0 .
où 5 ; 2 ; 0 et
5. Déterminer une équation du plan ' perpendiculaire à la droite
3 ; 5 ; h1 ∈ '.
éterminer une représentation paramétrique de la droite passant par 1 ; h4 ; 3
6. Déterminer
perpendiculaire au plan ' d’équation o h 2p h 4q N 6 1 0.
7. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite orthogonale au plan
' ∶ 2o h p N q N 5 1 0 et passant par 2 ; 1 ; 0 .
b. Déterminer les coordonnées du point , projeté orthogonale de sur '.
c. En déduire la distance de à '.
8. Déterminer une droite T passant par le point 3 ; h2 ; h4 qui est parallèle au plan
' ∶ 3o h 2p h 3q h 7 1 0 et qui la droite ƒ ; W
56 où 2 ; h4 ; 1 et W
56 3 ; h2 ; 2 .
Exercice 2. 19 Nouvelle Calédonie 03.15 n°3
Exercice 21 Centres étrangers 06.14 n°4
16
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Exercice 2. 24 (Amérique du Nord 05.13 n°1)
Exercice 2. 22 (page 314 n° 77 et 79) cf page 314 n° 78, 80, 81
1. Soient (2 ; 5 ; h1 et 4 ; 1 ; h3 .
E
a. Déterminer une équation de la sphère „ de diamètre D E.
b. Déterminer une équation du plan tangent à „ en .
2. a. Déterminer le centre et le rayon de la sphère „ ∶ o 9 N p 9 N q 9 − 4o + 6p + 9 = 0.
b. Montrer que le plan d’équation o 1 4 est tangent à S en (4 ; −3 ; 0).
3. On considère la sphère „ de centre … 3 ; 1 ; 3 et de rayon 3, le point de coordonnées
2 ; h1 ; 1 et la droite de représentation paramétrique :
o1
1NY
np 1 h3 N 2Y r où Y ∈ Z.
q1
Y
a. Montrer que le point appartient à la droite .
b. Montrer que le point appartient à la sphère „.
c. Montrer que la droite coupe la sphère „ en un deuxième point.
Exercice 2. 23 (Polynésie 06.14 n°1)
Exercice 2. 25 (Pondichéry 04.15 n°4)
17
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Exercice 2. 26 (Métropole 06.15 n°2)
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Exercice 2. 27 (Métropole juin 2011 n°)
Sujets
(1) Amérique du Sud 11.14 n°2
(2) Antilles Guyane 06.13 n°1
(3) Antilles Guyane 06.14 n°1
(4) Nouvelle Calédonie 03.11 n°4
(5) Métropole 09.14 n°4
(6) Nouvelle Calédonie 11.14 n°3
(7) Polynésie 06.15 n°1
19
(8) Liban 05.15 n°1
(9) Amérique du Nord 06.15 n°1
(10) Métropole 06.14 n°4
QCM1 Liban 05.14 n°2
QCM 2 Asie 06.14 n°1
QCM 3 Pondichéry 04.13 n°2
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Exercice 2. 1
Exercice 1
20
2 Géométrie dans l’espace
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Exercice 2. 3
Exercice 2. 4
21